2025-2026学年吉林省长春市九台区师范高级中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（）A.13种 B.40种 C.种 D.种2.一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（）A. B. C. D.3.已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（）A. B. C. D.4.随机变量X的分布列为：X123Pa则（）A. B. C. D.5.已知函数，若，则（）A. B. C. D.6.若，则（）A. B. C.1 D.7.已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（

）A. B.C. D.8.已知定义在上的函数，，若，则一定有（）A. B.C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设离散型随机变量的分布列为4680.30.4若，则（）A. B. C. D.10.下列命题中，正确的命题的序号为（）A.已知随机变量服从二项分布，若，则B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量服从正态分布，若，则D.某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大11.下列等式正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．13.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______．14.从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于_____________.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数.（1），必须被选出；（2）至少有2名女生被选出；（3）让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.16.在的展开式中，二项式系数的和为64.（1）求展开式中的含有项的系数；（2）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由.17.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．18.坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．19.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在区间上的最值；（3）证明：当时.

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（）A.13种 B.40种 C.种 D.种答案：B解析：解答过程：第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法，第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为．2.一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由条件概率计算公式即可求解.解答过程：设事件=“第一次取到好晶体管”，事件=“第二次取到好晶体管”，所求为，由题意：，=6×510×9=.即在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为.3.已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据瞬时变化率的定义计算．解答过程：，所以该质点在末的瞬时速度为.故选：C.4.随机变量X的分布列为：X123Pa则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用分布列的性质计算即可求解.解答过程：由题意可得，解得，所以.故选：C.5.已知函数，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出函数的导数，结合得出，即可求得答案.解答过程：由得,故由得,所以,故选：B6.若，则（）A. B. C.1 D.答案：B解析：解答过程：令，则；令，则；．7.已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（

）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D.解答过程：由题意可得，故A正确；，，故B正确；，，故，故C错误；因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确.8.已知定义在上的函数，，若，则一定有（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：构造函数，求导确定单调性，即可求解解答过程：设

，对求导得：，因为

，得

，因此

是定义在R上的单调递减函数，又

，得

，代入即得

.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设离散型随机变量的分布列为4680.30.4若，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值.解答过程：对于A、B项，由表格可得，所以.则，.故A正确，B正确；对于C、D项，因为，，，所以，，，故C错误，D正确.故选：ABD.10.下列命题中，正确的命题的序号为（）A.已知随机变量服从二项分布，若，则B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量服从正态分布，若，则D.某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大答案：BCD解析：思路：对A：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对B：根据方差公式可知方差恒不变；对C：根据正态分布的对称性即可求解；对D：根据二项分布概率的性质求解即可判断.解答过程：解：对A：因为随机变量服从二项分布，，，所以，，解得，故选项A错误；对B：根据方差公式，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故选项B正确；对C：因为随机变量服从正态分布，由，可得，利用正态分布的对称性可得，故选项C正确；对D：因为在10次射击中，击中目标的次数满足，所以对应的概率，当，时，，令，解得，因为时，所以当时，概率最大，故选项D正确.故选：BCD.11.下列等式正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.解答过程：对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，而与不一定相等，则与不一定相等，C不正确；对于D，，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．答案：解析：解答过程：设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．13.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______．答案：0.87##解析：思路：由全概率公式计算．解答过程：记灯光合格中事件，灯泡来自甲厂为事件，灯泡来自乙厂为事件C，由已知，，，，所以．故．14.从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于_____________.答案：3解析：思路：由题意确定服从二项分布，结合二项分布期望公式即可求解.解答过程：由题意摸得黑球的个数服从二项分布，总球数为，单次摸球摸到黑球的概率

p=m3+m根据二项分布的期望公式，代入已知得：

6⋅m3+解得.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数.（1），必须被选出；（2）至少有2名女生被选出；（3）让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.答案：（1）；（2）；（3）解析：思路：（1）从以外的人中，任选个人，由此求得选法数.（2）先计算出从人任选人的方法数，然后减去至多有名女生被选出的方法数，由此求得选法数.（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人进行安排，由此求得选法数.解答过程：（1）由于，必须被选出，再从以外的人中，任选个人，故选法数有种.（2）从人任选人的方法数有，选出的人中没有女生的方法数有，选出的人中有名女生的方法数有.所以至少有2名女生被选出的选法数为.（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人安排职务，故选法数为.方法提示：本小题主要考查实际生活中的组合数、排列数的计算，属于基础题.16.在的展开式中，二项式系数的和为64.（1）求展开式中的含有项的系数；（2）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由.答案：（1）240（2）不存在，理由见解析.解析：思路：（1）由二项式系数和可得，据此可得二项式通项，即可得答案；（2）由（1）中二项式通项分析即可判断.（1）因二项式系数和为，则.则展开式通项为，令，则含项的系数为；（2）由（1）令，但由题设可得，则不满足题设，即展开式中不存在常数项.17.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．答案：（1）（2）答案见解析解析：思路：（1）由题意两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，然后求出相应的概率即可；（2）确定ξ的所有可能取值，计算相应的概率，得出分布列，进一步求解均值和方差即可．（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝．两人都付0元的概率为P1＝×＝，两人都付40元的概率为P2＝×＝，两人都付80元的概率为P3＝×＝，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．（2）ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，则P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝．所以ξ的分布列为ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．18.坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．答案：(1);(2);(3).解析：思路：设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件，第2次拿到绿皮鸭蛋为事件，则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件，（1）从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为，，由古典概型可得结果；（2）求得，利