2025-2026学年湖北鄂州市未来高级中学、华容高级中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集，则集合（）A. B.C. D.2.记的内角的对边分别为，且，则（）A. B. C. D.3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度4.若，则（）A. B. C. D.5.已知单位向量满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.6.已知是定义域为的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.7.若，且，则（）A. B.C. D.8.台风中心位于地（视为质点）正西方向处，正向北偏东方向移动，速度的大小为，距离台风中心范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么地遭受台风影响的持续时间为（）（取）A. B. C. D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A.的虚部为B.C.D.在复平面内对应的点位于第四象限10.如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（）A.函数有2个零点B.函数有2个零点C.函数有2个零点D.若，且，则的取值范围为11.已知的内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（）A.B.外接圆的半径为C.的最大值为4D.若的外心为，则的最大值为4三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知三点共线，则__________.13.若，则__________.14.已知函数fx=acosπ4x+π4a>0的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则__________.若点Cx1,fx1四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知指数函数的图象､对数函数的图象分别经过点.（1）求的解析式；（2）若函数，求不等式的解集.16.已知函数的最小正周期为.（1）求的单调递增区间；（2）若在区间上的值域为，求的取值范围.17.（1）若是关于的方程的一个根，求；（2）若对任意，关于的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根.18.如图，在梯形中，，分别是边上不与端点重合的点，且.（1）用表示；（2）若与交于点，求；（3）若，求的最小值.19.已知的内角的对边分别为，且.（1）求.（2）已知为边上的一点，且.（i）求；（ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值.

数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集，则集合（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程.2.记的内角的对边分别为，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，利用正弦定理，即可求解.解答过程：在中，因为，由正弦定理，可得.3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：D解析：解答过程：将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象.4.若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：所给等式两边平方后，利用二倍角的正弦公式得解.解答过程：因为，所以，化简得，所以.5.已知单位向量满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合投影向量的计算方法，即可求解.解答过程：因为，可得，解得，又因为都是单位向量，可得，所以向量在上的投影向量为.6.已知是定义域为的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：是定义域为的奇函数，可得，，令，得，令，得，又函数为上的奇函数，故.7.若，且，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据题意，得到，利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解.解答过程：由，可得，所以，因为，可得，所以，所以.8.台风中心位于地（视为质点）正西方向处，正向北偏东方向移动，速度的大小为，距离台风中心范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么地遭受台风影响的持续时间为（）（取）A. B. C. D.答案：B解析：思路：使用余弦定理求解.解答过程：如图，假设台风中心到达点时，.设，易得.由余弦定理，得，得或，所以地遭受台风影响的持续时间为.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A.的虚部为B.C.D.在复平面内对应的点位于第四象限答案：BC解析：解答过程：由，则的虚部为，A选项错误；而，B选项正确；而，C选项正确；而，在复平面内对应的点，位于第二象限，D选项错误.10.如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（）A.函数有2个零点B.函数有2个零点C.函数有2个零点D.若，且，则的取值范围为答案：ABD解析：思路：由的图象与直线，函数的图象和函数的图象的交点个数可判断ABC；结合的图象解不等式可判断D.解答过程：对于A，的图象与直线有2个公共点，所以函数有2个零点，A正确.对于B，的图象与函数的图象有2个公共点，所以函数有2个零点，B正确.对于C，如下图，的图象与函数的图象有1个公共点，所以函数仅有1个零点，C错误.对于D，函数，且的图象经过定点，当时，，不合题意；当时，是增函数，所以，得，所以的取值范围为，D正确.11.已知的内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（）A.B.外接圆的半径为C.的最大值为4D.若的外心为，则的最大值为4答案：BCD解析：思路：利用正弦定理将边化角，再由和差角公式及二倍角公式求出，即可判断A；利用正弦定理判断B；利用余弦定理及基本不等式判断C；由外心的性质及数量积的定义得到，再由基本不等式判断D.解答过程：对于A：因为，由正弦定理得，又，所以.因为，所以，所以，又，即.又，所以，所以，所以，由，得，所以，故A错误；对于B：设外接圆的半径为，由，解得，故B正确.对于C：由余弦定理，得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C正确；对于D：因为的外心为，所以.因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以的最大值为，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知三点共线，则__________.答案：4解析：思路：根据题意，求得，结合向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.解答过程：由点，可得，因为三点共线，所以，可得，解得.13.若，则__________.答案：##解析：思路：根据题意，化简得到，代入计算，即可求解.解答过程：因为，则.14.已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则__________.若点分别在曲线上，关于轴上的点对称，且，则点的横坐标为__________.答案：①.②.解析：解答过程：由，得，结合的图象写出坐标.由，得.因为，所以.如图，设关于的对称点为，则.因为关于轴上的点对称，所以，所以关于直线对称，得，即.又，解得，所以点的横坐标为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知指数函数的图象､对数函数的图象分别经过点.（1）求的解析式；（2）若函数，求不等式的解集.答案：（1）.（2）.解析：思路：(1)根据指数和对数函数的解析式，分别代入点计算可得结果；(2)根据指数和对数函数单调性可得在定义域上单调递增，不等式等价于，结合单调性即可求解.（1）设，且，且.由，得.由，得，所以.（2）由（1）得，可得在定义域上单调递增.因为，所以由，得，得.故不等式的解集为.16.已知函数的最小正周期为.（1）求的单调递增区间；（2）若在区间上的值域为，求的取值范围.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解；（2）由，得到，结合在的值域为，列出不等式，即可求解.（1）因为函数的最小正周期为，可得，解得，所以，令，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）因为，可得.又因为在上的值域为，且，所以，解得，即的取值范围为.17.（1）若是关于的方程的一个根，求；（2）若对任意，关于的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据题意，得到方程的另一个根为，结合韦达定理，即可求解；（2）设该方程的纯虚数根为，且，代入方程，列出方程组，即可求解.解答过程：解：（1）由题意知，是关于的方程的一个根，可得方程的另一个根为，由韦达定理得，解得.（2）设该方程的纯虚数根为，且，可得，整理得，所以，因为该方程对任意都成立，所以，解得，经验证：适合方程，所以该方程的纯虚数根为.18.如图，在梯形中，，分别是边上不与端点重合的点，且.（1）用表示；（2）若与交于点，求；（3）若，求的最小值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据题意，得到，结合向量的运算法则，即可求解；（2）设，求得，结合三点共线，得出方程，求得的值，即可求解；（3）设，求得，结合向量运算法则，即可求解.（1）在梯形中，因为且，可得，根据向量的运算法则，可得.（2）由，可得，设，则，因为三点共线，所以，解得，所以.（3）设，则，可得，由可得；则，当时，取得最小值，且最小值为.19.已知的内角的对边分别为，且.（1）求.（2）已知为边上的一点，且.（i）求；（ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值.答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）根据正弦定理进行