2025-2026学年河南省新未来高三下册5月测评数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知为第四象限角，，则（）A. B. C. D.4.已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（）A.2 B.3 C.4 D.55.设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（）A. B. C. D.6.已知函数，设，，，则（）A. B. C. D.7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.8.已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（）A.2 B.4 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，自变量、相位、函数值的部分取值如下表，则（）0A. B.C.的图象关于点对称 D.的图象上存在互相垂直的切线10.已知不透明的袋子中有3个白球，2个黑球，甲从中随机取2个球（甲取球后不放回），然后乙再从袋中随机取出1个球，记事件：“甲取出个白球”，事件：“乙取出1个白球”，则（）A. B.C. D.在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为11.已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则（）A.准线的方程为 B.可能在直线上C.的最小值为9 D.面积的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设随机变量，若，且，则________.13.已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________.14.已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求证.16.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论曲线与的交点个数.18.已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3.（1）求的方程；（2）已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，.（i）证明：；（ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值.19.已知依次为圆周上的个等分点，每个点等概率地被染成白色或黑色.对于任意两个点和，若它们颜色相同，则连接，否则不连接.记线段的总条数为随机变量.（1）当时，求圆中仅有两条线段且相互垂直的概率；（2）当时，求圆中直角三角形的个数的数学期望；（3）求.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：将转化为，解得，所以，则.2.若，则在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：解答过程：由题意得，所以对应的点位于第三象限.3.已知为第四象限角，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可得，因为为第四象限角，所以，，所以.4.已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：思路：利用等比数列通项公式，将已知条件转化为含和公比的方程组，消元求解出，再回代求出，进而计算.解答过程：设公比为，则由得，由得，所以，解得或（舍）或（舍），由得，所以.5.设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为.解答过程：依题意，，，（为坐标原点），因为，则，所以，，所以，所以，解得，所以，所以，的周长,由于，代入得：，根据椭圆定义，得,，故所求的周长为.6.已知函数，设，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出关于直线对称，通过求导得到的单调性，根据函数的单调性即可判断.解答过程：，故关于直线对称，求导得，当时，，故，即，在上单调递增；当时，即，在上单调递减，又，，即，，所以，，即，根据函数的对称性和单调性可知，又，，所以，所以.7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先用正弦定理将已知边的关系转化为角的正弦平方的关系，再用余弦定理将已知边的关系转化为边的乘积，进而得到正弦乘积的方程，解出结果.解答过程：依题意，，由正弦定理得，，所以，由余弦定理可得，，即，所以，即，又因为，所以.8.已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（）A.2 B.4 C. D.答案：D解析：思路：设，，由向量的数量积运算得，根据新定义得，设，利用辅助角公式结合三角函数性质求解.解答过程：设，，由，得，所以，即，所以，设，则，即，所以根据辅助角公式，，所以，即的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，自变量、相位、函数值的部分取值如下表，则（）0A. B.C.的图象关于点对称 D.的图象上存在互相垂直的切线答案：BC解析：解答过程：依题意，，解得，A选项错误；又，解得，B选项正确；由A，B可知，，且，所以的图象关于点对称，C选项正确；易知，因此切线斜率取值范围为，即不存在两条直线斜率乘积为，所以D选项错误.10.已知不透明的袋子中有3个白球，2个黑球，甲从中随机取2个球（甲取球后不放回），然后乙再从袋中随机取出1个球，记事件：“甲取出个白球”，事件：“乙取出1个白球”，则（）A. B.C. D.在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为答案：ACD解析：思路：对A，利用古典概率公式求解；对B，利用条件概率公式求解；对C，根据全概率公式求解；对D，利用条件概率公式求解.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，因为，，互斥，且，所以，故C正确；对于D，因为，，所以在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为，故D正确.11.已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则（）A.准线的方程为 B.可能在直线上C.的最小值为9 D.面积的最小值为16答案：ACD解析：思路：根据抛物线方程求出准线求解选项A.设点的坐标，求出直线方程代入点，得到，无解，求解选项B.联立直线与抛物线方程，得到点的坐标，求出，根据基本不等式求解即可.根据直线方程求出坐标，根据距离公式求出，得到的面积，再利用基本不等式求解即可.解答过程：易知，所以准线的方程为，A选项正确；设点的坐标为，因为，所以点处的切线斜率为，所以直线的斜率为，所以直线，若在直线上，则，即，无解，B选项错误；直线与联立可得，，解得，即的横坐标为，所以的纵坐标为，所以，当且仅当时，等号成立.C选项正确；直线的方程为：，令，则，所以，所以，，所以的面积为，设，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为.D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设随机变量，若，且，则________.答案：0解析：解答过程：根据正态曲线的对称性可得，，故，所以，解得.13.已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________.答案：解析：解答过程：由于正四棱柱的体积为，，故，则，由于在平面上运动，且，平面，平面，因此，故，由于，，以为圆心，以的长度为半径作圆，此时圆与棱相交于点，且，由于，故，故，故的轨迹为，故.14.已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为______.答案：解析：思路：将转化为，再分析可知只能是且.构造函数，求导根据单调性可知，再根据基本不等式得，结合上述两个式子，可求解.解答过程：，即，当时，，所以只能是且.令,则，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，则.,当且仅当，即时等号成立.综上，问题转化为存在实数同时满足和（即）.为使这样的存在，须满足，解得.所以实数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求证.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据等差数列得到数列的通项公式，再累加求出数列的通项公式即可.（2）根据（1）以及裂项相消法求解即可.（1），所以，当时满足以上通项公式，综上所述：的通项公式为；（2），当时，，当时，，综上所述.16.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先通过余弦定理与勾股定理证明，再结合面面垂直的性质定理证得平面，进而推出平面，最终得到;（2）先由三棱锥体积公式求出的长度，再以为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，最后利用法向量夹角公式计算平面夹角的余弦值.（1）在中，由余弦定理可得，，解得，因为，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为，，所以平面，所以；（2）依题意，三棱锥的体积为，解得，如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，所以，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则令，则，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论曲线与的交点个数.答案：（1）（2）若或，则曲线与无交点，若，则曲线与有一个交点.解析：思路：（1）利用导数的几何意义求切线方程.（2）设，，需要二次求导，分析函数的单调性，判断函数的零点个数.（1）由题意得，.故，.则曲线在点处的切线方程为，即.（2）由题意等价于.设，.则，记.且，则是偶函数，且.①当时，，.故，在区间上单调递增，.②当时，.则当时，.又因为是偶函数，所以当时，.从而在区间上单调递增，，，所以，若或，即或，则曲线与无交点，若，则曲线与有一个交点.18.已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3.（1）求的方程；（2）已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，.（i）证明：；（ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值.答案：（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8解析：思路：（1）左顶点到右焦点的距离及右焦点到单位圆上点的最大距离，分别得到关于的方程，求解即可；（2）（i）设过右焦点的直线参数方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算直线和的斜率乘积即可证明；（ii）设直线

和

的方程，分别联立双曲线和单位圆，求得点

的坐标，将面积比表示为关于斜率的函数，通过换元化简，利用基本不等式及函数单调性求得最小值.（1）依题意，，设，则，到圆上点的距离的最大值为3，所以，所以，故，，所以的方程为；（2）（ⅰ）设直线，，，由可得，，所以，，，所以；（ⅱ）不妨设直线，，，由，可得，解得，同理可得，，由可得，解得，同理可得，，由题意，得，，故，设的面积为，则，易知，令，当且仅当时取等号，则，令，函数在单调递增，故当时，取得最小值；.所以的最小值为8.19.已知依次为圆周上的个等分点，每个点等概率地被染成白色或黑色.对于任意两个点和，若它们颜色相同，则连接，否则不连接.记线段的总条数为随机变量.（1）当时，求圆中仅有两条线段且相互垂直的概率；（2）当时，求圆中直角三角形的个数的数学期望；（3）求.答案：（1）（2）1（3）解析：思路：（1）结合题意利用古典概率计算公式计算求解；（2）列举随机变量可能取值，