2025-2026学年湖北三所名校高二下册4月练习数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.下列导数运算中正确的是（）A. B.C. D.3.用数字2，3，5可以组成无重复数字的偶数的个数为（）A.15 B.12 C.10 D.54.在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.5.已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（）A. B. C. D.6.已知数列的前项和为，，，则（）A. B. C. D.7.已知函数，则的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.8.已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，每件法宝只有一种使用方法，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（）A.若哪吒每次使用两种法宝，对阵次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种；B.若哪吒与敌人对阵次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种；C.若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，阴阳剑和九龙神火罩必须相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种；D.若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，火尖枪比阴阳剑更早使用，则不同的使用法宝的方法有种．11.已知函数，则（）A. B.是函数的一个单调区间C. D.存在，满足三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知等比数列为递减数列，其前项和为，且，则______．13.已知函数，在区间内任取两个实数，当时，不等式恒成立，则实数的最大值为______．14.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算：（1）求小李第2天选择书法社的概率．（2）求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率．16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，E是PD的中点．（1）证明：平面平面．（2）求直线AD与平面ACE所成角的正切值．17.已知数列满足，，其中（1）求数列的通项公式．（2）记，求证：．（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．18.已知函数，（1）已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”，求函数的对称中心．（2）讨论方程根的个数．（3）当（2）中的方程有2个不同实根时，求证．19.已知椭圆过点，原点为，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，设线段的中点为，且直线的斜率与直线的斜率的乘积为．（1）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离．（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，以为直径的圆恒过右焦点，且的中点为．①证明：直线过定点．②若椭圆的左焦点为，的延长线交椭圆于点，若，，求的最大值．

数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：借助斜率与倾斜角的关系计算即可得.解答过程：设该直线的倾斜角为，则由题意，又，所以.2.下列导数运算中正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用导数的运算法则，以及复合函数的求导法则，逐项求解，即可得到答案.解答过程：对于A，由为常数，所以，所以A不正确；对于B，由，所以B正确；对于C，由复合函数的求导法则，可得，所以C错误；对于D，由复合函数的求导法则，可得，所以D错误.3.用数字2，3，5可以组成无重复数字的偶数的个数为（）A.15 B.12 C.10 D.5答案：D解析：思路：分三类，即一位整数，两位整数和三位整数.解答过程：分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个；第二类组成两位整数，其中偶数有32和52，共2个；第三类组成三位整数，其中偶数有352和532，共2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．4.在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：建立空间直角坐标系，利用向量的方法进行求解.解答过程：以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为，则各点坐标为：，又因为为中点，所以，因为为中点，所以，即，，设异面直线与所成角为，则．5.已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：圆的圆心为，半径．将直线的方程整理为关于的式子：．令，解得，即直线恒过定点．由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短．计算．最短弦长6.已知数列的前项和为，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，，所以，即.又①，则②，由②-①，得，所以是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公差的等差数列所以 7.已知函数，则的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：因为，则，所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即．8.已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用椭圆上点到顶点、的斜率之积为，结合直线与倾斜角互补的条件，即可求出，进而求得离心率.解答过程：由双曲线，左右顶点为，则，因为，所以，得，即.设，满足，所以，所以，设，满足，所以，所以，因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所以，又因为，所以，即，所以，所以.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：令可得A；利用二项式的展开式的通项公式计算可得B；令可得C；令，结合C选项可得D.解答过程：对A：令，则，得，故A正确；对B：由，则，对有，，对有，，则，故，故B错误；对C：令，得，故C正确；对D：令，得，从而得，又，从而，故D错误.10.某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，每件法宝只有一种使用方法，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（）A.若哪吒每次使用两种法宝，对阵次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种；B.若哪吒与敌人对阵次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种；C.若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，阴阳剑和九龙神火罩必须相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种；D.若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，火尖枪比阴阳剑更早使用，则不同的使用法宝的方法有种．答案：ABD解析：思路：对于A选项，计算每次使用两种法宝的种数，再利用分步乘法计数原理计算；对于B选项，分为恰好选用其中6件法宝和7件法宝全部用完，利用平均分配分组方法可计算；对于C选项，先利用捆绑法和插空法处理即可；对于D选项利用倍缩法解决定序问题即可．解答过程：对于A，每次使用两种法宝有种，因可以重复使用，则对阵次、不同的使用法宝的方法有种，故A正确；对于B，若恰好选用其中6件法宝，再将选出的6件法宝分成3组：2,2,2共有种，则对阵3次，不同的使用法宝的方法有C76若7件法宝全部用完，则将7件法宝分成3组：2,2,3，共有种，则对阵3次、不同的使用法宝的方法有C7故不同的使用法宝的方法共有种，B正确；对于C，先将除乾坤圈、风火轮以外的5种法宝排列，阴阳剑和九龙神火罩相邻共有种，这4个元素（捆绑后的阴阳剑和九龙神火罩，以及另外3件法宝）排列形成了5个空位将乾坤圈、风火轮插入5个空位中有种，则不同的使用法宝的方法有种，故C不正确；对于D，先将7件法宝全排列共有种，乾坤圈、风火轮、火尖枪、阴阳剑四种法宝全排列有种,所以不同的使用法宝的方法有种，故D正确．11.已知函数，则（）A. B.是函数的一个单调区间C. D.存在，满足答案：ABD解析：思路：对A，代入计算化简即可；对B，是复合函数，先求出单调区间，再结合的单调区间分析即可；对C，根据单调性求出最值即可；对D，化简方程，构建新函数，分析是否存在满足题意.解答过程：，则A正确；，则是单调递增函数，因为是函数的一个单调递增区间，由复合函数的单调性可知，是函数的一个单调递增区间，B正确；，C错误；因为，即只要判断是否成立即可，令，即D正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知等比数列为递减数列，其前项和为，且，则______．答案：##解析：思路：设数列公比为，运用等比数列的前项和的基本量运算求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解.解答过程：设数列公比为，依题意，得，整理得，解得或，又等比数列为递减数列，所以，由，得到.13.已知函数，在区间内任取两个实数，当时，不等式恒成立，则实数的最大值为______．答案：解析：思路：由转化为恒成立，构造函数，通过的单调性得到在恒成立，找到的满足条件，从而求出的最大值.解答过程：．因为，，亦即．令，则问题等价转化为是增函数．所以在恒成立，即在恒成立，所以在恒成立，所以在恒成立．令，则，因为二次函数在上单调递增，所以当时，，即，所以是增函数，所以，即，所以实数的最大值为．14.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．答案：．解析：思路：首先确定，再通过同构思想得到函数，再讨论即可.解答过程：由，则，因为，所以，因为恒成立，即恒成立，整理得恒成立，即恒成立，构造函数，根据单调性的性质可知，函数单调递增，故原不等式等价于，即，令，则，求导得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，因此在处取得最小值；，即，从而可得，即的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算：（1）求小李第2天选择书法社的概率．（2）求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率．答案：（1）（2）解析：（1）设事件分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件表示第2天选择书法社.由题意，两两互斥且构成完备事件组，且由全概率公式：∴小李第2天选择书法社的概率为.（2）∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，E是PD的中点．（1）证明：平面平面．（2）求直线AD与平面ACE所成角的正切值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用面面垂直的性质得平面，进而得到，结合三角形性质得，从而证得平面，得出面面垂直；（2）方法一：作，垂足为，证明，可得为直线与平面所成的角，求解即可；方法二：建立空间直角坐标系，求出面的法向量，通过法向量夹角的余弦值求解.（1）因为底面是正方形，所以，又因为平面平面，且平面底面，底面，所以平面，因为平面，所以．又因为是正三角形，是的中点，所以．因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．（2）解法1：作，垂足为，连接．因为平面平面，，且，，则．所以为在平面上的射影，为直线与平面所成的角．因为平面，平面，所以．因为，，所以，因为，所以．在中，．所以．所以直线与平面所成角的正切值为．解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．已知底面边长为，是正三角形，所以，则，因为是的中点，故，所以，设平面的法向量为，所以，即，令，则，，设直线与平面所成的角为，则．故．所以．所以直线与平面所成角的正切值为．17.已知数列满足，，其中（1）求数列的通项公式．（2）记，求证：．（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．答案：（1），（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）对通过同除构造等差数列求通项，对利用累加法结合等比数列求和公式推导通项.（2）对进行分式裂项变形，采用裂项相消法求和，结合放缩法证明不等式.（3）化简不等式后通过分离参数，将恒成立问题转化为求数列最大值，以此确定的取值范围.（1），又，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，，则，，以上各式相加可得，，当时，满足题意，.（2）由（1）可得，，.（3）由题意有：对恒成立，可得：不等式对恒成立，又，可得：对恒成立，记，则当时，，即，当时，，即，所以，当时，取得最大值为，.综上，实数的取值范围是.18.已知函数，（1）已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”，求函数的对称中心．（2）讨论方程根的个数．（3）当（2）中的方程有2个不同实根时，求证．答案：（1）（2）当或时，方程有1个根；当或时，方程有2个根；当时，方程有3个根；当时，方程没有根.（3）证明见解析解析：思路：（1）利用函数对称中心的充要条件，通过计算，可直接得出对称中心.（2）利用对称性将方程化简为，通过导数研究的单调性、极值与极限，分类讨论直线与函数的交点个数即可；（3）分情况讨论方程有两解时的值，对时的情况，通过构造辅助函数，利用单调性证明，进而证明.（1）根据题意，对称中心满足对任意恒成立，因为，，故，对比充要条件，取，则，故.所以函数的对称中心为.（2）因为，因为单调递增，所以单调递减，所以单调递增，因为，由（1）知，所以，即，所以问题转化为求方程的根的个数.令，则需研究的图象与的交点个数，因为，令，得或，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在取到极小值为，在取到极大值为.当时，，当时，，根据的图象可得：当或时，方程有1个根；当或时，方程有2个根；当时，方程有3个根；当时，方程没有根.（3）当方程有两个根时，则或，分情况：当时，根为，所以，所以；当时，，所以；当时，此时，要证，等价于证明，因为，且在上单调递增，所以只需证，又因为，所以只需证.设，我们只需证明在时，.因为，所以，所以，令，所以，当时，，故，单调递增，所以，即，所以，所以在上单调递减，又因为，所以当时，，即对任意成立.因为，所以，因此原不等式得证.综上，三种情况均已证明，原命题成立.19.已知椭圆过点，原点为，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，设线段的中点为，且直线的斜率与直线的斜