2025-2026学年河南省部分校普通高中学生第二次适应性考试数学试题 含解析

/数学满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（

）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C.5 D.3.已知向量，向量满足，则（）A. B. C.5 D.104.已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（）A.1 B.2 C. D.5.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（）A.0 B. C.2 D.46.已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（）A. B. C. D.8.若，，且满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：月份12345销售额万元1.82.22.83.1根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（）A.变量与正相关B.C.样本数据的下四分位数为1.8D.当时，的预测值为4.1万元10.已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（）A. B.直线经过点C. D.与面积之和的最小值是311.已知正四棱锥中，底面边长为，侧面与底面所成二面角的大小为，记为该四棱锥底面的中心，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，线段的中点为，下列结论正确的是（）A.直线与、与所成的角相等B.侧棱与底面所成角的正切值为C.的轨迹与底面围成几何体的体积为D.记为的中点，过作截面将该四棱锥分为上、下两部分（如图），记上下两部分的体积为，，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为______．13.已知外接圆半径为2，复数，，且，则的面积的最大值为______．14.集合（为向量），若，定义.若从集合中任取两个不同的向量，则的概率为___________；若从集合中任取两个不同的向量，记，则______________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.学校组织游戏活动，学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的期望；（2）学生甲、乙各摸4次球，若最终得分相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前2次摸球得了4分，求乙获得奖励的概率．16.已知分别为三个内角的对边，且（1）求角；（2）已知，为锐角三角形，求的取值范围．17.如图，在多面体EFABCD中，四边形ABCD为平面四边形，四边形ABEF为平行四边形，R在线段CD上，P，Q分别为BF，FR的中点.（1）求证：PQ∥平面FAD.（2）若AF平面ABCD，AF=AB.（i）求四棱锥C-ABEF外接球的表面积；（ii）求直线AD与平面BCF所成角的大小.18.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围；（3）证明：当时，.19.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，．（1）求的方程；（2）若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围；（3）过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列．

数学满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（

）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，得，又，所以；因为得，所以，则.故选项C正确.2.已知，则（）A. B. C.5 D.答案：A解析：解答过程：因为，故，故.3.已知向量，向量满足，则（）A. B. C.5 D.10答案：B解析：解答过程：等式两边同时平方，得，化简得

.，则，所以

.4.已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（）A.1 B.2 C. D.答案：B解析：思路：求出正切函数及正弦函数的对称中心，根据题意求解即可.解答过程：正切函数的对称中心为，.正弦函数的对称中心为，.因为正切函数与函数对称中心完全相同，所以.5.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（）A.0 B. C.2 D.4答案：A解析：思路：根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解.解答过程：由函数是定义在R上的奇函数，可得，且，又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称，可得函数的图象关于对称，即，因为，可得，即，所以函数是以为周期的周期函数，可得因为，可得，所以.6.已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：D解析：思路：由可知，根据充分条件和必要条件的概念即可判断.解答过程：可化为，即，而的比值不确定，故不能得到为等比数列，反之，若为公比为的等比数列，则，则，即，若，则，则，即，不满足题意，故对于公比为的等比数列，，所以为等比数列不一定能推出.故“”是“为等比数列”的既不充分又不必要条件.7.已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解.解答过程：将直线整理为，令，得直线恒过定点.圆的圆心为，半径，，故点在圆内.设圆心到直线的距离为，弦长.要使最小，需取最大值.当时，，此时.8.若，，且满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：将式子进行化简构造函数，利用构造的函数得到的关系，将化为关于的函数解析式，利用求导研究函数的单调性和最值，从而求出的取值范围．解答过程：由变形可得：，即，故；令，则由得：当时，，单调递增，当时，，单调递减；因为，，故，故在上，可得：，故；令，，；则，令，解得：；当时，，单调递增，当时，，单调递减；故，综上；故．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：月份12345销售额万元1.82.22.83.1根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（）A.变量与正相关B.C.样本数据的下四分位数为1.8D.当时，的预测值为4.1万元答案：ABD解析：思路：根据回归系数，可判定A正确；根据回归直线方程经过样本中心，列出方程，求得的值，可判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确.解答过程：对于A，由回归直线方程，可得，所以变量与正相关，所以A正确；对于B，因为回归直线方程经过样本中心，因为，所以，又由，解得，所以B正确；对于C，将样本数据的数据排序为：，由，则样本数据的下四分位数为第个数据，所以C不正确；对于D，当时，，所以的预测值为万元，所以D正确.10.已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（）A. B.直线经过点C. D.与面积之和的最小值是3答案：ABD解析：思路：设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及计算判断A，B；利用向量模的坐标表示表示出模长，再结合韦达定理代换，最后用基本不等式求解最值判断C，利用三角形面积公式建立关系，借助基本不等式求解判断D即可.解答过程：对于A，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为，由，消去得，得到，，得，而，，可得，由，得，解得或，而，即，因此，，故A正确；对于B，此时直线恒过点，故B正确；对于C，由模长公式得，同理可得，则，由基本不等式得，当且仅当时取等，此时，得到，可得，故C错误，对于D，不妨设，而，则，当且仅当时取等号，故D正确.11.已知正四棱锥中，底面边长为，侧面与底面所成二面角的大小为，记为该四棱锥底面的中心，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，线段的中点为，下列结论正确的是（）A.直线与、与所成的角相等B.侧棱与底面所成角的正切值为C.的轨迹与底面围成几何体的体积为D.记为的中点，过作截面将该四棱锥分为上、下两部分（如图），记上下两部分的体积为，，则的最小值为答案：ACD解析：思路：选项A：通过平移异面直线，将与与的夹角转化为与与的夹角，结合正四棱锥的性质判断；选项B：结合图形确定侧棱与底面所成角，再用比上底面中心到顶点的距离得到正切值即可；选项C：建立坐标系，设出的坐标，结合长度为的条件，推导点坐标满足的方程，进而确定轨迹形状，再计算对应几何体的体积；选项D：首先找到过BM的截面与棱锥其余棱的交点，确定截面形状，然后利用体积分割表示出上部分的体积，再结合基本不等式求的最小值.解答过程：正四棱锥底面边长为，是底面中心，设高，到侧面底边的投影长为，侧面与底面二面角为，因此，到顶点距离.选项A，由正四棱锥可得、，可得直线与、与所成的角为，由正四棱锥对称性，可得，即直线与、与所成的角相等，A正确；选项B，如图所示，设侧棱与底面所成角，满足，B错误；选项C，如图所示，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，设，，由得，是中点，坐标满足，代入得，且，即轨迹是半径为的上半球，体积为：，C正确；选项D，记正四棱锥的体积为，的最小值，由为定值知，只需求的最小值.如图所示，设过的截面分别交和于、，平面与平面的交线为，与相交于，则，令，，则，即有，，当且仅当时取等号，此时，所以的最小值是.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为______．答案：解析：解答过程：中，任意一个因式选取，该项式的中的指数必为负数，不可能得出，求展开式中的系数等价于求中的系数，的通项公式为，令，，故展开式中的系数为．13.已知外接圆半径为2，复数，，且，则的面积的最大值为______．答案：解析：思路：根据题意可得，进而得到，，，再利用三角形面积公式及恒等变形化简可得，继而求最值即可．解答过程：,，，，即，又为的内角，或，不妨取，则，，，由正弦定理得，则，，，当，即时，的面积取得最大值，最大值为．14.集合（为向量），若，定义.若从集合中任取两个不同的向量，则的概率为___________；若从集合中任取两个不同的向量，记，则______________.答案：①.②.解析：思路：根据定义结合古典概率计算公式可填第一空；根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，化简可填第二空.解答过程：里边元素个数为，任取两个不同向量，基本事件数为，从集合中任取两个不同的向量，若，则有两个对应位置上的值均为1，这要求一个向量恰有2个分量为1，另一个向量3个分量全为1，其中分量全为1的向量只有1个，即；恰有2个分量为1的向量有个，因此满足条件的向量对有，故的概率为；若，则，，与为不相等的向量矛盾，所以随机变量的可能取值有，对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等，此时所对应情况数为种.中元素的个数为个，所以.所以随机变量的分布列为：所以随机变量的数学期望为.首先计算：设，两边求导得，，两边乘以后得，令，得，所以所以.下面计算：因为，，，，因为，所以，所以.所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.学校组织游戏活动，学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的期望；（2）学生甲、乙各摸4次球，若最终得分相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前2次摸球得了4分，求乙获得奖励的概率．答案：（1）234；（2）解析：思路：（1）依题得到的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值；（2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”,求得和，以及和，利用全概率公式计算即可得到.（1）由题意知学生甲摸球2次总得分的取值为2，3，4，则，，，所以的分布列为：234所以．（2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”．，．当甲最终得7分时，乙获得奖励需要最终得8分，则；当甲最终得6分时，乙获得奖励需要最终得8分或7分，则；故．即乙获得奖励的概率为．16.已知分别为三个内角的对边，且（1）求角；（2）已知，为锐角三角形，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角；（2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围.（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，则，即，，因为，则，所以，即.（2）因为，，所以，所以，，所以，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以．17.如图，在多面体EFABCD中，四边形ABCD为平面四边形，四边形ABEF为平行四边形，R在线段CD上，P，Q分别为BF，FR的中点.（1）求证：PQ∥平面FAD.（2）若AF平面ABCD，AF=AB.（i）求四棱锥C-ABEF外接球的表面积；（ii）求直线AD与平面BCF所成角的大小.答案：（1）因为，分别为，的中点，所以，又在线段上，，，，所以，，所以，，且，所以，所以四边形为直角梯形，且，所以平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面；（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）根据三角形中位线定理得到PQ与BR的平行关系，再利用平行四边形证明，最后通过线面平行的判定定理证明结论；（2）（i）补全四棱锥形状，得到外接球球心位置，计算球的半径后用球的表面积公式求解；（ii）根据线面角的定义求出相关线段的长，再计算即可.（1）略（2）（i）若平面，平面，，则，又平面，平面，，所以平面，且四边形为正方形，所以四棱锥是棱长为的正方体的一部分，所以外接球的直径为棱长为的正方体的体对角线长，所以，所以四棱锥外接球的表面积为；（ii）因为四边形为正方形，所以，又由（i）可知平面，平面，所以，且，平面，所以平面，所以直线与平面所成角的正弦值为与所成角的余弦值，又易知，，所以直线与平面所成角的正弦值为所以直线与平面所成角的大小为18.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围；（3）证明：当时，.答案：（1）．（2）．（3）先证明.由第（2）问中的证明可知，当时，.所以.再证明.令.则.且.当时，，所以．因此.由于，上面两个不等式右边都为正数，所以两式相乘，得.即.故原不等式成立．解析：思路：（1）当时，先求和，再利用切线方程求解．（2）先由和得到右侧差商的极限不小于，从而得到；再证明当时，利用可得，从而确定的取值范围．（3）分别证明两个不等式和，再将两式相乘