2025-2026学年河南省青桐鸣高三下册5月联考暨考前演练数学试题 含解析

/河南省青桐鸣2026届高三5月考前演练数学试卷一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则复数（

）A． B． C． D．3．样本数据、、、、的方差为（

）A． B． C． D．4．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（

）A． B． C．4 D．5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．6．已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（

）A． B． C． D．7．已知，，，则（

）A． B． C． D．8．已知函数，则函数的极值点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，则下列结论正确的有（

）A．B．双曲线与双曲线有相同的渐近线C．双曲线与双曲线有相同的离心率D．直线与双曲线有且只有一个公共点10．已知函数，则下列选项正确的有（

）A．函数是偶函数B．是函数的最小正周期C．直线是函数的图象的一条对称轴D．函数的值域为11．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，，，则下列选项正确的有（

）A． B． C． D．三、填空题12．已知，若，则__________.13．在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________．14．已知函数，记为函数的层复合函数，为函数的层复合函数，以此类推，（，且为正整数）为函数的层复合函数，则除以的余数是__________.四、解答题15．某电子器件生产厂要生产一种标准规格为的电子器件，定义误差为产品实际规格减去标准规格.已知质检部抽检了某批次的件该产品，经统计得下表：产品实际规格频数(1)若以频率估计概率，从该电子器件生产厂生产的该批次产品中随机抽取件，其中至少有件是标准规格产品的概率是多少？(2)以频率估计概率，求该批次产品规格的误差绝对值的分布列和数学期望.16．已知函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求实数的值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，为线段的中点.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值.18．已知等差数列的前项和为，，，，其中为常数.数列满足，，.(1)求数列和的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：；(3)集合，.将中的所有元素从小到大依次排列构成数列，记为数列的前项和，求使得成立的的最小值.19．设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当在上时，与的横坐标之积为.(1)求抛物线的方程；(2)分别过，两点作抛物线的两条切线，两条切线相交于点，若是直线上的动点，证明：直线恒过定点；(3)过点作直线的垂线，直线与抛物线交于点，点与点为不同的两点，证明.题号12345678910答案ADCBBAACBDBCD题号11答案AB1．A求出集合再求可得答案.【详解】集合，，则.2．D【详解】，，，．3．C求出这组数据的平均数，利用方差公式求解即可.【详解】这组数据的平均数为，故这组数据的方差为.4．B【详解】由椭圆定义可知，焦距，则，离心率，联立，解得，，，椭圆上，，当时，的面积最大，最大值为．5．B【详解】由余弦定理得，，即解得，.因为，所以.所以.6．A【详解】因为，，所以，则，，则，则，，，，则投影向量，故选项A正确.7．A利用对数函数、指数函数的单调性，结合换底公式比较大小.【详解】由对数换底公式得：，，因为是增函数，且，所以：，即，指数函数是减函数，因此，即，综上可得.8．C对函数求导，运用导数的零点来判断函数的极值点.【详解】化简得，令，即，令，，令，则，令，则，故在定义域内单调递增；又因为，；因此，使，故在内单调递减，在内单调递增，当时，，故时，，，同理得时，，，且，故，因此，在内，单调递增，在内，单调递减，在内单调递增，，，，，故在，，区间分别有一个零点，因此函数的极值点个数有3个.9．BD【详解】∵双曲线，∴，，则，即，，.对于A选项，∵，∴，故A错误.对于B选项，∵双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同，故B正确.对于C选项，∵双曲线的离心率，双曲线中，，，离心率，∴二者离心率不相等，故C错误.对于D选项，∵直线的斜率为，与双曲线的其中一条渐近线斜率相同，∴该直线与渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，故D正确.10．BCD选项A，利用偶函数的定义判断；选项B，利用周期的定义求解；选项C，利用求解；选项D，因为的最小正周期为，只需研究上的值域，分别求出，，时的的表达式，利用正弦函数的图像和性质求解，利用最小正周期得到的值域.【详解】选项A：，，则，，，，故A错误.选项B：，再验证是否存在更小的周期，，，，故不是周期.因此是最小正周期，B正确.选项C：，，因此，C正确.选项D：因为的最小正周期为，只需研究上的值域，当时，，，，故，因为，所以，所以，所以，即.当时，，，，，因为，所以，所以，即.当时，，，，，因为，所以，所以，所以，即.综上可知，当时，，因为的最小正周期为，所以根据周期的定义可以得到的的值域为，D正确.11．AB对于A选项，能转化成周期函数；对于B、D选项根据A选项求出周期的函数值，再根据周期求和；对于C选项，将利用周期性求解验证.【详解】对于A选项，因为，用替换得，化简；同理可得；又由，用替换得；故，用替换得，所以，故，因此，故A选项正确；对于B选项，因为，所以关于中心对称，又因，所以，，令，则，，解得，因为，所以，所以，故B选项正确；同理对于D选项，，故D选项错误；对于C选项，，因为，所以，令，则，故，对求导得，令，解得，故，所以C选项错误.12．【详解】，，，．13．由三棱锥的性质结合已知条件求出，构造空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用正三角形的性质求出重心坐标，进而设圆心坐标，利用三棱锥外接球的性质构造方程求出半径，进而利用球的面积公式求解．【详解】已知，则是等边三角形，面积为，三棱锥的体积，解得，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，则，等边三角形的外接圆圆心为，设外接球球心为，则，，则，解得，，外接球的面积．14．令，分析可得，推导可知是等比数列，确定该数列的首相和公比，可得出的值，结合二项式定理可得出除以的余数.【详解】由题意可知，令，则，由题意可得，故，且，所以数列以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，所以，因为，故，因为能被整除，故除以的余数是.15．(1)(2)分布列【详解】（1）由表可知，产品是标准规格产品的概率为．设随机抽取的件产品中至少有件是标准规格产品为事件，则．（2）的可能取值为，，，用频率估计概率，，，，所以的分布列为所以的数学期望．16．(1)，(2)（1）利用函数在点处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得的值；（2）当时，恒成立，等价于，构造函数，求最小值，即可求实数的取值范围；【详解】（1）已知函数，求导得，由题意，得且，所以，．（2）由（1）可知，，由，得，又，所以，设，，又，，由，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为．17．(1)见解析(2)（1）连接交于点，连接、，根据题意，得平面，由线面垂直即可得到线线垂直；

（2）根据题意建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量即可求解.【详解】（1）连接交于点，连接，如图所示：因为底面为菱形，所以，且为和的中点，又为线段的中点，所以，又，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以．（2）设的中点为，连接，，因为底面为菱形，且，，所以，，均为等边三角形，所以，，又，，平面，所以平面，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由上得，又，所以，又，所以故点在平面中的投影在的延长线上，所以，，由，得，，则，，，，则，，，设平面的法向量，则有，取，则，设平面的法向量，则有，取，则，则，所以，所以二面角的正弦值为．18．(1)，(2)由（1）得，所以，①，②①②，得，所以.(3)（1）利用和等差数列的定义求出数列的通项公式，再分奇偶项根据等比数列的定义求出数列的通项公式即可；（2）利用错位相减求和可得答案；（3）分、、讨论求出，得不等式，再解不等式可得答案.【详解】（1）由题意，，，两式相减，得，因为，所以，由题意，得，，可得，又，所以，又为等差数列，所以，解得，所以，故公差为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以．因为，，，所以数列的奇数项构成的数列是首项为公比为的等比数列，所以，令，则，为奇数；数列的偶数项构成的数列是首项为，公比为的等比数列，所以，令，则，为偶数．综上所述，.（2）略.（3）当，，且数列的前项中有项数列中的项时，，由，得，解得，故，故当，且，，时，恒成立.当，时，，由，解得，故，故当，且，，，时，恒成立．当时，，由，得，即，所以，所以，即，故当，且时，恒成立，综上，当时，恒成立．当时，，当时，，当时，，当时，设，，恒成立，即成立，同理，当时，恒成立，综上，是使成立的最小，这时，且，解得，所以，所以满足条件的的最小值为．19．(1)(2)证明：设，由是直线上的动点，得，由（1）知抛物线的方程为，即，故，所以过，两点的两条切线方程分别为和，又，，故过，两点的两条切线方程可分别变形为和，由两条切线相交于点，得，，所以直线的方程为，又，所以，即，由，得，所以直线恒过定点．(3)证明：设点，由题意知，直线的斜率存在且不为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，直线的方程为，由得，由，得．所以，同理，，得，，易知，当最小时，的横坐标在和的横坐标之间．由抛物线的对称性，不妨设，且，则，