2025-2026学年河南省三门峡市渑池县第二高级中学高二下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B. C. D.2.已知的二项展开式共有12项，则等于（）A. B. C. D.3.（）A. B. C. D.4.的值为（）A.5 B.8 C.10 D.365.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.6.已知曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为（）A.3 B. C. D.7.甲、乙分别报名参加春季运动会中的跳远、1500米、铅球三项比赛项目，根据运动会比赛安排，这三项比赛同时进行，每人只能报其中一项，则不同的报名种数为（）A.9 B.8 C.6 D.58.从大小、材质均相同的6个红球和4个白球中依次不放回地摸出2个球，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列运算正确的是（）A.B.C.D.10.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.一共有5项B.第3项为C.所有项的系数和为0D.所有项的二项式系数和为3211.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）A.从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D.若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为________．13.现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）.14.已知函数，则的单调递减区间为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．15.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种?（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）老师不站中间，女生甲不站左端.16.已知函数在处取得极值．（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最小值．17.已知10道试题中有4道选择题，甲、乙两人依次不放回地抽取1道，求：（1）甲抽到选择题的概率；（2）在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率.18.已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.19.在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率.

数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先得，进而可得.解答过程：因为，所以，则，故选：B2.已知的二项展开式共有12项，则等于（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：依题意，的二项展开式总项数为，则，所以.3.（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：4.的值为（）A.5 B.8 C.10 D.36答案：C解析：解答过程：5.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据导数的几何意义判断.解答过程：从图象看，函数的增长越来越平缓，因此，而表示与间的平均变化率，因此.6.已知曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为（）A.3 B. C. D.答案：D解析：解答过程：，因为在点处的切线与直线平行，所以，解得.7.甲、乙分别报名参加春季运动会中的跳远、1500米、铅球三项比赛项目，根据运动会比赛安排，这三项比赛同时进行，每人只能报其中一项，则不同的报名种数为（）A.9 B.8 C.6 D.5答案：A解析：思路：根据分步乘法计数原理，将甲、乙的报名种数相乘即可.解答过程：甲报名参加其中一项比赛项目有3种选法，乙报名参加其中一项比赛项目也有3种选法，根据分步乘法计数原理可知，有种报名方法.8.从大小、材质均相同的6个红球和4个白球中依次不放回地摸出2个球，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据条件概率的概率公式即可求出．解答过程：设“第1次摸到红球（第2次无限制）”为事件，则，“第1次摸到红球，第2次摸到白球”为事件，则，故在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为．故选：D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列运算正确的是（）A.B.C.D.答案：BD解析：解答过程：对于A项：，所以A错；对于B项：，所以B对；对于C项：，所以C错；对于D项：，所以D正确．10.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.一共有5项B.第3项为C.所有项的系数和为0D.所有项的二项式系数和为32答案：CD解析：思路：利用展开式的通项公式和赋值法可求解.解答过程：因为的展开式共有6项，所以A不正确；通项公式为，令可得第三项为，B不正确；令可得所有项的系数和为0，C正确；所有项的二项式系数和为，D正确.故选：CD11.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）A.从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D.若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法答案：BD解析：思路：根据分类与分步计数原理逐个计算即可.解答过程：A选项：取2个球，红、黄各1，有种选法，该选项错误.B选项：每种颜色选出1个球，共取3个，有种选法，该选项正确.C选项：要选出不同颜色的2个球，有3种情况：若取1红1黄，有种选法；若取1红1绿，有种选法；若取1黄1绿，有种选法；因此共有种选法，该选项错误.D选项：甲先选有15种选法，乙再选有14种选法，所以共有种选法，该选项正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为________．答案：解析：解答过程：展开式的通项是，当时，，则的系数为13.现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）.答案：72解析：思路：由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得.解答过程：根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法；第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法.由分步乘法计数原理，不同站法数为种.故72.14.已知函数，则的单调递减区间为______．答案：解析：思路：利用导数与函数单调性的关系求解即可.解答过程：函数的定义域为，且，令，解得，所以的单调递减区间为四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．15.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种?（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）老师不站中间，女生甲不站左端.答案：（1）1440种（2）144种（3）3720种解析：思路：（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数.（2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数.（3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数.（1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法．（2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法．（3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法：当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法．根据分类加法计数原理知共有（种）站法．16.已知函数在处取得极值．（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最小值．答案：（1）3（2）⋅解析：思路：（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值；（2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值.（1）由题意得的定义域，且因为函数在处取值得极值，所以解得此时，，令得或，令得，故函数在，上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意所以．（2）由（1）得，，令，得，所以函数在单调递增，令，得，所以函数在单调递减，所以函数在处取极小值，所以当时，的最小值为17.已知10道试题中有4道选择题，甲、乙两人依次不放回地抽取1道，求：（1）甲抽到选择题的概率；（2）在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（1）甲抽到选择题的概率为（2）在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率为.18.已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.答案：（1）；（2）3.解析：思路：（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案解答过程：（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是（2）由题意知.因为，所以.由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所以，所以，即.方法提示：本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.19.在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个