2025-2026学年湖南衡阳市祁东县第一中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则其共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.2.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.3.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.4.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（）A. B. C. D.5.如图所示，一艘海轮在海面上的处发现一座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，则处与小岛之间的距离为（）.A. B. C.10 D.6.若的三个内角满足，则是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.锐角三角形7.某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（）A. B. C. D.8.在△ABC中，，且，，若，则的最小值为（）A. B. C.4 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知都是复数，下列选项中正确的是（）A.若，则或 B.若，则C.若，则是实数 D.若，则10.已知向量，，则下列叙述中正确的是（）A.不论取何值都有 B.存在实数，使C.存在实数，，使 D.存在实数，，使11.已知正四棱锥的底面边长为1，高为，该正四棱锥的顶点在正方体的内部（包括表面），则下列结论正确的是（）A.的取值范围是B.若正四棱锥的侧棱长为，则C.当点为正方体的上底面的中心时，正四棱锥外接球的表面积为D.当点为正方体的内切球球心时，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，，则__________．13.已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________．14.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，，且是实数.（1）求；（2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.16.如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．（1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；（2）试确定缉毒船的行驶方向．17.已知单位向量满足．（1）求的最大值；（2）若在上投影的数量为，求的值；（3）设向量满足，求的取值范围．18.在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），求：（1）四棱台的表面积；（2）四棱台的体积；（3）求的最小值.19.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长；（3）若，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则其共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由复数的运算化简，再求出共轭可得.解答过程：，所以，其虚部为.故选：A.2.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.答案：A解析：思路：分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.解答过程：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.方法提示：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．解答过程：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．4.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分析可知中，，求出、的长，利用三角形的面积公式求解即可.解答过程：在斜二测直观图中，，且，所以为等腰直角三角形，所以，且，由斜二测画法可知，在中，，且，，故.故选：C.5.如图所示，一艘海轮在海面上的处发现一座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，则处与小岛之间的距离为（）.A. B. C.10 D.答案：B解析：解答过程：由题可知在中，，，所以，由正弦定理可得：，又，所以（海里）．6.若的三个内角满足，则是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.锐角三角形答案：A解析：思路：利用二倍角公式将已知等式化为，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断.解答过程：利用二倍角公式将已知等式化为，即，由正弦定理得，即，所以，所以是直角三角形.故选：A.7.某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积.解答过程：如图,点分别是棱台上下底面的中心，分别取边的中点,连接.设四棱台的高为，则.由图知，,设正四棱台的斜高.所以正四棱台的侧面积为.故选：D8.在△ABC中，，且，，若，则的最小值为（）A. B. C.4 D.答案：A解析：思路：建立平面直角坐标系，用坐标表示出，由此可知表示轴上一点到和的距离之和，由对称性即可得出答案.解答过程：由可得，又因为，，所以，建立如图所示的平面直角坐标系，可得，所以，，，所以，，表示轴上一点到和的距离之和，所以求即，关于轴的对称点为，所以，所以的最小值为，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知都是复数，下列选项中正确的是（）A.若，则或 B.若，则C.若，则是实数 D.若，则答案：ACD解析：思路：根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解.解答过程：若，则或，故A正确；若，，满足，但，故B错误；若，则是实数，故C正确；若，则，得或，所以，故D正确.故选：ACD.10.已知向量，，则下列叙述中正确的是（）A.不论取何值都有 B.存在实数，使C.存在实数，，使 D.存在实数，，使答案：AD解析：思路：利用向量垂直的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示推理判断BCD.解答过程：对于A，任意实数，，则，A正确；对于B，，而方程无实数解，即不共线，B错误；对于C，，若，则，而此方程无实数解，C错误；对于D，令，则，无论为何值，都有，D正确.故选：AD11.已知正四棱锥的底面边长为1，高为，该正四棱锥的顶点在正方体的内部（包括表面），则下列结论正确的是（）A.的取值范围是B.若正四棱锥的侧棱长为，则C.当点为正方体的上底面的中心时，正四棱锥外接球的表面积为D.当点为正方体的内切球球心时，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为答案：CD解析：思路：设正方形和正方形的中心分别为，当在线段（不含端点）上，即可判断A；根据勾股定理即可判断B；设正四棱锥的外接球球心为，半径为，则点在上，连接，根据勾股定理求得，由球的表面积公式即可判断C；当为正方体的内切球球心时，此时正方体被分割为6个与四棱锥相同的四棱锥，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为内切球体积的，根据球体积公式即可判断D．解答过程：对于A，设正方形和正方形的中心分别为，因为正四棱锥的底面边长为1，高为，该正四棱锥的顶点P在正方体的内部（包括表面），所以当在线段（不含端点）上，此时，故A错误；对于B，如图，在中，，故B错误；对于C，设正四棱锥的外接球球心为，半径为，则点在上，连接，在中，，则，解得，所以正四棱锥的外接球表面积，故C正确；对于D，当为正方体的内切球球心时，此时正方体被分割为6个与四棱锥相同的四棱锥，所以正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为内切球体积的，所以公共部分的体积为，故D正确；故选：CD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，，则__________．答案：解析：思路：根据复数的除法运算求解即可．解答过程：依题意可得．13.已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________．答案：解析：思路：根据圆的面积公式和圆台的侧面积公式求出圆台的上、下底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆台的高，最后利用圆台的体积公式求解.解答过程：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则，，，．又，，，．故14.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________．答案：3解析：思路：对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值.解答过程：与的夹角为，与的夹角为，且，；对两边平方得：①；对两边点乘得：，两边平方得：②；①②得：；根据图象知，，，代入得，；．故3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，，且是实数.（1）求；（2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题中条件及复数的乘法法则、复数的分类即可求解的值，再根据共轭复数的定义即可求解；（2）由（1）知，根据复数的加法运算及复数的几何意义即可求解.（1）∵，，∴.∵是实数，∴，解得.∴，∴.（2）由（1）知，∴.∵复数对应的点在第四象限，∴，解得，即实数m的取值范围为.16.如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．（1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；（2）试确定缉毒船的行驶方向．答案：（1）缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕（2）缉毒船的行驶方向为北偏东解析：思路：（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解；（2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果.（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，由题意可知：，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕.（2）由（1）可知：，由正弦定理可得，且为锐角，则，可得，所以缉毒船的行驶方向为北偏东.17.已知单位向量满足．（1）求的最大值；（2）若在上投影的数量为，求的值；（3）设向量满足，求的取值范围．答案：（1）1（2）0（3）解析：思路：（1）根据平面向量的数量积运算律求得，然后利用二次函数性质求解最大值；（2）根据数量积投影公式列方程，化简得，即可求解；（3）设，，结合数量积的运算律及模的运算，根据数量积的夹角公式得，化简得，设函数，则在区间上存在零点，结合判别式法，根据零点存在定理判断求解即可.（1）因为单位向量满足，则，当且仅当时等号成立，故当时，取得最大值为1；（2）在上投影的数量为，又，则得，所以；（3）设，，则，，因，故，整理得，设函数，则在区间上存在零点，则，即，解得，即，又，，且当时，，即，即在区间上存在零点，所以的取值范围为.18.在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），求：（1）四棱台的表面积；（2）四棱台的体积；（3）求的最小值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先求出正四棱台上下底面的面积，再求侧高，由此得出侧面积，最后即可得出表面积；（2）先求出正四棱台的高，再根据体积公式即可得体积；（3）将侧面展开在同一平面，判断出点共线时，最小，结合余弦定理即可求出．（1）由题可知，四边形为正方形，所以，分别取的中点，则为侧面的高，因为侧面为等腰梯形，则侧面的高，所以一个侧面的面积为，故正四棱台的表面积为.（2）连接，取中点，连接，过点作，则正四棱台的高为，且，则，在梯形中，，所以四棱台的体积.（3）把四边形展开至同一个平面，当点共线时，最短，由侧面展开图知：由余弦定理得，，解得，