2025-2026学年湖北罗田县第一中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A. B. C. D.22.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.3.已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（）A. B.C. D.4.古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，，如图，则（）A. B.C. D.5.已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.6.将的图像上所有点向右平移1个单位长度后，得到函数，的图像，函数的图像如图所示，则（）A.B.的图像的对称轴方程为C.不等式的解集为D.在上单调递增7.中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（）A. B. C. D.8.已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图像与函数（且）的图象所有交点横坐标之和为A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A. B.复数的虚部为C.若复数为纯虚数，则 D.10.在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若为锐角三角形，则C.若，则一定为钝角三角形D.若的三角形有两解，则a的取值范围为11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（）A.若，则为的重心B.若，则C.若，则D.若为的内心，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角的终边上有一点，其中，则的值为___________.13.给出如下命题：①若点为角终边上一点，则；②若，则一定是第一象限角或第四象限角③，的值都大于④终边不同的角的同名三角函数的值不相等．其中正确命题的序号是__________．14.在中，，，为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且，若的最小值为3，则_____．四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.若已知向量，，设函数.（1）若且，求角的大小；（2）已知，均为锐角，，，求的值.16.已知，函数是奇函数，.（1）求实数a的值；（2）若，，使得，求实数k的取值范围.17.在中,内角所对的边分别是且.（1）求角;（2）若,求边上的角平分线长;（3）求边上的中线的取值范围．18.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记．（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度；（3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．19.如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中①若，求；②若，且与的夹角为，求；（2）如上图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在轴，轴正半轴上，分别为BD，BC中点，求的最大值.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A. B. C. D.2答案：D解析：思路：先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.解答过程：依题意得，，故.故选：D2.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用指数函数和对数的单调性、三角函数值即可得出.解答过程：∵，∴在上单调递增，∴，∵，∴在上单调递增，∴，，，所以．故选：D．3.已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据夹角公式判断出，同时需排除两向量同向共线的情况.解答过程：由夹角公式，的夹角为锐角，即，即，解得；当共线时，，解得，此时满足，此时两向量夹角为，于是的夹角为锐角时，.故选：A4.古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，，如图，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解.解答过程：记，由图知：，，，所以.故选：B.5.已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，根据向量的坐标运算及向量相等的充要条件得到方程，求出的坐标，再根据投影向量的定义计算可得.解答过程：设，又，则，，，因为，所以，即，解得，所以，则，，所以，，所以在上的投影向量为.故选：D6.将的图像上所有点向右平移1个单位长度后，得到函数，的图像，函数的图像如图所示，则（）A.B.的图像的对称轴方程为C.不等式的解集为D.在上单调递增答案：D解析：思路：根据图像先求出函数的解析式，再根据平移求出的解析式，结合函数的性质对选项进行判断即可.解答过程：由图知，，函数的图像的最小正周期，所以，所以，因为点在的图像上，所以，所以，因为，所以，所以，故选项A错误；所以令，解得，所以的图像的对称轴方程为，故选项错误；由，得，所以，即不等式的解集为，所以选项错误；令得，即的单调递增区间为，因为，所以选项D正确．故选：D．7.中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由余弦定理求出，即可得到，设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；解答过程：解：由余弦定理，即，所以，所以，即，则△ABC为等腰直角三角形.设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，则，，，设，，则，，，因为，即，所以，所以，所以当，即时；故选：A8.已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图像与函数（且）的图象所有交点横坐标之和为A. B. C. D.答案：D解析：思路：先由题意求得，分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性即可得到交点坐标问题．解答过程：依题意，函数的最小正周期为，即，得，则，又，即，所以，因为，所以，故，又因为，所以关于中心对称，而也关于中心对称，作出两个函数的图像，可知两函数共有个交点，且都关于成中心对称，则易知这六根之和为.故选D.方法提示：本题主要考查考查了利用正切型函数的性质求函数解析式，考查了利用对称判函数交点以及数值的计算，利用数形结合是解决此类问题的关键，综合性较强．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A. B.复数的虚部为C.若复数为纯虚数，则 D.答案：AD解析：思路：根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误.解答过程：因为，A正确；复数的虚部为，B不正确；若，则，，C不正确；设，所以，，D正确.故选：AD.10.在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若为锐角三角形，则C.若，则一定为钝角三角形D.若的三角形有两解，则a的取值范围为答案：ABD解析：思路：本题A选项根据三角形的边角关系结合正弦定理即可解决；B选项根据锐角三角形中任意两个角的和大于，再由诱导公式即可解决；C选项根据三角形内角和定理、诱导公式化简并结合已知条件讨论确定符号，从而确定角的情况；D选项已知两边和其中一边的对角，根据有两解画图分析列出不等式即可得出a的取值范围.解答过程：A选项：根据大角对大边，，根据正弦定理可得，其中R为三角形外接圆半径，于是，A正确；B选项：若为钝角三角形，则，所以，则，B正确；C选项：因为，所以，所以，因为，所以中有0个或2个为负数，又因为中最多一个为钝角，所以，即都是锐角，所以为锐角三角形，C错误．D选项：因为三角形有两解，所以，即所以a的取值范围为，D正确．故选：ABD.11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（）A.若，则为的重心B.若，则C.若，则D.若为的内心，且，则答案：ABD解析：思路：根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项.解答过程：对于A选项，若，则，取线段的中点，连接，则，所以，，即，故、、三点共线，分别取线段、的中点、，连接、，同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心，因此，若，则为的重心，A对；对于B选项，若，由“奔驰定理”可得，所以，，所以，，故，B对；对于C选项，若，即，即，即，又，不共线，所以，所以由“奔驰定理”可得，C错；对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为，则，因为，则，故，设，则，，则，故为直角，所以，，D对.故选：ABD.方法提示：关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角的终边上有一点，其中，则的值为___________.答案：解析：思路：讨论和时，由三角函数的定义求出，的值代入所求代数式即可求解.解答过程：因为角的终边上有一点，当时，，，则，当时，，，则，故.故答案为.13.给出如下命题：①若点为角终边上一点，则；②若，则一定是第一象限角或第四象限角③，的值都大于④终边不同的角的同名三角函数的值不相等．其中正确命题的序号是__________．答案：③解析：思路：根据三角函数的定义，可判定①不正确；根据，可判定②错误；根据诱导公式和三角函数的符号，可判定③正确；根据特殊角的三角函数的值，可判定④错误.解答过程：对于①，若点为角终边上一点，可得r=当时，可得，则当时，可得，则，所以①错误；对于②，当时，，此时角终边在轴的非负半轴上，不属于第一象限角或第四象限角，所以②错误；对于③，由，因为，所以，所以，所以③正确；对于④，例如，，其中与的终边不同，但正弦值相等，所以④错误．14.在中，，，为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且，若的最小值为3，则_____．答案：解析：思路：取中点，再根据平面向量的线性运算即数量积运算化简可得，进而可得当时取最小值，再根据勾股定理与余弦定理求解即可.解答过程：取中点，则，又的最小值为3，故，易知最小时且，所以，，则，所以.故四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.若已知向量，，设函数.（1）若且，求角的大小；（2）已知，均为锐角，，，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）应用向量平行坐标表示列式化简求角；（2）由向量数量积公式结合三角恒等变换求值，最后应用两角和差正弦公式计算.（1），，，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，.16.已知，函数是奇函数，.（1）求实数a的值；（2）若，，使得，求实数k的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据奇函数的定义，建立方程，结合对数运算，经过验根，可得答案；（2）整理是函数解析式，利用复合函数单调性，求得函数在对应区间上的最小值，由题意化简不等式，可得答案.（1）由函数是奇函数，则，可得，，，解得，由，则，当时，，可得，，解得，所以函数的定义域为，经检验，符合题意.（2）由函数，则函数在上单调递增，所以函数在上的最小值；由函数，且当时，，则在上的最小值.由，，使得，则，即，解得.17.在中,内角所对的边分别是且.（1）求角;（2）若,求边上的角平分线长;（3）求边上的中线的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）运用正弦定理将边化为角,再进行三角恒等变换,求出,得出即可.（2）先选用余弦定理得出关系式,再将三角形面积进行转化,用等面积法.,运用面积公式求解即可.（3）先用中线的向量表达式,,两边平方,将中线长转化为求的范围,后将又转化为三角函数求值域问题,最终求得中线长范围.（1）因为,根据正弦定理,即,即,又,所以,因为,所以．（2）由及余弦定理得,即,又因为,所以,所以,所以,即．（3）因为是的中点,所以,则,由正弦定理得,即,因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以,即边上的中线的取值范围为．18.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记．（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度；（3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．答案：（1），．（2）（米）．（3）或，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．解析：思路：（1）首先用将线段表示出来，进而可得到长度的表达式，然后根据线段的长度求出的范围.（2）根据已知条件先求出的值，进而可求出管道的长度.（3）首先设，化简的