2025-2026学年湖南常德外国语学校高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则可表示不同的点的个数是（）A.1 B.3 C.6 D.92.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知数列为等差数列，，，则（）A.3 B.6 C.9 D.124.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，则（）A. B. C. D.或6.设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（）A.1 B.2 C. D.7.如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（）A. B. C. D.8.如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（）A.样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10B.样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数的值越大C.根据分类变量与的成对数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为变量与不独立D.一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内10.已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含项的系数为4511.已知数列满足，的前n项和为，则（）A. B.数列是等比数列C.，，构成等差数列 D.数列前100项和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若集合，则__________.13.已知向量满足，且与的夹角为，则____________.14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数与函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线与曲线在公共点处的公切线方程．16.记的内角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）若的角平分线交边于点，，，求的周长.17.某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在[70，80)中的市民有200人心理测评评价标准调查评分[0，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]心理等级EDCBA（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50)的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60)的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值．19.已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为.（1）求双曲线的标准方程；（2）为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点.①求证：直线与圆相切；②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则可表示不同的点的个数是（）A.1 B.3 C.6 D.9答案：D解析：思路：利用分步乘法计数原理求解即可．解答过程：这件事可分为两步完成：第一步，在集合中任取一个值有3种方法；第二步，在集合中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有（个）不同的点．故选：D2.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．解答过程：由题意得，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限．故选D．方法提示：解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.已知数列为等差数列，，，则（）A.3 B.6 C.9 D.12答案：C解析：思路：利用等差数列下标和的性质求解.解答过程：因为是等差数列，，所以，所以，故选：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：结合充分条件、必要条件与集合之间的关系，进行判断；解答过程：不等式解得，由于是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的必要不充分条件；故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.或答案：C解析：思路：由平方关系分别求出，利用，由两角差的余弦公式求解.解答过程：因为，所以，所以，因为，，所以，又，所以，，所以，所以，故选：C.6.设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（）A.1 B.2 C. D.答案：C解析：思路：由题意得直线过定点，圆心为，所以与垂直时，最小，以此求解即可.解答过程：由题意得，则直线过定点，圆心为，半径，点到圆心的距离，所以直线与圆相交于M，N两点，且与垂直时，最小，此时，且，则.7.如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将目标事件合理拆分，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.解答过程：由题意得，我们第一次抛掷正方体骰子，为奇数的概率为，此时第二次抛掷正四面体骰子，的概率为，而两次抛掷骰子相互独立，故为奇数时的概率为，我们，第一次抛掷正方体骰子，为偶数的概率为，此时第二次抛掷正八面体骰子，的概率为，而两次抛掷骰子相互独立，故为偶数时的概率为，而为奇数时和为偶数时互斥，由互斥事件加法公式得的概率为，故C正确.故选：C8.如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先建立空间直角坐标系，求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标，再设外接球球心，利用球心到上下底面顶点距离均为半径列方程，解出半径后计算外接球表面积.解答过程：取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系，因为下底面边长为，几何体的高为，故，，，，，，，.设几何体外接球的球心为，外接球半径为.在中，，在中，则，解得.所以.故该几何体的外接球的表面积故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（）A.样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10B.样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数的值越大C.根据分类变量与的成对数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为变量与不独立D.一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内答案：ABD解析：思路：选项A：根据百分位数的定义求解即可；选项B：根据相关系数与相关程度的关系判断即可；选项C：根据小概率值的独立性检验原理判断即可；选项D：根据一元线性回归模型拟合效果判断即可.解答过程：选项A：将样本数据从小到大排列：2，3，3，4，7，8，10，18，则，所以第80百分位数为第7个数字，即，故A正确.选项B：样本正相关系数的取值范围是，越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强.故正线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1，故B正确.选项C：在独立性检验中，当时，没有充分证据推断原假设不成立，应认为变量与独立，故C错误.选项D：残差均匀分布在0附近的水平带状区域，则模型拟合效果好，故D正确.10.已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含项的系数为45答案：BCD解析：思路：由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.解答过程：由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,所以二项式为,则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,故选:BCD方法提示：本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.11.已知数列满足，的前n项和为，则（）A. B.数列是等比数列C.，，构成等差数列 D.数列前100项和为答案：AD解析：思路：令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD.解答过程：对于A，当时，可得，故A正确；对于B，当时，，两式相减可得，所以，当，适合上式，所以；由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误；对于C，由可知，，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，，，又，所以，所以，，不构成等差数列，故C错误；对于D，，所以，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若集合，则__________.答案：解析：思路：先利用指数函数的性质化简集合，再利用交集的概念运算.解答过程：得，则，则故13.已知向量满足，且与的夹角为，则____________.答案：解析：思路：先根据向量数量积的定义求，再结合向量的运算法则求，可得.解答过程：由题意：，所以，所以.故14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________.答案：2解析：思路：法1：由题意得，令，求导可得，则，再分、、三种情况求最值即可；法2：利用几何意义，表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和，作于，根据，即求的最值即可．解答过程：法1：由题意得，令，则，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即.当时，，当且仅当时，取得最小值2.当时，，当且仅当时，取得最小值2.当时，，当且仅当，时，取得最小值2.综上所述，的最小值为2.法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和.作于，，令，则，令，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，故的最小值为2．故．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数与函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线与曲线在公共点处的公切线方程．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得；（2）设曲线与曲线的公切点为，然后根据导数的几何意义可得切点，进而即得.（1），，.在点处的切线方程为：；（2）设曲线与曲线的公切点为，，，令，即，或（舍），，∴所求公切线方程：，即.16.记的内角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）若的角平分线交边于点，，，求的周长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得；（2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得.（1）由及正弦定理，得，，，，，，，或.，，，即.（2）如图：，，①，又在中，由余弦定理可得，即②，将①代入②得，或（舍）,.的周长为.17.某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在[70，80)中的市民有200人心理测评评价标准调查评分[0，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]心理等级EDCBA（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50)的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60)的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)答案：（1），t=0.002；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.解析：思路：（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值；（2）设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解；（3）利用频率分布直方图的平均数求出平均数即得解.解答过程：解：(1)由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面职之和为1.所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8t)×10=1，解得t=0.002·(2)由(1)知：t=0.002，所以调查评分在[40，50)中的人数是调查评分在[50，60)中人数的，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50)中有1人，在[50，60)中有2人，设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”.因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以所以故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为·(3)由频率分布直方图可得，45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7.估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，所以市民心理健康指数平均值为.所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证；（2）利用等体积法求出点到平面的距离；（3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值.（1）连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且，所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以