2025-2026学年湖南常宁市第一中学等学校高一下册期中数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A.2 B. C.1 D.3.若，是空间中两条不同的直线，则“存在平面，使，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，，则（）A.4 B. C.8 D.165.某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（）A. B. C. D.6.已知，若函数f(x)=xA. B. C. D.7.在直角梯形中，，，，，为的中点，则（）A.4 B.6 C.8 D.128.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与是平行直线 B.直线与是异面直线C.直线与所成的角为 D.，，，四点共面10.设，，为复数，．下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则11.在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若幂函数的定义域为，则实数______．13.若，则______．14.四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若，且，求的值；（2）设函数，，求的值域．16.在中，内角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若，为的中点，，求．17.已知函数的图象关于原点对称．（1）求实数的值；（2）若，求的取值范围；（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．18.如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由．19.已知函数满足，集合都存在最大值和最小值，记其最大值与最小值之差为．（1）分别对以下函数计算（不要求写出计算过程）：①；②．（2）已知，且，求；（3）已知，，其中为给定的大于0的常数，且，，证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：解：A∩2.已知复数满足，则（）A.2 B. C.1 D.答案：C解析：思路：根据复数的除法运算得到复数，再求模长即可．解答过程：解：，则．3.若，是空间中两条不同的直线，则“存在平面，使，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：由充分条件与必要条件定义，借助直线与平面的关系判断即可得.解答过程：若，可知直线，是共面直线，则存在平面，使，，即必要性成立；若存在平面，使，，则直线，可能相交，即充分性不成立；综上所述：“存在平面，使，”是“”的必要不充分条件．4.已知，，则（）A.4 B. C.8 D.16答案：C解析：解答过程：由，得，由，得，即，所以．5.某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：在中，利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理可求得.解答过程：在中，，由正弦定理得，所以AC=AD在中，，，由余弦定理得，所以．6.已知，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，两段函数的零点分别为、，再结合区间求解即可．解答过程：解：由，解得，又，所以，则是函数的一个零点，由，解得，要使得有两个不同的零点，则．7.在直角梯形中，，，，，为的中点，则（）A.4 B.6 C.8 D.12答案：D解析：思路：利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解．解答过程：解：在直角梯形中，，，，，则，由为的中点，得，所以DM⋅8.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果.解答过程：依题意则得，即，所以,；设，因为，所以,，解得,；因此,，可得，结合图象可得，解得.故选：B方法提示：关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与是平行直线 B.直线与是异面直线C.直线与所成的角为 D.，，，四点共面答案：BCD解析：思路：对于A，取的中点为，连接，易得，结合，相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线与所成的角，再求角即可判断；对于D，连接，易知，再由平面确定定理即可判断．解答过程：解：对于A，取的中点为，连接，如下图所示：由正方体性质可知，若直线与是平行直线，则可得，，三点共线，显然这与，相交于点矛盾，故A错误；对于B，易知平面，平面，直线，平面，可得直线与是异面直线，故B正确；对于C，连接，，如下图：可得，故为直线与所成的角，而，可得直线与所成的角为，故C正确；对于D，连接，易知，可知，，，四点共面，故D正确．10.设，，为复数，．下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：ABC解析：解答过程：设z3=a+b则z2由可得，因为，所以，即，故B正确；若，则，由模长性质知，z1z3=所以，故C正确；取，，显然满足，但，故D错误．11.在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：由正弦定理，对进行边角互化，结合的取值范围得sin2A+sin2B≥sin2C，再利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解答过程：因为，所以，根据正弦定理边角互化得，因为，，所以，即，所以，即b2+由余弦定理可知，，故，若，则，注意到，所以，（两者同负会有两个钝角，不成立），即，，因为A+B>π2所以sinA于是，这和相矛盾，故不成立，所以．所以，，，所以，故A选项正确；，即，所以或，即或，当时，，；当时，，，故B选项错误；因为的面积为，所以，当，时，，，，解得，，；当，时，，，，解得，，，故C选项错误，D选项正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若幂函数的定义域为，则实数______．答案：3解析：解答过程：解：由题意得，解得或，当时，，此时定义域不为，故舍去；当时，，满足题意．13.若，则______．答案：解析：思路：先用二倍角公式及和差公式化简，再结合商数关系求值即可．解答过程：解：由题意可得sin14.四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______．答案：##解析：思路：法一：可将四棱锥放入正方体中，则可作出截面与正方体各棱交点，再利用相似三角形性质计算即可得解；法二：过点作直线，延长与直线交于点，则交于点，再作出相应的相似三角形，利用相似三角形性质计算即可得解.解答过程：法一：如图1，将四棱锥放入正方体中，延长与正方体刚好交于点，延长与交于点，连接，过点作与交于点，此时，，，，四点共面，则与的交点为点，，又，则，，，，.法二：如图2，过点作直线，延长与直线交于点，连接交于点，过点作交于点，则点为上靠近点的四等分点．，，则，，，又，．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若，且，求的值；（2）设函数，，求的值域．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题可得，进而由同角三角函数关系可得，再由两角差的正弦公式求值即可；（2）根据恒等变形化简得，再整体法求值域即可．（1）因为，所以，又，所以cosα=故f；（2）g(x)=2当时，，所以sin2x+故的值域为．16.在中，内角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若，为的中点，，求．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）根据给定条件，逆用和角的正弦公式及正弦定理角化边求解.（2）利用数量积的运算律及余弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解.（1）在中，由，得，即，由正弦定理得，因此，而，所以.（2）由为中点，得，则，由（1）知，又，，则，整理得，则，由余弦定理，得，则，于是，则∠C=π2所以cos∠17.已知函数的图象关于原点对称．（1）求实数的值；（2）若，求的取值范围；（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（3）．解析：思路：（1）利用奇函数的性质，代入表达式化简后即可得到答案；（2）先由（1）得的表达式，再根据函数单调性的定义，任取并作差，通过判断差的正负来证明在上单调递减，由函数的单调性即可得到的取值范围；（3）先化简不等式左边得到，再参变分离得，最后观察函数的单调性求出最小值，从而得到的取值范围.（1）解：因为函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数，令可得，，解得，经验证，时，，因此，实数的值为1；（2）解：由（1）可知，则f(x则任取，且，则，即，因此函数在上单调递减，f2由f2log3又由于，所以的取值范围是．（3）解：因为1−f(x所以即，因为，所以，则不等式转化为有解，令，m≥[g所以，即实数的取值范围是．18.如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由．答案：（1）证明见解析（2）（3）线段即为点的轨迹，理由见解析解析：思路：（1）过作，交于，可证四边形为平行四边形，得到，即，再由线面平面的判定即可证明；（2）法一：连接，根据VB−AMG=（3）根据题意，VQ−ABCD=3VQ−ACD=3（1）证明：在平面中，过作，交于，因为为的中点，所以为的中点，则，，又，，所以且，则四边形为平行四边形，所以，即，因为平面，平面，所以平面．（2）法一：连接，则，∴V法二：（等体积法）由知，因为，所以VB−因为，所以．（3）四棱锥和三棱锥中含有相同的字母，，，保留这三个字母，将其他字母统一化．VQ所以点到平面的距离是点到平面的距离的三倍，即平面经过线段的一个四等分点（靠近点），，所以点到平面的距离是点到平面的距离的两倍，即平面经过线段的一个三等分点（靠近点），又平面与平交于一条直线，点，确定该直线，因此，线段即为点的轨迹．19.已知函数满足，集合都存在最大值和最小值，记其最大值与最小值之差为．（1）分别对以下函数计算（不要求写出计算过程）：①；②．（2）已知，且，求；（3）已知，，其中为给定的大于0的常数，且，，证明：．答案：（1）①10；②（2）或．（3）证明见解析解析：思路：（1）根据定义，结合函数单调性得到最值即可求解；（2）易知，再分c∈1,32（3）先证明：，在上的最值点有且仅有和，再证明即可．（1）①在单调递增，∴f∴D②在单调递减，在单调递增，∴f(x∴D（2）由定义：，解得．函数的图象对称轴为直线，开口向上