第五章 提升 练习1　导数中的函数构造问题

第五章提升练习1导数中的函数构造问题1.(2025·广东广州高二期末)函数的定义域为R，f(2)＝－1，对任意x∈R，f'(x)＜－1，则f(x)＞1－x的解集为(A)A.(－∞，2) B.(2，＋∞)C.(－1，1) D.(1，＋∞)【解析】令g(x)＝f(x)＋x，∵对任意x∈R，f'(x)＜－1，∴g'(x)＝f'(x)＋1＜0，即g(x)在R上单调递减，又f(2)＝－1，∴g(2)＝f(2)＋2＝1，由f(x)＞1－x，可得f(x)＋x＞1，即g(x)＞g(2)，∴x＜2，即不等式f(x)＞1－x的解集为x∈(－∞，2).2.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)＋f(x)≤0，对任意的0＜a＜b，则必有(A)A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a)【解析】∵xf'(x)≤－f(x)，f(x)≥0，∴[f(x)x]'＝xf'(x则函数f(x)x在(0，＋∞)上单调递减.由于0＜则f(a)a≥f(b)b，即af(3.(2025·重庆沙坪坝期末)设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若f(x)＋f'(x)＞0，f(1)＝1，则不等式f(x)＞e1－x的解集为(B)A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.(－∞，0) D.(0，1)【解析】构造函数g(x)＝f(x)·ex，则g'(x)＝[f'(x)＋f(x)]·ex＞0，故g(x)在R上单调递增，g(1)＝e，f(x)＞e1－x可化为g(x)＞e＝g(1)，故原不等式的解集为(1，＋∞).4.已知函数f(x)＝xlnx＋x(x－a)2(a∈R).若存在x∈(12，2)，使得f(x)＞xf'(x)成立，则实数a的取值范围是(CA.(94，＋∞) B.(32，＋∞) C.(2，＋∞) D.(3【解析】由f(x)＞xf'(x)成立，可得f(x)x'＝xf'(设g(x)＝f(x)x＝lnx＋(x－a)2，则存在x∈(1使得g'(x)＝1x＋2(x－a)＜0成立，即a＞(又x＋12x≥2x·12x＝2，当且仅当x＝12x，即x5.设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)＞0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞e－3x的解集为(A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.(－∞，0) D.(0，1)【解析】令g(x)＝e3xf(x)，则g'(x)＝3e3xf(x)＋e3xf'(x)，∵3f(x)＋f'(x)＞0，∴3e3xf(x)＋e3xf'(x)＞0，∴g'(x)＞0，∴函数g(x)＝e3xf(x)在R上是增函数，又f(x)＞e－3x可化为e3xf(x)＞1，且g(0)＝e3×0f(0)＝1，∴g(x)＞g(0)，解得x＞0，∴不等式f(x)＞e－3x的解集为(0，＋∞).6.函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意的正数x都有2f(x)＞xf'(x)成立，则(A)A.9f(2)＞4f(3) B.9f(2)＜4f(3)C.9f(2)＝4f(3) D.9f(2)与4f(3)的大小不确定【解析】由2f(x)＞xf'(x)，得xf'(x)－2f(x)＜0，设g(x)＝f(则g'(x)＝x2f'(x)－2xf(x)又xf'(x)－2f(x)＜0，∴g'(x)＜0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴g(2)＞g(3)，即f(2)22＞f(3)32，即9f7.(2025·黑龙江齐齐哈尔期末)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)有f'(x)sinx－f(x)cosx＜0，则关于x的不等式f(x)＞2f(π6)sinx的解集为(BA.(0，π3) B.(0，π6) C.(π3，π) D.(π【解析】令函数g(x)＝f(x)sinx，x∈(求导得g'(x)＝f'(x)∴函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)＞2f(π6)sinx⇔f(x即g(x)＞g(π6)，解得0＜x＜π6，∴原不等式的解集为(0，π8.(多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f'(x)＞f(x)，则下列不等式中，一定成立的是(BD)A.3f(4)＜4f(3) B.4f(4)＞5f(3)C.3f(3)＜4f(2) D.3f(3)＞4f(2)【解析】由(x＋1)f'(x)＞f(x)，得(x＋1)f'(x)－f(x)＞0，令g(x)＝f(x)x+1，则g'(x)∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(2)＜g(3)＜g(4)，则f(2)3＜f(3)4＜f(4)5，即4f(2)＜3f(3)，9.(多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)＜f(x)对任意的x∈R恒成立，则(AB)A.f(ln2)＜2f(0) B.f(2)＜e2f(0)C.f(ln2)＞2f(0) D.f(2)＞e2f(0)【解析】令g(x)＝f(x)ex，则g'(x)∴g(x)在R上单调递减，又ln2＞0，2＞0，∴g(ln2)＜g(0)，g(2)＜g(0)，即f(ln2)2＜f(∴f(ln2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0).10.设函数f'(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f'(x)cosx－f(x)sinx＞0，若a＝12f(π3)，b＝0，c＝－32f(5π6)，则a，b，c的大小关系是a＜b【解析】设函数g(x)＝f(x)cosx，则g'(x)＝f'(x)cosx－f(x)sinx，∵f'(x)cosx－f(x)sinx＞0，∴g'(x)＞0，∴g(x)在(0，π)上单调递增，a＝12f(π3)＝f(π3)cos(π3)＝g(π3)，b＝0＝f(π2)cos(π2c＝－32f(5π6)＝(5π6)cosf(5π6)＝g(5π6)，∴a11.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)＋2f(x)＞0，且f(0)＝1，则不等式f(x)＞1e2x的解集为(0，＋∞【解析】构造F(x)＝f(x)·e2x，∴F'(x)＝f'(x)·e2x＋f(x)·2e2x＝e2x[f'(x)＋2f(x)]＞0，∴F(x)在R上单调递增，且F(0)＝f(0)·e0＝1，∵不等式f(x)＞1e2x可化为f(x)e2x＞1，即F(x)＞F(∴x＞0，∴原不等式的解集为(0，＋∞).12.已知f(x)是定义在(0，π2)上的函数，其导函数为f'(x)，f(π3)＝23，且当x∈(0，π2)时，f'(x)sinx＋f(x)cosx＞0，则不等式f(x)sinx＜3的解集为{x｜0＜x＜π【解析】∵当x∈(0，π2)时，f'(x)sinx＋f(x)cosx＞0∴[f(x)sinx]'＞0，x∈(0，π2)，令g(x)＝f(x)sinx，则当x∈(0，π2)时，g'(x)＞0，g(x)在(0，π2)上单调递增，∵f(π3)∴g(π3)＝f(π3)·sinπ3＝3，不等式f(x)sinx＜3，即g(x)＜g(∵g(x)在(0，π2)上单调递增，∴原不等式的解集为{x｜0＜x＜π313.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)＞f(x)且y＝f(x＋1)是偶函数，f(0)＝2e2，求不等式f(x)＜2ex的解集.解：设g(x)＝f(x)ex，∵f'(x)＞∴g'(x)＝f'(x)－f(x)ex＞0∵y＝f(x＋1)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝2e2，∵f(x)＜2ex等价于f(x)ex＜2，∴g(x)＜∵g(x)在R上单调递增，∴x＜2.故不等式f(x)＜2ex的解集为(－∞，2).14.已知函数f(x)＝(x2＋ax)lnx，a∈R.(1)若f(x)的图象在x＝1处的切线经过点(0，－2)，求a的值；(2)当1＜x＜e2时，不等式f(x)＜x2恒成立，求a的取值范围.解：(1)由题知f(x)的定义域为(0，＋∞).又f'(x)＝(2x＋a)lnx＋x＋a，则f'(1)＝1＋a.又f(1)＝0，∴切点为(1，0)，∴0+21－0＝1＋a，解得a(2)当1＜x＜e2时，0＜lnx＜2.当1＜x＜e2时，不等式f(x)＜x2恒成立，即不等式a＜xlnx－x，x∈(1，e2)恒成立.设g(x)＝xlnx－x，x∈(1，则g'(x)＝lnx－1(lnx∵(lnx)2－lnx＋1＝lnx－122＋34＞0，∴g'(∴g(x)在(1，e2)上单调递减，从而g(x)＞g(e2)＝－e2要使原不等式恒成立，即a＜g(x)恒成立，故a≤－e2即a的取值范围是－∞，15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x＞0时，有xf'(x)－f(x)x2＞0，则不等式x2f(x)＞0的解集为(－1，【解析】令g(x)＝f(x)x(x≠0)，则g'(x∵当x＞0时，xf'(x)－f(x)x2＞0∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上，g(x)＞0的解集为(1，＋∞)，g(x)＜0的解集为(0，1).∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上，g(x)＞0的解集为(－∞，－1)，g(x)＜0的解集为(－1，0).由x2f(x)＞0，得f(x)＞0(x≠0).又f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，∴不等式x2f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞).16.已知函数f(x)＝12x2－2alnx＋(a－2)x(1)当a＝1时，求函数f(x)在[1，e]上的最小值和最大值.(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有f(x2)－f(x1)x2－x1解：(1)当a＝1时，f(x)＝12x2－2lnx－x则f'(x)＝x－2x－1＝x2－x－2x＝(x+1∴当x∈[1，2)时，f'(x)＜0；当x∈(2，e]时，f'(x)＞0，∴f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，e]上单调递增，∴当x＝2时，f(x)取得最小值，其最小值是f(2)＝－2ln2.又f(1)＝－12，f(e)＝e22－e－2，f(e)－f(1)＝e22－e－2＋1∴f(e)＜f(1)，∴f(x)max＝f(1)＝－12