量子计算与金融第7章 群论高级知识与综合应用

量子计算与金融QuantumComputingand

Finance第七章

群论高级知识与综合应用CUEB2026年7月4

日1

/

84Contents1

群作用的定义2轨道与稳定子群3群代数4群表示6785

群表示的基本概念与相关性质特征标的基本性质与Schur引理对偶群的常用性质群理论的高级综合应用CUEB2026年7月4

日2

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84目录—

第一部分12群作用的定义核心概念轨道与稳定子群性质与定理43

群代数群代数的概念与定义群表示群表示的定义CUEB2026年7月4

日3

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84目录—

第二部分56群表示的基本概念与相关性质基本概念直和与张量积特征标与正交关系特征标的基本性质与Schur引理特征标的基本性质Schur引理与不可约特征标忠实表示与正则表示群表示与群代数的联系对偶群对偶群的严格定义CUEB2026年7月4

日4

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84目录—

第三部分87

对偶群的常用性质对偶群的基本性质群理论的高级综合应用以对称群

S3

为例S3的四维表示S3群的正则表示群理论视角下的傅里叶变换基本思想Z/nZ

上的离散傅里叶变换有限群上的傅里叶变换有限阿贝尔群上的傅里叶变换傅里叶变换矩阵的群论解释正则表示与有限群的傅里叶变换Pauli算子群与稳定子群稳定子群中心子群群作用与量子计算CUEB2026年7月4

日5

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84群作用的定义群作用的定义CUEB2026年7月4

日6

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84群作用的定义

核心概念群作用的定义

(Group

Action)设

(G,

∗)

是群，X

是一个非空集合，群作用是指一个映射α

:G

×

X

→

X, (g,

x)

↦→

α(g,

x)

=

g

·

x并且满足以下两个公理：单位元保持：对任意

x

∈

X，有

e

·

x

=

x（e

是

G

的单位元）。结合性：对

∀g,h

∈

G

和

x

∈

X，始终有

g

·

(h

·

x)

=

(g

∗

h)

·

x。注意：群作用的运算“·”

与群自身的二元运算“∗”

不是同一运算。CUEB2026年7月4

日7

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84群作用的定义

核心概念轨道

(Orbit)

与稳定子群

(Stabilizer)轨道：对

x

∈

X，其轨道定义为

Ox

=

{g

·

x

|

g

∈

G}。轨道是

X

的一个子集。稳定子群：对

x

∈

X，其稳定子群定义为

Stabx

=

{g

∈

G

|

g

·

x

=

x}。稳定子群是

G

的一个子群。CUEB2026年7月4

日8

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84轨道与稳定子群轨道与稳定子群CUEB2026年7月4

日9

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84轨道与稳定子群

性质与定理轨道的性质设群

G作用在集合

X

上，则轨道具有以下性质：性质1：当且仅当

y

∈

Ox

时，Ox

=

Oy

。性质2：若

∀x,

y

∈

X，Ox

与

Oy

或相等或不相交。性质3：轨道划分集合，即

X

=

⋃︁x∈R

Ox，其中

R

是轨道代表元集合。CUEB2026年7月4

日10

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84轨道与稳定子群

性质与定理轨道-稳定子群定理

(Orbit-Stabilizer

Theorem)定理：

若

G

是有限群，X

是有限集，则对任意

x

∈

X，有|G|

=

|Ox|

·

|Stabx|该定理建立了轨道大小与稳定子群大小之间的关系。CUEB2026年7月4

日11

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84群代数群代数CUEB2026年7月4

日12

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84群代数

群代数的概念与定义群代数的概念群代数是将群的结构与线性代数相结合的一种代数结构，它是研究群表示论的核心工具之一。直观来说，群代数可以看作“群元素的形式线性组合”构成的代数，其乘法由群的乘法自然扩展而来。通过群代数，群的表示问题可以转化为代数中的模论问题，从而利用线性代数和环论的工具进行研究。在量子计算中，群代数与傅里叶变换、隐藏子群问题等密切相关。CUEB2026年7月4

日13

/

84群代数

群代数的概念与定义群代数的定义设

G

是一个群，F

是一个域（如实数域

R、复数域

C）。作为向量空间：F

[G]

中的元素是形如∑︁g∈Gga

·

g

的有限线性组合，其中ag

∈

F

。它以

G

为基，构成一个

F

-向量空间。作为代数（乘法）：乘法由基向量的乘法线性扩展而得。即g h( ag)

·

( bh)

=∑︁ ∑︁ ∑︁g,hghab

(gh)。因此，F

[G]

是一个结合代数，称为群

G

在域

F

上的群代数。CUEB2026年7月4

日14

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84群代数

群代数的概念与定义群代数的关键性质与群环的关系：群代数是群环的特例（当系数环为域时）。正则表示：群代数

F

[G]

本身可视为一个模，其上的左/右乘法给出了群的左/右正则表示。Maschke

定理：若

G

有限，且域

F

的特征不整除

|G|，则

F

[G]

是半单代数。这意味着

G

的任何有限维表示都是完全可约的。交换性：F

[G]

是交换代数当且仅当

G

是阿贝尔群（在合适的域上）。CUEB2026年7月4

日15

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84群代数

群代数的概念与定义群代数的典型例子有限循环群的群代数设

G

=

⟨a⟩

=

{e,

a,

a2,

·

·

·,

an−1}

∼=Zn

是

n

阶循环群，域

F

=

C。群代数

C[Zn]

的元素是复系数线性组合：x

=

c0e

+

c1a

+

c2a2

+

·

·

·

+

cn−1an−1，ci

∈

C。其乘法满足

an

=

e

的循环性质，即

(ak)

·

(am)

=

a(k+m)

mod

n。由

Maschke

定理，C[Zn]

是半单代数，可分解为

n

个一维理想的直和，对应

Zn

的

n

个不可约表示。对称群的群代数设

G

=

S3

是

3

元对称群（非阿贝尔群），取域

F

=

C。群代数

C[S3]

的维数为

6。同样由

Maschke

定理，其半单性保证了该代数可分解为单理想的直和，这些单理想分别对应

S3

的不可约表示（包括一维和二维不可约表示）。CUEB2026年7月4

日16

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84群表示群表示CUEB2026年7月4

日17

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84群表示

群表示的定义群表示的定义设

G

是群，F

是域，V

是

F

上的向量空间，GL(V

)

是

V

上的可逆线性变换群。若存在群同态

ρ

:

G

→

GL(V

)，满足对所有

g1,

g2

∈

G，有：ρ(g1g2)=

ρ(g1)ρ(g2)则称

ρ

为

G

的一个

F

表示。分类：根据域的选取，分为实表示（F

=

R）与复表示（F

=

C）。维度：向量空间

V

称为表示空间，其维度

dim

V

称为

ρ

的维度，记作deg

ρ

或

dρ。记号：常记作

(ρ,

V)

或“G

的

F

表示”。CUEB2026年7月4

日18

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84群表示

群表示的定义群表示与群代数模的等价性群

G

在

F

上的表示等价于群代数

F[G]

的左模。

定理

7-3：设

G

为有限群，F

是一个域，则群

G

的

F

表示与

F[G]

的模之间存在一个双射。表示

→

模：若

(ρ,

V)

是

G

的表示，定义

F[G]

×

V

→

V

为：⎛⎝⎞⎠∑︂ ∑︂g ga

g ·

v

= a

ρ(g)(v)g∈G g∈G则

V

成为

F[G]

的模。模

→

表示：若

V

是

F[G]

的模，定义

ρ(g)v

=

gv，则

(ρ,

V

)是

G

的

F表示。CUEB2026年7月4

日19

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84群表示

群表示的定义定理

7-3

的核心性质该定理主要运用了群表示的同态性和模定义的性质：群表示的同态性：ρ(gh)=

ρ(g)ρ(h)模作用的相容性：ρ(gh)(v)

=

(gh)

·

v

=

g

·

(h

·

v)

=

ρ(g)ρ(h)(v)CUEB2026年7月4

日20

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84群表示的基本概念与相关性质群表示的基本概念与相关性质CUEB2026年7月4

日21

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84群表示的基本概念与相关性质

基本概念群表示的基本概念矩阵表示：当

V

取定基后，GL(V

)

同构于矩阵群

GLn(F

)，此时表示

ρ可等价为矩阵值同态，称为矩阵表示。平凡表示：对所有

g

∈

G，ρ(g)

=

idV

（恒等变换）。数字

1

是对任意群的一个有效的一维平凡矩阵表示。子表示：若

W

⊆

V

是

V

的子空间，且对所有

g

∈

G，有

ρ(g)(W

)

⊆

W

，则称

W

是

G-不变子空间。(ρ|W

,

W

)

即为

(ρ,

V)

的子表示。不可约表示：若

V

̸=

{0}

且没有非平凡子表示，则称

ρ

是不可约的。任意群的一维表示都是不可约表示。完全可约表示：若

V

可分解为不可约子表示的直和，则称

ρ

是完全可约的（或半单的）。由

Maschke

定理，有限群在特征不整除

|G|的域上的有限维表示都是完全可约的。CUEB2026年7月4

日22

/

84群表示的基本概念与相关性质

基本概念等价表示等价表示：若存在可逆线性变换

T

:

V

→

W

，使得对所有

g

∈

G，都有T

◦

ρ(g)

=

φ(g)

◦

T

，则称

(ρ,

V)

和

(φ,

W

)

等价。等价表示本质上就是同一表示在不同基下的矩阵表示。在实际应用中，我们更关注不等价表示与不可约表示。任意群

G

都恰好有

r

个不等价、不可约表示，其中

r

等于

G

的共轭类的个数。总结：群表示是将群元素线性化，转化为矩阵或线性变换的代数问题，其核心工具是特征标和不可约表示分解。CUEB2026年7月4

日23

/

84群表示的基本概念与相关性质

直和与张量积表示的直和与张量积直和

(Direct

Sum)：设

(ρ1,

V1)

和

(ρ2,

V2)

是

G

的有限维表示，其直和(ρ1

⊕

ρ2,

V1

⊕

V2)

定义为：1 2(ρ⊕ρ)(g)

=1ρ

(g)

00 ρ2(g)(︃ )︃其维度为

dρ1⊕ρ2

=

dρ1

+

dρ2

。任意有限群的表示都可写成不可约表示的直和。张量积

(Tensor

Product)：对

g

∈

G，定义(ρ1

⊗

ρ2)(g)

=

ρ1(g)

⊗

ρ2(g)

∈

GL(V1

⊗

V2)。其维度为

dρ1⊗ρ2

=

dρ1

dρ2

。CUEB2026年7月4

日24

/

84群表示的基本概念与相关性质

特征标与正交关系特征标与单位特征标特征标

(Character)：设

ρ

:

G

→

GL(V

)

是有限维表示，其特征标定义为：χρ(g)

=

tr(ρ(g)), g∈

G其中

tr

表示矩阵的迹。单位特征标：群

G

到

C×（非零复数乘法群）的一维群同态

χ

:

G

→

C×，满足

χ(gh)

=

χ(g)χ(h)

且

|χ(g)|

=

1。单位特征标本质上是一维复表示的迹（此时表示空间是一维的，迹为标量本身）。单位特征标又称为平凡特征标。CUEB2026年7月4

日25

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84特征标的基本性质与Schur引理特征标的基本性质与Schur引理CUEB2026年7月4

日26

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84特征标的基本性质与Schur引理

特征标的基本性质特征标的基本性质设

ρ

是群

G

的有限维表示，其特征标为

χρ，则有以下基本性质：χρ(e)=dim(ρ)或简写为χρ(1)=dρ；χρ(g−1)

=

χρ(g)∗，且

χρ(g1g2)

=

χρ(g2g1)；若

g,

h

∈

G，则

χρ(ghg−1)

=

χρ(h)，即特征标是类函数；等价表示有相同的特征标：若

ρ1

和

ρ2

等价，则

χρ1

=

χρ2

；若

ρ1

和

ρ2

是

G

的表示，则：χρ1⊕ρ2=χρ1+

χρ2

, χρ1⊗ρ2=

χρ1χρ2若

(ρ,

V)

是有限群

G

的复表示，则

χρ(g−1)

=

χρ(g)。CUEB2026年7月4

日27

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84特征标的基本性质与Schur引理

Schur引理与不可约特征标Schur引理引理7-1

(Schur引理)：设

ρ

:

G

→

GL(V

)

和

σ

:

G

→

GL(W

)

是不可约表示，若线性变换

T

:

V

→

W

满足：T◦

ρ(g)=σ(g)

◦

T, ∀g∈

G则有：若

ρ

̸∼

σ，则

T

=

0；若

ρ

∼

σ（即

V

=

W

且

ρ

=

σ），则

T

=

λ

·

idV

（λ

∈

F

是标量）。CUEB2026年7月4

日28

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84特征标的基本性质与Schur引理

Schur引理与不可约特征标Schur引理的推论推论1：任意两个不可约表示

ρ1,

ρ2

∈

Gˆ（Gˆ

表示群

G

的不可约表示完全集合），有：dρ1∑︂|G|

g∈G∗1 i,j2ρ(g)ρ

(g)i

,jρ1,ρ2

i,i′′

=

δ δ′

δj,j′推论2：不可约表示的特征标满足正交关系（特征标正交性）。推论3：对任意

ρ1,

ρ2

∈

Gˆ，其特征标满足：ρ1 ρ2(χ,χ)

:=

1

∑︂|G|

g∈Gρ1 ρ2χ(g)∗χ(g)=

δρ1,ρ2CUEB2026年7月4

日29

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84特征标的基本性质与Schur引理

Schur引理与不可约特征标不可约特征标的性质与应用不可约特征标的性质：特征标在同一个共轭类上的元素取值相同，这样的复值函数称为类函数。有限群

G

的不等价、不可约复表示的个数不超过

G

的共轭类的个数。有限阿贝尔群

G

的特征标群

Gˆ与

G

同构，这是有限阿贝尔群傅里叶变换的基础。应用：不可约特征标在类函数空间中构成正交基。可通过特征标检验表示的可约性：表示

ρ

不可约当且仅当

(χρ,

χρ)

=1，即：

1

∑︂|G|

g∈Gρ2|χ(g)|=

1不可约特征标与不可约表示的同构类一一对应。CUEB2026年7月4

日30

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84特征标的基本性质与Schur引理

Schur引理与不可约特征标表7-1

不可约表示与不可约特征标的区别表:

不可约表示与不可约特征标的区别区别不可约表示不可约特征标定义层面差异是群到线性变换的同态ρ:G→

GL(V)是群的复值函数χρ:G→

C依赖因素不同依赖于表示空间V的具体结构仅依赖于表示的迹,不依赖于基的选择“不可约”所指不同不可约性通过不变子空间定义不可约性由其对应的表示是否可约决定数量区别（以有限群为例）数量等于群的共轭类数量数量与不可约表示相同CUEB2026年7月4

日31

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84特征标的基本性质与Schur引理

忠实表示与正则表示忠实表示定义：群表示

ρ

:

G

→

GL(V

)

称为忠实表示，若

ρ

是单射，即ker(ρ)

=

{eG}。性质：任何有限群都存在忠实表示。ρ

是忠实表示

⇐⇒

没有非单位元

g

∈

G

使得

ρ(g)

=

idV

。保持群

G

的完整结构信息，无”信息丢失”。CUEB2026年7月4

日32

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84特征标的基本性质与Schur引理

忠实表示与正则表示正则表示构造方法：将群

G

的元素排列为列向量

v

=

[g1,

g2,

·

·

·,

g|G|]T；用

g

∈

G

作用于

v

的每个元素，得到

|G|

×

|G|

矩阵表示。严谨定义：设

V

=

F[G]

为群代数，正则表示

ρreg

:

G

→

GL(V

)

定义为左乘作用：ρreg(h)eg=

ehg

, h∈

G其中

eg是

|G|

维标准基向量。常用性质：正则表示包含所有不可约表示，重数等于其维度（当

G

有限且

F

=

C时）。正则表示都是忠实表示。reg特征标满足

χ (g)

={︄|G|,g=

e。0, g

≠ eCUEB2026年7月4

日33

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84特征标的基本性质与Schur引理

群表示与群代数的联系群表示与群代数左模的等价性核心联系：群表示与群代数左模的等价性，将群论问题转化为环论与模论问题。理论意义：允许利用模论工具（子模、商模、模同态、半单分解等）研究群表示结构。通过分析

F[G]

的模结构，系统刻画：群的不可约表示数量特征标正交关系表示分解形成有限群表示理论的代数基础。对应关系：如表7-2所示（群表示与群代数的联系）。CUEB2026年7月4

日34

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84特征标的基本性质与Schur引理

群表示与群代数的联系表7-2

群表示与群代数的联系表:

群表示与群代数的联系群表示理论的概念群代数左模理论对应概念表示空间VF

[G]的左模V表示同态ρ

:

V

→

W模同态ρ

:

V

→

W不可约表示（无平凡子表示）单模（无非平凡子模）表示的直和V⊕

W模的直和V⊕

W完全可约表示半单模（可分解为单模直和）表示的特征标χρ模上群作用的迹函数CUEB2026年7月4

日35

/

84特征标的基本性质与Schur引理

对偶群对偶群的定义定义：设

G

为阿贝尔群，其对偶群

Gˆ

为所有从

G

到单位复数乘法群S1

=

{z

∈

C

|

|z|

=

1}

的群同态（称为特征标）构成的集合。结构性质：运算性质：对任意

χ1,

χ2

∈

Gˆ，定义乘积

(χ1χ2)(g)

=

χ1(g)χ2(g)，则

Gˆ构成阿贝尔群。拓扑性质：若

G

是离散群，Gˆ

赋予逐点收敛拓扑（紧致开拓扑），此时

Gˆ

是紧致阿贝尔群。若

G

是紧致群，Gˆ

赋予离散拓扑，此时

Gˆ是离散阿贝尔群。重要性质：当

G

为有限阿贝尔群时，G

∼=Gˆ。CUEB2026年7月4

日36

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84特征标的基本性质与Schur引理

对偶群对偶群的常见例子主要例子：整数加群

Z：Zˆ

∼=

S1, χθ

(n)

=

e2πiθn,θ∈[0,

1)有限循环群

ZN

：ZˆN∼=ZN

,χk(m)

=

e2πikm/N

,k,m

∈ZN直积群

G

×

H：Gˆ︂×

H∼=Gˆ

×

Hˆ, (χ,

ψ)(g,

h)

=

χ(g)ψ(h)理论背景：对偶群描述局部紧致阿贝尔群之间的对偶关系，使傅里叶变换能推广到所有这类群上，包括：圆周群

S1有限阿贝尔群整数加群

Z实数加群

Rp-进域上的有限维向量空间CUEB2026年7月4

日37

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84对偶群的常用性质对偶群的常用性质CUEB2026年7月4

日38

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84对偶群的常用性质

对偶群的基本性质对偶群的常用性质

(1)性质1：双对偶定理（Pontryagin对偶性）对于局部紧致阿贝尔群

G，存在自然同构

G

∼=

Gˆ。每个元素

g

∈

G

对应一个特征标

gˆ

∈

Gˆ，定义为

gˆ(χ)

=

χ(g)。推论：有限阿贝尔群满足

G

∼=

Gˆ。性质2：子群与正交补设

H

是

G

的子群，定义其正交补为

H⊥

=

{χ∈

Gˆ

|

χ(h)

=

1,

∀h

∈

H}。H⊥

是

Gˆ的子群，且在有限群情形下满足

|H⊥|

=

|G|/|H|。推论：G/H

∼=

H⊥，即商群的对偶群同构于正交补。CUEB2026年7月4

日39

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84对偶群的常用性质

对偶群的基本性质对偶群的常用性质

(2)性质3：直和/直积的对偶性⨁︁ ⨂︁i ii i若

G

= G

（直和）或

G

（直积），则

Gˆ

∼

ˆ⨂︁ ⨁︁i iˆi i= G

或

G

，具体取决于

G是离散群还是紧致群。1∑︂χ(g)ψ(g)

=性质4：特征标的正交关系对于有限阿贝尔群

G，其特征标满足：

{︄1,χ=

ψ0,χ̸=ψ|G|

g∈G这是群傅里叶变换的基础。推论：Gˆ

可作为

L2(G)

空间的基。CUEB2026年7月4

日40

/

84群理论的高级综合应用群理论的高级综合应用CUEB2026年7月4

日41

/

84群理论的高级综合应用

以对称群

S3为例S3

的一维表示对称群

S3

存在两个一维的不可约表示：平凡表示：ρtriv(σ)

=

1，∀σ

∈

S3。特征标

χtriv(σ)

=

1。同态性：ρtriv(στ

)

=1

=1

·

1；一维空间无非平凡子空间，故不可约。符号表示：利用置换的奇偶性定义

ρsign

:

S3

→

{±1}。偶置换（e,

(123),

(132)）映射到

1；奇置换（(13),

(12),

(23)）映射到

−1。同态性由奇偶性基本性质保证；一维空间故不可约。CUEB2026年7月4

日42

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84群理论的高级综合应用

以对称群

S3为例S3

的二维表示S3

可表示正三角形的旋转与翻转，建立映射

ρ

:

G

→

GL(V

)：ρ(e)

=1

0(︃ )︃−1 −

3√

√

)︃(︃1, ρ((123))

= , ρ((23))

=(︃−1

00

1

2

3

−1

0

1)︃其他元素通过群同态性质

ρ(gh)

=

ρ(g)ρ(h)

确定。

特征标

χρ(σ)

=

tr(ρ(σ))：χρ(e)=

2χρ((123))

=

χρ((132))

=

−1χρ((13))

=

χρ((23))

=

χρ((12))

=

0CUEB2026年7月4

日43

/

84群理论的高级综合应用

以对称群

S3为例S3

的三维表示构造方法：直接对3个坐标轴进行置换操作，采用置换矩阵表示。0⎛1

0⎞⎝ ⎠ρ(e)

=

0

1

0

,⎝⎛01ρ((12))

=

1⎠⎝0⎞

⎛000

0 , ρ((123))

= 10

01⎞⎠0

0

1 0

0

1 01

0可约性分析：该表示是可约的，因为存在平凡的一维子表示（全1向量

v

=

(1,

1,

1)T

保持不变）。通过正交补分解，剩余二维子空间（满足

x

+

y

+

z

=

0

的平面）构成标准表示。该二维子空间与前述二维不可约表示等价，符合表示论的完全可约性定理。CUEB2026年7月4

日44

/

84群理论的高级综合应用

以对称群

S3为例S3

的四维表示ρ4D(σ)=

⎝ρsgnρ2D构造方法：利用已知的三个不可约表示

ρtriv,

ρsgn,

ρ2D，通过直和

⊕

构建：⎛ρtriv ⎞⎠例如：ρ4D(e)

=

diag(1,

1,

I2×2),4D1ρ((123))=diag

1,1,−1 −

3√2 3 −1

√

)︃)︃(︃ (︃,4Dρ((23))=diag

1,−1,(︃ (︃−1

00 1)︃)︃CUEB2026年7月4

日45

/

84群理论的高级综合应用

以对称群

S3为例S3

不可约表示的维数与共轭类维数平方和定理：群

G

的所有互异不可约表示的维数平方之和等于

|G|：∑︂2(degρ)=

|G|ρ∈irrG对于

S3（|S3|

=

6）：12

+

12

+

22

=

6。共轭类与不可约表示个数：S3

的共轭类：{e}，{(12),

(13),

(23)}，{(123),

(132)}，共

3

个。不可约表示的个数等于共轭类的个数（此处为

3

个）。CUEB2026年7月4

日46

/

84群理论的高级综合应用

以对称群

S3为例S3

正则表示的构造构造步骤：将群元素视为六维向量空间的基：v

=

[e,

(12),

(13),

(23),

(123),

(132)]T。构建左乘作用矩阵：ρreg(σ)eg

=

eσg

。示例：σ=

(12)

的作用矩阵为：⎜⎝0ρreg((12))=

⎜00

1⎛0

0⎞100

010000

0⎜ 0

0

⎟00001

000010

000100

0⎟⎟⎠本质：将群元素的左乘转化为基向量的置换，每行每列仅有一个

1。CUEB2026年7月4

日47

/

84群理论的高级综合应用

以对称群

S3为例正则表示的可约性特征标：regχ (g)

={︄|G|=6,g=

e0, g̸=eρ ρ可约性判别：利用特征标内积

(χ

,

χ

)

=∑︁

1

|G| g∈Gρ ρχ(g)χ

(g)1(χreg,

χreg)

=

6

×

6

×

6

=

6

̸=1因此，S3

的正则表示必然可约。CUEB2026年7月4

日48

/

84群理论的高级综合应用

以对称群

S3为例正则表示的分解regiiρ = ρ ,分解定理：正则表示可分解为不可约表示的直和，且不可约表示

ρi

出现的重数

mi

等于其维数

di：⨁︂ ∑︂i⊕di 2id=

|G|S3

的分解：ρreg

=

1

·

ρtriv

⊕

1

·

ρsgn

⊕

2

·

ρ2D验证：12

+

12

+

22

=

6。重数计算：mi

=

(χreg,

χρi

)。CUEB2026年7月4

日49

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换群傅里叶变换的基本思想核心问题：如何将定义在群

G

上的函数

f

(g)

分解为”基函数”的线性组合？答案：利用群的特征标

χ

作为基函数（对偶群

Gˆ）。阿贝尔群：基函数为群的特征标

χ(g1g2)

=

χ(g1)χ(g2)。非阿贝尔群：基函数选取不可约酉表示（本节暂不讨论）。分解的有效性：正交性：特征标彼此正交。完备性：由

Plancherel

定理保证。傅里叶系数：cχ

=

(f,

χ)

=

fˆ(χ)，即

f

∼

∑︁χ∈Gˆ

fˆ(χ)χ。CUEB2026年7月4

日50

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换局部紧致阿贝尔群与特征标局部紧致阿贝尔群

(LCA群)：R：加法群，欧几里得拓扑，连通、非紧致。Z/nZ：有限群，离散拓扑，既是局部紧致又是离散的。特征标：连续同态

χ

:

G

→

C×（|χ(g)|

=

1）。R

的特征标：χξ

(x)

=

eiξx，对偶群

Rˆ

∼=R。Z/nZ

的特征标：χk(j)

=

e2πikj/n，对偶群

Zˆ︂/nZ∼=

Z/nZ。CUEB2026年7月4

日51

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换R

与

Z/nZ

上的傅里叶变换R

上的傅里叶变换：fˆ(ξ)=

∫︂Rf

(x)e−iξxdx,f

(x)

=

12π∫︂Rfˆ(ξ)eiξxdξZ/nZ

上的离散傅里叶变换

(DFT)：ˆn−1∑︂f

(k)

= f

(j)e−2πikj/n, f

(j)

=1nn−1∑︂j=0

k=0ˆf

(k)e2πikj/n2π n注：

1

和

1

分别是群”体积”的倒数，用于归一化。CUEB2026年7月4

日52

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换正交性与二次对偶正交性：∫︁Riξx

iηxR（弱正交）：

e e dx=

2πδ(ξ

−

η)。1∑︁n−1n j=0k l k,lχ(j)χ(j)=δ

，DFT

矩阵是酉矩阵。Z/nZ（严格正交）：二次对偶与逆变换：Pontryagin

对偶性保证

Gˆ

∼=G。逆变换本质上是对

Gˆ

再做一次傅里叶变换。阿贝尔群的不可约表示均为一维特征标，傅里叶变换本质是将函数分解为不可约表示的线性组合（R

为连续谱积分，Z/nZ

为离散有限和）。CUEB2026年7月4

日53

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换有限群傅里叶变换的定义傅里叶变换：设

f

:

G

→

C，在群表示

ρ

:

G

→

GL(dρ,

C)

下的傅里叶变换定义为：ˆ∑︂f

(ρ)

= f

(g)ρ(g)g∈G其中

fˆ(ρ)

是一个

dρ

×

dρ

的矩阵。傅里叶逆变换：设

Gˆ为

G

的所有不等价不可约表示的集合，则：f

(g)

=

1

∑︂|G|

ρ∈Gˆρ−1ˆd

tr

ρ(g )f

(ρ)(︂ )︂CUEB2026年7月4

日54

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换卷积与

Plancherel

定理卷积：对于

f,

h

:

G

→

C，卷积定义为：∑︂g2∈G1 1−122(f∗h)(g

)

= f

(g

g )h(g

)其傅里叶变换满足：fˆ︁∗

h(ρ)

=

fˆ(ρ)hˆ(ρ)。Plancherel

定理：g∈G−1f

(g )h(g)

=

1

∑︂ ∑︂|G|

ρ∈Gˆρ(︂ˆ ˆdtrf

(ρ)h(ρ))︂CUEB2026年7月4

日55

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换特征标群

Hom(G,

C×)设

G

为有限群，C×

为非零复数乘法群。特征标群

Gˆ

=

Hom(G,

C×)

的元素

χ满足：同态性：χ(gh)

=

χ(g)χ(h)归一性：χ(eG)

=

1

（由

χ(e)2

=

χ(e)

推出）酉性：χ(g)

=

χ(g−1)

（因

χ(g)χ(g−1)

=

χ(e)

=1）特例：循环群

Z/nZ特征标：χk(m)

=

χ(1)k

=

ωkm，其中

ω

=

e2πi/n。对偶群：Hom(Z/nZ,

C×)

∼=Z/nZ。运算：χk×

χl

=

χ(k+l)

mod

n。CUEB2026年7月4

日56

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换有限阿贝尔群的特殊性一维表示：对于有限阿贝尔群

G，所有不可约表示均为一维，即

dρi

=

1。此时

ρi

即为不可约特征标

χi。Pontryagin

对偶群：

Gˆ

:=

Hom(G,

S1)，即

G

的特征标集合。变换公式：ˆ∑︂正变换：

f

(χ)

= f

(g)χ(g)逆变换：

f

(g)

=g∈G

1

∑︂|G|

χ∈Gˆˆχ(g)f

(χ)CUEB2026年7月4

日57

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换实例：Z/3Z

上的傅里叶变换设

G

=

{[0],

[1],

[2]}，ω

=

e2πi/3。特征标为

χk(m)

=

ωkm。正变换矩阵形式

fˆ=

F

†f：23fˆ(χ

)⎝

ˆ

⎠

⎝⎛fˆ(χ1)⎞

⎛1f

(χ

)

=

121ω f

(1)f

(2)1 1

⎞

⎛f

(0)⎞ωω2 ω4⎠

⎝

⎠逆变换矩阵形式

f

=

F

fˆ：f

(2)⎛f

(0)⎞⎝ ⎠13⎛⎝f

(1)

=

1211 1ω ωω2

ω42f

(χ)3fˆ(χ

)1⎞

⎛fˆ(χ1)⎞⎠

⎝

ˆ

⎠CUEB2026年7月4

日58

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换量子计算中的归一化与酉性标准定义的“瑕疵”：在上述定义中，F

F

†

=

3I

̸=

I，变换矩阵不是酉矩阵，不便于构建量子门。量子计算中的修正定义：引入

√︁|G|

因子以保证酉性：ˆ√︁ ∑︂g∈Gf

(χ)

= |G| f

(g)χ(g)

1

∑︂χ∈Gˆˆf

(g)=

√︁|G| χ(g)f

(χ)√31 †此时，若令

F

= U

，则

U

为酉矩阵，满足

U

U

=

I，适合构建量子傅里叶变换（QFT）门。CUEB2026年7月4

日59

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换傅里叶变换算子的群论定义希尔伯特空间与基底：设有限阿贝尔群

G

对应的对偶群为

Gˆ。希尔伯特空间H

的维度为

|G|，具有两组正交归一基：H=

span{|gj

⟩

|

gj

∈

G}

=

span{|χj

⟩

|

χj

∈

Gˆ}其中

⟨gj

|gk⟩

=

δjk

=

⟨χj

|χk⟩。傅里叶变换算子：定义在群

G

上的算子

FG

:

H→

H

为：

1

∑︂g∈GFG

:=

√︁|G|

χ(g)|χ⟩⟨g|作用效果：|g⟩

→1

√|G|∑︁ˆχ∈Gχ∈Gˆχ(g)|χ⟩。利用有限阿贝尔群特性

χ(G)

∼=

G，也可写为：

1

∑︂g,h∈GFG

:=

√︁|G| χh(g)|h⟩⟨g|CUEB2026年7月4

日60

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换量子傅里叶变换

(QFT)

矩阵循环群

Z/N

Z

上的

QFT：取

G

=

Gˆ

=

Z/N

Z，N

=

2n。不可约表示Nχy

(x)

=

ωxy

，其中

ωN

=

e2πi/N

。

1

N

−1∑︂y=0xy|x⟩

→

√N ωN

|y⟩矩阵形式：1FZ/2nZ=

√N

⎜⎜⎜⎜⎝⎛11111 ωNω2N·

·

··

·

·

ωN

−1ω2Nω4N·

·

·

ω2(N

−1)......

.N..1..1ωN

−1Nω2N

−2N·

·

·2ω(N

−1)N⎞N ⎟⎟⎟⎟⎠CUEB2026年7月4

日61

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换平移算子、相位算子与傅里叶变换的关系算子定义（s,

h

∈

G）：平移算子：τs:=∑︁g∈G|s+g⟩⟨g|h相位变换算子：ϕ

:=∑︁g∈Ggχ

(h)|g⟩⟨g|核心代数关系：χh(s)τsϕh=

ϕhτsFGϕh

=

τ−hFG

（傅里叶变换将相位变换转为平移）FGτs

=

ϕsFG

（傅里叶变换将平移转为相位变换）CUEB2026年7月4

日62

/

84群理论的高级综合应用

群理论视角下的傅里叶变换基于正则表示的傅里叶变换构建方案核心思想：构建有限群傅里叶变换的关键在于找到“基”，即构建对偶群

Gˆ（不可约表示的完备集）。操作方案：正则表示：通过构建包含所有群元素的向量，正则表示

ρreg

可视为“所有元素的表示”。分解：对正则表示

ρreg

进行分解，提取出所有互异的不可约表示。构建：利用分解得到的不可约表示集合

Gˆ作为基底，构建傅里叶变换矩阵。CUEB2026年7月4

日63

/

84群理论的高级综合应用

Pauli算子群与稳定子群Pauli

算子群单量子比特

Pauli

群

G1：由

Pauli

门与

±1,

±i相乘构成，共

16

个元素：G1

=

{±I,

±iI,

±σx,

±iσx,

±σy

,

±iσy

,

±σz

,

±iσz

}n

量子比特

Pauli

群

Gn：Gn

=

{P1

⊗

P2

⊗

·

·

·

⊗

Pn

|

Pj

∈

G1,

j

=

1,

·

·

·,

n}非阿贝尔群：注意

Gn

不是阿贝尔群。阶数：|Gn|

=

4

·

4n。物理意义：引入

Pauli群主要是为了定义量子态的稳定子群（StabilizerGroup）概念。CUEB2026年7月4

日64

/

84群理论的高级综合应用

Pauli算子群与稳定子群稳定子群：贝尔态的例子双量子比特贝尔态：设

|ψ⟩

=|00⟩+|11⟩√2，容易验证以下算子

T

满足T

|ψ⟩

=

|ψ⟩：I

⊗

I, σx

⊗

σx, σz⊗

σz

, −σy⊗

σy稳定子群

S：这4个算子构成一个群，且是

Pauli

群

G2

的子群：S

=

{I

⊗

I,

σx

⊗

σx,

σz

⊗

σz

,

−σy

⊗

σy

}该群由两个生成元生成：S

=

⟨σx

⊗

σx,

σz

⊗

σz

⟩。验证：(σx

⊗

σx)(σz

⊗

σz

)

=

iσy

⊗

iσy

=

−σy

⊗

σy验证：(σx

⊗

σx)2

=

I

⊗

ICUEB2026年7月4

日65

/

84群理论的高级综合应用

Pauli算子群与稳定子群稳定子群的一般定义与群作用启发式定义：对于

n

量子比特态

|ψ⟩，若子群

S

⊆

Gn

中的任意元素

T

均满足T

|ψ⟩

=

|ψ⟩，则称

S

为

|ψ⟩的稳定子群（Stabilizer）。群作用视角：群作用定义为映射

α

:

G

×

X

→

X，(g,

x)

↦→

g

·

x，满足：单位元保持：e

·

x

=

x结合性：g·

(h

·

x)

=

(gh)

·

x对于

x

∈

X，其稳定子群定义为：Stabx

=

{g

∈

G

|

g

·

x

=

x}在

Pauli

群例子中，G=

Gn，X

=

VS

，则

Stab|ψ⟩

=

{T

∈

Gn

|

T

|ψ⟩

=

|ψ⟩}即为

S。CUEB2026年7月4

日66

/

84群理论的高级综合应用

Pauli算子群与稳定子群群的中心子群定义：群

G

的中心子群

Z(G)

是由

G

中与所有元素都可交换的元素构成的子群：Z(G)

=

{g

∈

G

|

∀h∈

G,

gh

=

hg}常用性质：Z(G)

是

G

的正规子群。若

Z(G)

=

G，则

G

为阿贝尔群。若

Z(G)

=

{eG}，则

G

为无中心子群。继承性：若

H≤

G，则

Z(G)

∩

H≤

Z(H)。CUEB2026年7月4

日67

/

84群理论的高级综合应用

Pauli算子群与稳定子群Pauli

群的中心子群单量子比特

Pauli

群

G1

的中心子群：在

G1

中，标量矩阵

I,

−I,

iI,

−iI

与所有元素可交换，而非标量元素（如

σx,

σy

,

σz

）总会与某些元素不可交换。结论：Z(G1)

=

{I,

−I,

iI,

−iI}这是一个

4

阶循环群，生成元为

iI，即

Z(G1)

=

⟨iI⟩。同构于整数模

4

加法群：Z(G1)

∼=Z4。文献中常简写为：Z(G1)

=

{±1,

±i}。CUEB2026年7月4

日68

/

84群理论的高级综合应用

群作用与量子计算量子计算的群作用视角基本框架：量子计算中的状态演化

|φ⟩

=

U

|ψ⟩

可视为群作用：群G：U(n)或

SU(n)非空集合

X：希尔伯特空间

H群作用：α(U,

|ψ⟩)

:=

U

·

|ψ⟩（矩阵与向量相乘）该定义自然满足单位元保持与结合性公理。伴随作用：群

G

作用于算子空间

L(H)

上的算子

A：α(g,

A)

=

g

·

A

:=

U

AU

−1例子：α(σx,

σz

)

=

σxσz

σx−1

=

−σz

。CUEB2026年7月4

日69

/

84群理论的高级综合应用

群作用与量子计算李群与群作用李群的群作用：设李群

M

和非空集

V，群作用

α(g,

x)

:=

g

·

x

同样满足单位元保持与结合性。例子：SO(n)

群：群

M

=

SO(n)（旋转矩阵群）非空集

V

=

Rn群作用：α(R,

x)

=

R

·

x

:=

RxCUEB2026年7月4

日70

/

84群理论的高级综合应用

群作用与量子计算双量子比特贝尔态与

U(2)

×

U(2)

群作用轨道

(Orbit)

的定义：群

G

作用在态

|ψ⟩上生成的态的集合：Orbit(G,

|ψ⟩)

=

{g

·

|ψ⟩

|

g

∈

G}贝尔态的轨道：取

G

=

U(2)

×

U(2)，X

为四个贝尔态集合。以

|Φ+⟩

为例：U=σz,V=I=⇒σz⊗I·|Φ+⟩=

|Φ−⟩U

=

I,

V

=

σx

=⇒

I

⊗

σx

·

|Φ+⟩

=

|Ψ+⟩U

=

σz

,

V

=

σx

=⇒

σz

⊗

σx

·

|Φ+⟩

=

|Ψ−⟩因此，O|Φ+⟩

=

{|Φ+⟩,

|Φ−⟩,

|Ψ+⟩,

|Ψ−⟩}。CUEB2026年7月4

日71

/

84群理论的高级综合应用

群作用与量子计算群作用在量子计算中的意义物理与计算含义：纠缠态的等价性：所有贝尔态在

U(2)

×

U(2)作用下属于同一轨道（等价类），共享相同的对称性。量子门的可实现性：通过选择适当的单量子比特门（如

Pauli

门），可在实验中生成任意贝尔态，验证了轨道的完备性。量子纠错：贝尔态的轨道结构可用于构造稳定子码的逻辑态，保护信息免受局部噪声影响。群作用的应用空间

X

的选择：量子态空间

V

=

Cn

或希尔伯特空间

H算子空间

L(H)

或

End(V

)复合系统张量积空间

V⊗kCUEB2026年7月4

日72

/

84Acknowledgement版权与免责声明Thank

you!版权与免责声明：

本PPT基于《量子计算与金融》（作者：

余颖丰，

电子工业出版社2026年出版）

部分核心内容整理制作，

版权归作者与出版社所有。PPT内容仅为原书精华摘录，不可替代原书阅读。未经版权方书面授权，任何单位和个人不得擅自复制、修改、传播或用于商业用途。如需引用，请通过正规渠道购买正版图书。CUEB2026年7月4

日73

/

84参考文献参考文献

IScottAaronson.Quantumcopy-protectionandquantummoney.In200924thAnnualIEEEConferenceonComputationalComplexity,pages229–242.IEEE,

2009.ScottAaronson,EdwardFarhi,DavidGosset,etal.Quantum

money.CommunicationsoftheACM,55(8):84–92,

2012.YacineA¨ıt-SahaliaandJeanJacod.High-FrequencyFinancialEconometrics.PrincetonUniversityPress,

2014.MartinBaxterandAndrewRennie.FinancialCalculus:AnIntroductiontoDerivativePricing.CambridgeUniversityPress,

1996.CharlesH.BennettandGillesBrassard.Quantumcryptography:Publickeydistributionandcointossing.InProceedingsoftheIEEEInternationalConferenceonComputers,Systems,andSignalProcessing,pages175–179,Bangalore,

1984.Jiˇr´ıBlank,PavelExner,andMiloslavHavl´ıˇcek.HilbertSpaceOperatorsinQuantumPhysics.Springer,Dordrecht,

2008.CUEB2026年7月4

日74

/

84参考文献参考文献

IIAdamBouland,WimvanDam,HamedJoorati,etal.Prospectsandchallengesofquantumfinance.arXivpreprintarXiv:2011.06492,

2020.ZdzislawBrzezniakandTomaszZastawniak.BasicStochasticProcesses:ACourseT