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2025~2026学年重庆市九校高一下学期5月期中联考数学试卷一、单选题1.已知向量，，且，则（）

A．B．C．D．22.（）

A．B．C．D．3.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（）

A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则4.下图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中为圆台下底面圆心，分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为，，，圆台下底面圆半径为，则该组合体的表面积为（）

A．B．C．D．5.已知向量，满足，且，则（）

A．B．C．D．6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（）

A．3B．C．D．47.已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面周长为（）

A．B．C．D．8.在三棱锥中，，均是边长为的等边三角形，当平面平面时，三棱锥内切球的半径为（）

A．B．C．D．二、多选题9.下列命题正确的有（）

A．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点B．棱台的侧面都是梯形C．因为四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥D．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）

A．若，则为钝角三角形B．若，则为锐角三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则下列说法正确的是（）

A．存在点Q，使得平面B．不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面C．三棱锥的体积为D．三棱锥外接球的表面积为三、填空题12.设是虚数单位，，则________13.已知向量满足，，向量在向量上的投影向量的坐标为，则________14.若向量满足，，则的最小值为________四、解答题15.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，．(1)证明：．(2)证明：平面平面．16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，且平面平面，分别是，的中点.(1)证明：.(2)求三棱锥的体积.18.重庆市渝东北某规划部门计划在一个半径为2km的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇形的圆心角为直角，，分别为公园的两条垂直边界道路.现要在弧上选取一个景观节点P，使得，其中.为提升广场实用性，规划方案如下：1．过点P向，分别作垂直步道，，围出一个矩形，用于打造亲子游乐区，记该矩形区域的面积为；2．连接，，，在区域内打造城市花境景观带，记该三角形区域的面积为.请你尝试帮助规划部门解决以下问题：(1)分别用表示亲子游乐区面积与花境景观带面积；(2)若综合考虑游乐区实用性与景观带观赏性，定义综合效益函数，求的最大值及对应此时景观点P的位置.19.由代数基本定理，给定，方程有个复数根，且，将称为n次单位根.(1)求三次单位根，并

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