小学三年级奥数拓展《和差倍问题》一体化教学设计案

小学三年级奥数拓展《和差倍问题》一体化教学设计案一、基本信息与设计理念【教学主题】和差倍问题综合探究【授课对象】小学三年级学生（奥数拓展课程）【课时安排】共4课时（每课时40分钟）【教学目标】1、【基础】理解“和倍”、“差倍”、“和差”问题的基本结构，能准确区分三类问题的特征。2、【核心】掌握画线段图分析数量关系的方法，能根据题意正确确定“1倍量”或标准量。3、【重要】熟练运用三类问题的基本数量关系式解决问题，并能在较复杂的复合型问题中灵活应用。4、【难点】培养学生从具体情境中抽象出数学模型的能力，体验数形结合与方程（算术）思想在解题中的价值。5、【高频考点】通过变式练习，使学生能够解决“暗和”、“暗差”、“非整倍数”等进阶问题，提升思维的灵活性。【设计理念】本设计遵循“建模——应用——拓展”的认知规律，以“线段图”为核心工具，将抽象的“和、差、倍”关系可视化。通过对比教学，让学生在三类问题的辨析与联系中构建系统的知识网络。教学过程强调学生自主探究与合作交流，不仅关注“会解题”，更关注“怎样想”，力求在奥数学习中培养学生的逻辑推理能力和模型意识。二、教学重难点【重点】1、掌握画线段图分析题意的方法，能准确找到题目中的“和”、“差”与“倍数”关系。2、熟记并理解三类问题的核心公式：和倍问题：和÷（倍数+1）=小数（1倍数）；小数×倍数=大数。差倍问题：差÷（倍数——1）=小数（1倍数）；小数×倍数=大数。和差问题：（和+差）÷2=大数；（和——差）÷2=小数。3、【基础】能够正确运用公式解答基本题型。【难点】1、【难点】准确识别题目中的“暗和”或“暗差”，即没有直接给出和与差，需要通过已知条件推算的情况。2、【重要】解决“几倍多几”或“几倍少几”的非标准倍数问题，学会通过“去多”或“补少”将其转化为标准倍数问题。3、在复杂的多量关系或涉及变量移动（如“给了多少后相等”）的问题中，找出不变量并建立新的倍数关系。三、教学准备多媒体课件（动态演示线段图的生成与变化）、彩色粉笔、学习单（含分层练习题）。四、教学实施过程第一课时：和倍问题——建立“份数”模型（一）激趣导入，揭示“倍”的含义同学们，数学王国里有一对好朋友，一个叫“和”，一个叫“倍”。当它们相遇时，会擦出怎样的火花呢？我们先来看一个分水果的游戏。PPT出示：苹果和梨一共有20个，苹果的个数是梨的4倍。你能猜出苹果和梨各有多少个吗？引导学生初步感知：把梨看成1份，苹果就是4份，总共5份对应20个，从而引出“和倍问题”。【重要】（二）探究新知，构建线段图模型1、出示例1：学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。二、三年级各得图书多少本？【高频考点】【难点】2、审题分析：题目中告诉了我们什么？（和是360，倍数关系是“2倍多60”）。这里谁是1倍数？（二年级）。这个倍数关系是标准的整倍数吗？（不是，多了60）。这60本在总和中吗？我们如何用线段图来表示？3、画图建模：教师边引导边在黑板上板演。先画一条线段表示二年级（1倍数）。再画三年级，先画与二年级2倍同样长的两段，再多画一小段表示“60本”。最后用大括号标出总和360本。4、思路解析：引导学生观察线段图，思考：如果从总数中减去多的60本，那么剩下的本数正好是二年级的几倍？（1+2=3倍）。这一步“去多”或“补少”的思想是解决此类问题的关键。【重要】列式：二年级：（360——60）÷（1+2）=300÷3=100（本）三年级：360——100=260（本）或100×2+60=260（本）5、检验：把得数代入原题，检查是否符合所有条件。（三）变式训练，深化模型1、出示变式：学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍少60本。二、三年级各得图书多少本？2、小组合作画图：对比上一题，线段图该如何画？引导学生画出“2倍少60”的图，即三年级先画2倍长，再往回少画一小段虚线表示少的60本。3、讨论算法：现在总数360本里包含了什么？如果三年级补上少的60本，总数会变成多少？补上之后，三年级正好是二年级的几倍？从而得出：（360+60）÷（1+2）=140（本）为二年级本数。4、对比小结：通过以上两题，我们明白了解决“几倍多几”或“几倍少几”的问题，关键是通过“减去多的”或“加上少的”使其变成整倍数，然后再用和倍公式计算。【难点】（四）分层练习，巩固提升1、【基础】甲筐有苹果300个，乙筐有苹果240个，从两筐取出同样多的个数后，甲筐剩下的个数是乙筐的5倍，两筐各取出多少个？（提示：两筐取出相同，差不变）2、【拓展】三只小船运煤，总运了1800千克，第一只船运的是第二只船的2倍，第三只船运的是第二只船的3倍，三只小船各运多少千克？（三个量的和倍问题）【重要】第二课时：差倍问题——聚焦“份数差”（一）复习迁移，引入新知上节课我们研究了“和”与“倍”的问题。今天我们去掉“和”，把条件换一换。PPT出示：苹果的个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。苹果和梨各有多少个？引导学生找出现的新条件：“多18个”就是两个量的差。由此引出“差倍问题”。（二）自主探究，建构模型1、出示例2：某小学买来的足球个数比篮球多18个，且足球个数正好是篮球的3倍。买来足球和篮球各多少个？【高频考点】【基础】2、画线段图：让学生独立尝试画图。指名板演，画一条线段表示篮球（1倍数），画三条线段表示足球（3倍数）。足球比篮球多的部分就是2段。3、分析对应关系：引导学生说出，多的18个，正好对应着足球比篮球多的（3——1）份。因此，每1份是多少？列式：18÷（3——1）=9（个）……篮球。足球：9×3=27（个）或9+18=27（个）。4、总结公式：差÷（倍数——1）=小数（1倍数）。【重要】（三）变式探究，处理“暗差”1、出示例3：有两根同样长的绳子，第一根用去16米，第二根用去4米后，第二根剩下的长度是第一根剩下的3倍。原来两根绳子各长多少米？【难点】【高频考点】2、寻找不变量与“暗差”：题目开始没说差，也没说倍数，但用了之后产生了倍数。什么发生了变化？（长度变了）什么没变？（原来相等）。根据原来相等，我们可以推出现在剩下的长度差是多少？画图分析：画两条线段表示原来同样长的绳子。第一根用去16米，第二根用去4米。在图上标出用去的部分。从图上可以看出，第一根剩下的短，第二根剩下的长。第一根比第二根多用去（16——4）=12米。由于原来相等，所以现在剩下的部分，第二根比第一根多12米。这12米就是现在两人剩下的差。3、建立现在状态的差倍关系：已知现在第二根剩下的是第一根剩下的3倍，把第一根剩下的看成1份，第二根是3份，差（3——1）=2份，对应12米。列式：第一根剩下：（16——4）÷（3——1）=12÷2=6（米）原长：6+16=22（米）或6×3+4=22（米）。4、小结：当题目中的“差”没有直接给出时，我们需要根据条件（如“同样长”、“给了多少”等）先找出隐藏的差，即“暗差”。【重要】（四）巩固练习1、甲筐苹果比乙筐苹果重24千克，如果从甲筐倒出6千克到乙筐，这时甲筐的重量是乙筐的2倍。原来甲、乙两筐各有多少千克？（提示：关注移动后的新差）2、被除数比除数大168，商是7，求被除数和除数。（将除法算式转化为差倍模型）【拓展】第三课时：和差问题——掌握“大小”分配（一）情境引入，体会“和”与“差”班级进行拔河比赛，男生和女生一共有40人，男生比女生多4人。男生和女生各有多少人？这是我们在低年级就接触过的“和差问题”，今天我们继续深入研究。【基础】（二）数形结合，探索算法1、出示例4：三、四年级联合组织植树活动，共植树120棵，四年级比三年级多植树16棵。三、四年级各植树多少棵？2、画图策略：请学生上台画线段图。画一条线段表示三年级，再画一条比三年级长一点的线段表示四年级，用大括号标出总和120，并在多出的部分标出16。3、探究解法（假设法）：方法一（去多）：假设四年级少植16棵，那么总棵数会变成多少？（120——16）=104棵。此时，两个年级的棵数相等，相当于两个三年级的棵数。所以三年级：104÷2=52（棵）；四年级：52+16=68（棵）。方法二（补少）：假设三年级再多植16棵，那么总棵数变成120+16=136棵，相当于两个四年级的棵数。从而求出四年级，再求三年级。4、总结公式：（和+差）÷2=大数；（和——差）÷2=小数。【重要】（三）综合变式，处理“暗和”或“暗差”1、出示例5：甲、乙两箱共有水果60千克，如果从甲箱取出5千克放入乙箱，那么两箱一样重。原来两箱各有多少千克？【难点】2、寻找“暗差”：题目没有直接给出两箱的差，但告诉我们“从甲箱取出5千克放入乙箱，两箱一样重”。这隐藏着什么信息？引导学生理解：原来甲箱比乙箱多2个5千克，即多10千克。这就是“暗差”。3、转化为标准和差问题：现在知道了和60千克，差10千克，就可以用和差公式求解。列式：甲：（60+10）÷2=35（千克）；乙：60——35=25（千克）。4、小结：通过移多补少使两者相等，移动的数量是两者差的一半。这是解决此类问题的关键钥匙。【重要】（四）拓展练习1、甲乙两船共载客623人，若甲船增加34人，乙船减少57人，这时两船人数相等。两船原来各有乘客多少人？（需要先求暗差：34+57=91人，再套用公式）2、哥哥和妹妹共有40张邮票，哥哥给妹妹4张后，两人的邮票张数相等。妹妹原来有多少张？（先求差，再求小数）【高频考点】第四课时：综合复习与拓展——“三军会师”（一）知识梳理，构建网络引导学生回顾前三课时所学，通过表格或思维导图的形式，对比“和倍”、“差倍”、“和差”三类问题的特征、关键点和核心公式。【重要】问题类型已知条件关键解题步骤核心公式（小数=）和倍问题和、倍数找1倍量，和÷总份数和÷（倍数+1）差倍问题差、倍数找1倍量，差÷份数差差÷（倍数——1）和差问题和、差假设法，移多补少（和——差）÷2（二）综合闯关，挑战思维1、【复合型】果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求三种树各有多少棵？【难点】【高频考点】引导分析：此题涉及三个量，且有和倍与和差的混合。应以“梨树”为标准量（1倍数）。画出线段图，桃树画2份多12，梨树画1份，苹果树画1份少20。观察总和552与这些份数的关系。如果桃树减去12，苹果树加上20，那么总棵数变为552——12+20=560棵。此时，总棵数正好对应（2+1+1）=4份梨树。从而求出梨树，再求其他。2、【动态型】有两层书架，共有书182本。从第一层拿走38本后，第二层的书比第一层的2倍还多6本。第二层原有多少本书？【难点】引导思考：拿走之后，和变了，倍数关系也变了。第一步：求出现有总数182——38=144本。第二步：以现在第一层为1倍，现在第二层是它的2倍多6本，利用和倍（去多）求出现在的第一层：（144——6）÷（1+2）=46本。第三步：现在第二层：46×2+6=98本。由于第二层数量未变，所以原来第二层就是98本。（三）总结提升，感悟思想今天我们让“和、差、倍”三路大军会师，解决了许多复杂的数学问题。大家发现没有，无论问题多么复杂，我们最有力的武器是什么？（线段图）它不仅能把文字变成图形，还能帮我们理清数量之间的对应关系。在数学学习中，这种“数形结合”的思想将伴随我们解决更多难题。【核心素养】五、板书设计（核心框架）和差倍问题综合探究一、和倍问题：和÷（倍数+1）=小数关键：“去多”、“补少”变整倍。例1：（360——60）÷（1+2）=100（本）