广东深圳市多校联考2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题含答案

2025-2026学年第二学期期末质量检测

高二数学2026.7

注意事项：

1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.

3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.

4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和

涂改液.

5.考试结束后，考生上交答题卡.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合A=[-1,4],B={x|x²>9},则A∩B=()

A.[3,4]B.[-3,4]C.[-1,3]D.(-3,-1)

2.若复数z满足z(1+i)=1,其中i为虚数单位，则z||=()

A.1C.√2D.√3

3.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,1)共线，则实数1的值为()

A.1B.-1C.-4

4.已知抛物线y²=4x的焦点为F,点P在抛物线上，且|PF|=5,则P的横坐标为()

A.2B.4C.5D.6

5.下列函数为奇函数，且在(1,+0)上单调递增的是()

A.f(x)=x(x-1)B.f(x)=sinxcosx

C.D.

6.已知数列{a}与{bₙ分别满足aₙ=2”,bₙ=2n(n∈N°,则集合{klak=b,k∈N'}的

元素个数为()

A.0B.1C.2D.无数个

7.将一个边长为1的正方形C₁各边中点依次连接，得到一个新正方形C₂,再将C₂中点依

次连接得到正方形C₃,如此重复.记正方形C,的周长为an,则a₅=()

B.1C.√2D.2

高二数学试卷第1页共4页

8.已知椭圆C(a>b>0)的左右焦点分别为F,F₂,P是C上一点.若

(0为坐标原点),则C的离心率为()

B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.为调查某校高二年级学生的每日睡眠时间(单位：小

时),现随机抽取100名学生，记录其睡眠时间并绘

制频率分布直方图(如图).根据以上信息，下列说

法正确的是()

A.样本中睡眠时间在(7.5,8)内的人数约为30

B.样本中睡眠时间的众数约为7.75

C.样本中睡眠时间的中位数落在区间(7.5,8)内

D.若将样本中睡眠时间为(7.5,8)内的数据去掉，则

题9图

剩余数据的方差将变小

10.已知1,m是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，a∩β=1,mcα,则下

列说法正确的是()

A.若m//l,则mlβ

B.若m⊥l,则m⊥β

C.平面β内存在与m异面的直线

D.平面β内存在与m垂直的直线

11.已知函数f(x)=sinwx+coswx(w>0),则下列说法正确的是()

A.f(x)的最大值为√2

B.若f(x)的最小正周期为π,则w=2

C.若f(x)的一个对称中心为,则w=1

D.若f(x)在区间内有个2零点，则

高二数学试卷第2页共4页

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在二项式的展开式中，常数项为·

13.已知圆0:x²+y²=4与圆M:(x-2)²+(y-2)²=r²(r>0)相交于A,B两点，且

MA·MB=0,则r=

14.在△ABC中，D为BC边的中点，BC=2,AD=√2,则cosA的最小值为·

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知数列{an}的前n项和为S,且满足Sₙ=2a-2(n∈N).

(1)求{an}的通项公式；

(2)设,求数列{bn}的前n项和Tₙ.

16.(15分)

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB=BC=1,∠ABC=90°,PA=2.

(1)求证：BC⊥平面PAB;

(2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.

题16图

高二数学试卷第3页共4页

17.(15分)

已知函数f(x)=e×-ax(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的极值点的个数；

(2)若xf(x)≥a(lnx-x²+x)在x∈(0,+∞o)上恒成立，求实数a的取值范围.

18.(17分)

已知双曲线C:(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为2√5.

(1)求C的标准方程；

(2)设A,B是C上关于y轴对称的两点，P是C上异于A,B的一点.直线PA,PB

的斜率均存在且不为0,且分别与y轴交于M,N两点.

(i)若A,B在x轴上，求|MN|的取值范围；

(ii)设0为坐标原点，证明：|OM|·|ON|为定值.

19.(17分)

一箱子中共有5件大小形状质地完全相同的产品，其中3件次品，2件正品.从箱子中

一次随机取出两件产品进行检测，如果检测出的产品是正品，则将它放回箱子中；如果检测

出的产品是次品，则不放回箱子中，另补相同数量的正品放入箱子中.重复进行上述操作n

次后，箱子中正品的件数记为Xn.

(1)求恰好2次操作后，箱子中产品全为正品的概率；

(2)求随机变量X₂的分布列；

(3)求E(Xn).

高二数学试卷第4页共4页

试卷类型：A

2025-2026学年第二学期期末高二数学答案

2026.7

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题

卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上

角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域

内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改

液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

题号12345678

答案ABCBCCBD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ABCACDABD

第11题解答：

A:f(x)最大值为√2,正确；

B:最小正周期得到w=2,正确；

C:因为(k∈Z),所以①=1-4k(k∈Z),错误；

D:因,所,于是y=sint在区间内有2

个零点，于是,解得则,正确；

2025年罗湖区普通高中高二年级期末考试数学试题第1页共7页

故正确选项为ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.-16013.2

第14题解答：

设AB=c,AC=b,BC=a=2,BD=DC=1,

在△ABC中，因

即8=b²+c²+2bccosA,

由余弦定理得4=a²=b²+c²-2bccosA,所以b²+c²=6,bccosA=1,

当且仅当b=c=√3时取等，

故cosA的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知数列{a}的前n项和为S,且满足S,=2a-2(n∈N).

(1)求{a}的通项公式；

,求数列{b}的前n项和T.

【解析】(1)由Sₙ=2an-2,

当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2得到a=2;…………1分

当n≥2时，a=S,-Sn₋1=(2an-2)-(2an-1-2)=2a,-2an-1,……2分

即a,=2a,-2a_1,整理得a=2a₋1,…………1分

因此{an}是公比为2的等比数列，……………1分

an=a₁·2”⁻¹=2”;

故{a}的通项公式为aₙ=2”(n∈N).……2分

(2)由(1)知a=2”,则log₂an=log₂2”=n,……………2分

………………2分

……2分

故{b,}的前n项和为

2025年罗湖区普通高中高二年级期末考试数学试题第2页共7页

16.(15分)

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB=BC=1,∠ABC=90°,PA=2.

(1)求证：BC⊥平面PAB;

(2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.

(1)【证明】因为PA⊥平面ABC,

BCc平面ABC,………1分

所以PA⊥BC,……………1分

又因为∠ABC=90°,AB⊥BC,…………---→B1分

而AB∩PA=A,ABC平面PAB,PAC平面PAB,……2分

所以BC⊥平面PAB;………1分

(2)【解析】

因为PA⊥平面ABC,AB⊥BC,

所以可以点B为原点，BA,BC分别为x轴与y轴建立如图空间直角坐标系.………1分

B(0,0,0),A(1,0,0),P(1,0,2),C(0,1,0),

所以AP=(0,0,2),BC=(0,1,0),BP=(1,0,2),AC=(-1,1,0).

设平面PAC与平面PBC法向量分别为m=(a,b,c),n=(x,y,z),

由得到

,令a=1得m=(1,1,0),…………

由得到令x=2得n=(2,0,-1),……………4

……………………2分

所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为.…………………1分

17.(15分)

已知函数f(x)=eˣ-ax(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的极值点的个数；

(2)若xf(x)≥a(Inx-x²+x)在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)函数定义域为R,f'(x)=e×-a,………1分

①当a≤0,方f'(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增，无极值点；…1分

②当a>0,令f'(x)=0,得x=Ina,……1分

当x<lna时，f'(x)<0;

当x>Ina时，f'(x)>0,

故Ina是f(x)的唯一极小值点，即极值点个数为1;……………2分

综上，当a≤0时，f(x)在R上无极值点；当a>0时，f(x)在R上有1个极值点.……1分

(2)因为xf(x)-a(Inx-x²+x)=xeˣ-ax-alnx≥0,

2025年罗湖区普通高中高二年级期末考试数学试题第3页共7页

记F(x)=xeˣ-ax-alnx,…1分

(方法一)

①当a<0时，x→0,xe→0,-ax→0,-alnx→-∞,

所以F(x)→-∞,F(x)≥0不恒成立，故a<0不成立；…………2分

②当a=0时，F(x)=xe*>0,恒成立；………1分

③当a>0时，由(1)知，存在唯一的x₀∈(0,+∞),使得a=x₀eˣ0,………1分

且F(x)在x₀处取最小值，…………1分

F(x₀)=x₀eˣ0-ax-alnx₀=a-alna,………1分

所以a-alna≥0,解得a≤e;……………1分

综上a的取值范围为[0,e].…………………1分

(方法二)

由F(x)=xeˣ-ax-alnx=xe*-aln(xe*),………………1分

令t=xe,则t>0,且x∈(0,+0∞)时，t∈(0,+∞).………1分

于是f(x)≥0恒成立等价于t-alnt≥0对任意t>0恒成立………………1分

当a=0时，t>0恒成立；当a<0时，t→0+,t-alnt→-∞,不恒成立；…………1分

当时，则等价于

a>0t-alnt≥0(t>0),

…………………1分

当0<t<e时φ'(t)>0,当t>e时φ'(t)<0,

故φ(t)在t=e处取得最大………………1分

因此,所以a≤e,…………·1分

综上可得a的取值范围为[0,e].……1分

18.(17分)

已知双曲线C(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为2√5.

(1)求C的标准方程；

(2)设A,B是C上关于y轴对称的两点，P是C上异于A,B的一点.直线PA,

PB斜率均存在且不为0,与y轴分别交于M,N两点.

(i)若A,B在x轴上，求|MN|的取值范围；

(ii)设0为坐标原点，证明：|OM|·ON|为定值.

【解析】(1)依题意，2a=2×2b,即a=2b,………1分

又焦距为2c=2√5,所以a²+b²=5,………1分

解得a²=4,b²=1,………………2分

2025年罗湖区普通高中高二年级期末考试数学试题第4页共7页

所以C的标准方程为………………1分

(2)(i)由已知A(2,0),B(-2,0),………1分

设P(x₁,y₁),直线PA,PB的斜率分别为k₁,k₂,

,……1分

设M,N两点的纵坐标分别为YM,Yn,

则yu=-2k₁,yn=2k₂,…1分

MN|=2|k₁+k₂|>4√k₁k₂=2,………1分

所以M|N|的取值范围为(2,+∞).

(ii)【证明】由双曲线的对称性，不妨设A(x₀,y%),B(-x₀,y),x₀≥2,……1分

设P(x₁,y₁),x₁≠±x。,则直线PA方程为………1分

令x=0得，,………………1分

同理可得，………………1分

因为………………1分

……1分

…………………·1分

所以O|M|·|ON|=|Myn|=1为定值.……………1分

19.(17分)

一箱子中共有5件大小形状质地完全相同的产品，其中3件次品，2件正品，.从箱子中

一次随机取出两件产品进行检测，如果检测出的产品是正品，则将它放回箱子中；如果检测

出的产品是次品，则不放回箱子中，另补相同数量的正品放入箱子中.重复进行上述操作n次

后，箱子中正品的件数记为X.

(1)求恰好2次操作后，箱子中产品全为正品的概率；

(2)求随机变量X₂的分布列；

(3)求E(Xn).

(1)设“恰好2次操作后箱子中产品全为正品”为事件A,………1分

2025年罗湖区普通高中高二年级期末考试数学试题第5页共7页

根据操作的规定，事件A发生即2次操作，其中1次取出1正品1次品，另一次取出2次

品，………………………1分