湖北省武汉市2025-2026学年高一数学上学期期末检测试题含解析

2025-2026学年度高一上学期期末检测

数学试题

本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟．请将答案填涂在答题卡上．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合，再利用交集的概念和运算法则计算求解．

【详解】，解得，

，

，故B正确．

故选：B．

2.函数的部分图象大致为（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可.

【详解】因为函数的定义域为，且，

可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故BC错误；

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又因为，则，故D错误；

故选：A.

3.已知，则“”是“”的（）．

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合充分条件必要条件的判定即可判断.

【详解】，所以充分性成立，

反过来，，满足，但，故必要性不成立．

故选：A.

4.函数的单调递增区间为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性和二次函数的单调性计算即可.

【详解】由题得，解得．因为在定义域内单调递减，

所以当函数在定义域内单调递减时，函数单调递增，

在定义域内，函数的单调递减区间为，

故函数的单调递增区间是．

故选：D．

5.已知幂函数的图象经过点，则函数的零点所在区间是（）

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A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理求得结果.

【详解】设幂函数，则由题意得，解得，

所以．易知，函数的定义域为．

因为是增函数，是增函数，所以函数是上的增函数．

所以至多有一个零点，

又，

所以函数只有一个零点在区间内．

故选：B．

6.若，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用两角差的正切公式，可得，再利用二倍角的正切公式，即得解

【详解】∵，

∴，可得，

∴

故选：A

7.已知函数，记，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据偶函数的性质、对数函数和指数函数的性质比较大小即可.

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【详解】因为函数，定义域为，而且，

所以为偶函数，所以．

由指数函数与对数函数的性质可得，，且．

所以可得.

因为时，在上单调递增，

所以，所以．

故选：C

8.设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（）

A.B.1C.D.2

【答案】A

【解析】

【分析】求出时的范围，根据不等式对恒成立得到a的一个范围；求出

时的范围，再次求出a的范围，取交集即可求出a的值．

【详解】当，，

若不等式，恒成立，则①；

当，，对称轴为，

当时，单调递减，单调递增，

∴，

则，解得②；

综合①②得．

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故选：A．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.若某扇形的周长为18，面积为20，则该扇形的半径可能为（）

A.2B.4C.5D.10

【答案】BC

【解析】

【分析】根据扇形的周长公式和面积公式求解即可.

【详解】设该扇形的半径为，弧长为，则，解得或5.

故选：BC

10.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是

（）

A.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

B.在区间上单调递增

C.的图象关于直线对称

D.关于的不等式的解集为

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结

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合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答.

【详解】由图象得，，即，而，则，

，又，则，

解得，函数的最小正周期，由图象知，

则，，，

对于A，图象向左平移个单位得到的图象，A正确；

对于B，当时，，函数在上单调递增，B正确；

对于C，，的图象关于直线对称，C正确；

对于D，由，得，则，

解得，D错误.

故选：ABC

11.已知函数的定义域为，当时，，且对任意实数

均

，则（）

A.B.的图象关于点对称

C.D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，利用赋值法求解即可.对于B，令，证即可.对于C，根据B

可知求解即可证.对于D，利用函数单调性求解即可.

【详解】对于A，令，得，

整理得，解得或，

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再取，得，

若，则，解得，则与条件中“当时，”矛盾，

故，所以，故A正确.

对于B，令，得，

代入，整理得，

所以的图象关于点对称，故B正确.

对于C，由可知，

，

因为，所以，故C错误．

对于D选项，下面证明在上单调递增，

条件，

可变形．

令，则有，因为当时，，

所以当时，，的图象关于点对称，

故当时，，故在上恒成立，

，

有，

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故，

又因为恒正，所以，

从而在上单调递增，

，

故.

故D正确．

故选：ABD．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知，则________.

【答案】3

【解析】

【分析】根据三角函数基本关系式，结合“齐次式”的运算，即可求解.

【详解】因为，则.

故答案为：3.

13.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其

中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在

深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为

_____________.（精确到0.01，）

【答案】##

【解析】

【分析】将已知代入函数关系，利用对数运算求解可得.

【详解】由题知，当时，，

代入得，即，

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所以，即.

故答案为：

14.已知函数的定义域是，满足且，

若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____

【答案】

【解析】

【分析】方程在上恰有2021个零点，等价于存在，使在

上恰有2021个交点，作出函数的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交

点都处在之间才能取到2021个点，代入条件求得参数取值范围.

【详解】由函数在上的解析式作出如图所示图像，

由知，函数是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，

若使时，存在，方程在上恰有2021个零点，等价于

在上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即时满

足条件，且必须每个周期内均应使处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点，

则当时，需使最后一个完整周期中的极小值，

即，解得，即

当时，需使最后一个极大值，

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即，解得，即，

综上所述，

故答案为：

【点睛】方法点睛：作出函数图像，数形结合将问题转化为函数交点问题，根据边界条件列出不等式组，

从而求得参数取值范围.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知函数是定义在上的奇函数．

（1）求的值；

（2）判断的单调性并用定义证明．

【答案】（1）

（2）在上单调递增，证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解出；

（2）利用定义法证明函数的单调性．

【小问1详解】

∵为定义在上的奇函数，

∴，∴；

当时，，∴，满足为定义在上的奇函数综

上所述：．

【小问2详解】

在上单调递增，证明如下：

任取，则，

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∵，又函数在上为增函数，∴

所以，∴

所以在上单调递增．

16.（1）已知正实数满足，求的最小值；

（2）已知，且，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据基本不等式的性质计算即可.

（2）根据已知条件求出和的值，进而根据和差角与倍角的余弦公式计算即可.

【详解】（1）由题：，且，

∴；

由基本不等式．

故得：．当且仅当时等号成立．

∴的最小值为：．

（2）由题可得：∵，∴，

又∵，∴，

∴；

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∵，∴，

又，∴，

∴，

∴，

∴．

17.已知函数，且．

（1）当时，求的最小正周期；

（2）若在区间上单调递增，求的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）应用二倍角正弦余弦公式及辅助角公式化简，再应用周期公式计算；

（2）根据正弦函数的单调增区间计算得，再应用集合间关系列式计算求参数.

【小问1详解】

由题可得：．

所以当时，，故其最小正周期为．

【小问2详解】

由题可得，其单调递增区间需满足．

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解得，

取得到一个包含端点0的单调递增区间．

根据题意，区间需包含于某个单调递增区间内，即需要满足，

于是可得，解得，即的范围为．

18.已知函数．

（1）若，

（i）求的值；

（ii）解关于的不等式．

（2）若函数，当时，对，使得

成立，求的取值范围．

【答案】（1）（i）；（ii）；

（2）．

【解析】

【分析】（1）(i)根据列出方程，再求解，最后验证解得的是否符合题意；

(ii)根据对数函数的单调性可得，再解分式不等式即可；

（2）由得到，设，由的范围得到的值域

，设，由求出的值域，由对，函数

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在区间内总存在使得成立，得到，利用子

集的定义列出关于的不等式组，计算得解.

小问1详解】

（i）∵，∴，

∵，∴，

∴，整理得，解得或.

当不满足真数大于0，即不成立，故；

（ii）∵，∴，

由，可得，

由，解得；

由，得，得或，

综上，取交集得，即解集为．

【小问2详解】

，

，

，，

，

，

得，

，

设，，，的值域为，

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设，

其对称轴为，∵，∴在处取最大值为，

又因为，

的值域为，

∵对任意的，

函数在区间内总存在使得成立，

，，

，得，即，

∴实数的取值范围为．

19.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，即

，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”．

（1）判断是否是以为周期的正弦周期函数，并说明理由；

（2）函数是否存在最小正周期？若存在，求出其最小正周期并证明；若不存在，请

说明理由；

（3）设函数是定义在上的增函数，值域为，且是以为正弦周期的正弦周期函数．若

，且存在，使得，求的值．

【答案】（1）是，理由见解析

（