湖北省黄冈市蕲春县2025-2026学年高二数学上学期10月月考测试题含解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（）

A.B.C.1D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程即可得解.

【详解】直线斜率为，方程为，当时，，

所以在轴上的截距为.

故选：B

2.若方程表示圆，则实数的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】将方程化为标准式即可计算求解.

【详解】解：方程可变形为，

因为方程表示圆，则，所以.

故选：D.

3.设，向量，，且，，则（）

A.B.C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先由空间向量垂直和平行的坐标表示计算出，再由模长的坐标运算求结果.

【详解】因为，所以，解得，所以，

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又，所以，解得，所以，

故，则.

故选：C

4.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）

A.若，则B.若，则

C.若，则D.若，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间中点线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判断各选项正误，得出结果.

【详解】根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两直线相互平行，所以A正确；

若，则存一条直线，且，由，所以，

因为，，，所以，B选项正确；

根据面面垂直的判定定理，若，则，所以C正确；

根据面面平行判断定理，两条相交直线平行于一个面，则经过这两条相交直线的面与这个面平行，所以D

错误；

故选：D.

5.不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，

一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得.

【详解】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为：

，共10个样本点，

其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个.

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所以数字之和是偶数的概率为.

故选：B

6.如图所示四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直

线与所成角的余弦值为（）

A.1B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得.

【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得,

显然不共面，，又，

，

因此，

所以则异面直线与所成角的余弦值为.

故选：D

7.已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线

对称，则（）

A.0B.2C.5D.7

【答案】B

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【解析】

【分析】设点的坐标为，根据已知求出轨迹为圆，依题意圆心在直线上即可得解.

【详解】设点的坐标为，因为，

所以，即，

整理得点的轨迹方程为，此方程表示一个圆．

因为点的轨迹关于直线对称，

所以圆心在此直线上，代入得．

故选：B

8.已知直线与相交于点，线段是圆

的一条动弦，且，则的最大值为（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点轨迹为圆，设为

弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值.

【详解】依题意得，半径，设点坐标，

易知直线恒过点，

直线恒过，且，则，即，

点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点，

若点为弦的中点，位置关系如图：

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，连接，由，易知，

，

又点分别为圆、圆上的点，

所以，当在处取等号，

所以

，

即的最大值为．

故选：B．

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.直线的倾斜角的取值范围是

B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量，，则在上的投影向量为

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的垂直及充要条

件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.

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【详解】对于A选项，直线的倾斜角为，则，因为，所

以，所以，故A正确；

对于B选项，因为直线与直线互相垂直，所以，即

，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，所以“”

是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；

对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，

设这两个非零向量为，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量，使得为空

间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确;

对于D选项，因为向量，所以在上的投影向量

为

，故D正确.

故选：ACD.

10.如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确

的是（）

A.平面B.点到平面的距离为

C.平面平面D.三棱锥的体积为3

【答案】AC

【解析】

【分析】A.通过证明平面与平面平行，得到直线与平面平行，B.利用等体积法求出距离，C.作辅助线先证明

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线面垂直，再得到面面垂直D.，求出

【详解】对于A，∵四边形为正方形，∴

又，且，，在平面内，在平面内，

∴平面平面，又平面，

平面，A正确

对于B，三棱锥的体积，

易知为正三角形，且边长为，故，

，到平面的距离满足：，

解得：，B错误；

对于C，

连接交于点，连接，，取中点，则为直角三角形，

易知，

，，，

，

为等边三角形，且为中点，

，又，且都在平面内，

平面，又在平面内，

∴平面平面，C正确；

对于D，易知，又，与全等，

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，为等腰三角形，

，，

∴棱锥的体积，D错误

故选：AC

11.在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足

，，，则下列说法正确的是（）

A.点P一定在平面内B.当时，点P的轨迹长度为

C.当，P，M三点共线时，D.当时，的最大值为

【答案】BC

【解析】

【分析】A利用及平面向量基本定理即可；B取的中点N，即可得出，

计算长度即可；C由共线性质即可；D利用基底化简得

出

，再化简得出，当，时，取最大值，但此时

不满足.

【详解】对于A选项，易得，故，则共面，又

有公共点，故点P在平面内，故A错误；

对于B选项，取的中点N，连接，

则，，则，，

则四边形为平行四边形，

则当时，，，

可知此时点P的轨迹为线段AN，其长度为，

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故B正确；

对于C选项，由，与三点共线，可知，故C正确；

对于D选项，显然为一组正交基底，

而，

故

，

而，

故，

因，，故当，时，最大为，

此时不满足，故的最大值不为，故D错误．

故选：BC．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，p，已知每

个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p＝______________.

【答案】##

【解析】

【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.

【详解】由题意可知，解得.

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故答案为：.

13.直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是

______．

【答案】

【解析】

【分析】求出其斜率和在轴上的截距，再根据其所过象限得到不等式组，解出即可.

【详解】因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线的斜率，且在轴上的截

距．

因为直线，所以，，

则，解得，即实数的取值范围是．

故答案为：.

14.已知直线l与圆相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点，则AB的

中点的轨迹方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，利用圆的性质及直角三角形斜边上中线的性质列式求出轨迹方程.

【详解】设，连接，由弦的中点为，得，，

由以线段为直径的圆过点，得，则，

因此，整理得，

所以的中点的轨迹方程为

故答案为：

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知直线：，：，其中为实数.

（1）当时，求直线，之间的距离；

（2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可；

（2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可.

【小问1详解】

由得，解得，

此时直线：，：，不重合，

则直线，之间的距离为；

【小问2详解】

当时，：，

联立，解得，

又直线斜率为，

故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，

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即.

16.四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD．

（1）证明：；

（2）若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平

面BCD的夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直和面面垂直的条件可得线面垂直，故得线线垂直；

（2）由（1）的结论，结合题设条件，建立空间直角坐标系，分别求出相关点的坐标，计算两个平面的法

向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.

【小问1详解】

因四边形ABCD为菱形，所以，

因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，

所以平面PBD，

因为平面PBD，故

【小问2详解】

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如图，设，则O为AC、BD的中点，

由可得，

又因为平面PBD，平面PBD，所以，

因为，AC、平面ABCD，

所以平面ABCD，

故可以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

且为PA与平面ABCD所成角，

由于四边形ABCD为边长为，的菱形，

所以，

则，，，，，

由，∴，

得，且

设平面的法向量为，

则，,故可取，

又平面BCD的一个法向量为，

所以，

所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为

17.已知圆过三点，直线．

（1）求圆的方程；

（2）求圆关于直线对称的圆的方程；

（3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．

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【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；

（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程；

（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将

转化为，结合三点共线可求最小值.

【小问1详解】

设圆的方程为，代入，

则，解得，

所以圆的方程为；

【小问2详解】

设，

由对称关系可知，解得，所以，

又因为对称圆的半径不变，

所以的方程为；

【小问3详解】

因为，

由（2）可知关于直线的对称点为，

所以，

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当且仅当共线时取等号，

所以，即的最小值为.

18.为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽

取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组

、第3组、第4组、第5组.

（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；

（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；

（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加

中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名

志愿者中恰好来自同一组的概率.

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数；

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（2）由第75百分位数分直方图左侧面积为0.75，列方程求第75百分位数.

（3）由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志

愿者中恰好来自同一组的概率.

【小问1详解】

由直方图知：，可得，

∴500名志愿者中年龄在的人数为人.

【小问2详解】

因为，，

所以第百分位数在区间内，若该数为，

∴，解得.

【小问3详解】

由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自

，1名来自，

不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，

则抽取两人的基本事件有，

，共15个，

∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.

19.如图，在四棱锥中，四边形是梯形，其中，

，平面平面.

（1）证明：；

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（2）若是棱上的动点，且与平面所成角的正切值为.

（i）求二面角的余弦值；

（ii）当直线与平面所成角最大时，求长.

【答案】（1）证明见解析

（2）（i）；（ii）

【解析】

【分析】（1）根据几何关系先证明，再根据面面垂直的性质定理证明平面，由此可

知；

（2）（i）先证明平面并求解出长度，然后建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面

和平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出结果；（ii）设，

由此表示出坐标，然后利用向量法表示出，再通过换元法以及二次函数性质分析何时取最大

值，从而计算出坐标，则长可求.

【