湖北省黄冈市部分高中2026届高三数学上学期12月联考试题含解析

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（不含解析几何）.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

AxNx24

1.已知集合，B1,0,1,2，则AB（）

A.1B.0,1C.1,0,1D.0,1,2

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解.

【详解】解不等式x24，得2x2，则A{xN|2x2}{0,1}，而B1,0,1,2，

所以AB0,1.

故选：B

2.2025年1月份至6月份，我国限额以上零售业单位中便利店、超市、百货店、专业店、品牌专卖店零售

额同比分别增长7.5%，5.4%，1.2%，6.4%，2.4%，则该组数据的30%分位数为（）

A1.2%B.1.8%C.2.4%D.5.4%

.

【答案】C

【解析】

【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解.

【详解】将数据从小到大排列，1.2%，2.4%，5.4%，6.4%，7.5%，

共5个数据，5×30%=1.5，故从小到大选取第2个数据作为30%分位数，即2.4%.

故选：C

3.已知tanA，tanB是关于x的方程x24px2p10的两个根，则tanAB（）

A.1B.1C.2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由韦达定理得到两根之和，两根之积，结合正切和角公式进行求解.

【详解】由韦达定理得tanAtanB4p,tanAtanB2p1，

tanAtanB4p

故anAB2.t

1tanAtanB12p1

故选：D

4.已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若a//，b//，则a//bB.若a//，a//b，则b//

C.若，a，b，则a⊥bD.若//，a，a⊥b，则b

【答案】C

【解析】

【分析】ABD可举出反例；C选项，设出平面的法向量和直线的方向向量，从而确定uv，ab，C正

确；

【详解】A选项，若a//，b//，则a//b或a,b异面或a,b相交，A错误；

B选项，若a//，a//b，则b//或b，B错误；

C选项，设,的一个法向量分别为m,n，直线a,b的方向向量分别为u,v，

若，a，b，则mn，m//u,v//n，

故uv，a⊥b，C正确；

D选项，若//，a，则a，

又a⊥b，则b//或b，D错误.

故选：C

5.如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在

静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当

v1v125km/hv2v25km/hv1v2

轮船的航程最短时，则cos（）

62612

A.B.C.D.

5555

【答案】C

【解析】

【分析】当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，从而得到方程，结合诱导公式求出答案.

v1v2

【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，

v1v2

πv251

则sin，

2v1255

π11

又sincos，故cos，cos.

255

故选：C

6.已知fx是定义域为2,2的函数fx的导函数，且函数gxxfx的图象如图所示，则（）

A.fx的极大值点为1，无极小值点B.fx的极小值点为1，无极大值点

C.fx的极大值点为0，极小值点为1D.fx的极小值点为0，极大值点为1

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象得到gx的正负，进而求出fx的正负，得到极值点情况.

【详解】由图象可得，当2x0时，gxxfx0，故fx0，

当0x1时，gxxfx0，故fx0，

当1x2时，gxxfx0，故fx0，

所以fx在2,0上单调递减，在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，

故fx的极大值点为1，极小值点为0

故选：D

210

7.若10111，则（）

1xa0a1x1a2x1a10x1a2

222

A.180B.180C.360D.360

【答案】A

【解析】

10

101

【分析】变形得到，利用二项式定理得到通项公式，求出.

1x2x11a2180

2

10

101

【详解】1x2x11，

2

10k

故通项公式为k10k1k，

Tk1C102x11

2

22

令得=，故82181，

10k2k8T9C102x11180x1

22

故a2180.

故选：A

8.已知定义域为R的函数fx满足fxfyfxyxy，则f100（）

A.102B.101C.100D.99

【答案】B

【解析】

【分析】令xy0得f00或1，验证后得到f00不成立，f01满足要求，此时fyy1，

从而得到答案.

【详解】fxfyfxyxy中，令xy0得f0f0f0，

解得f00或1，

令x0得f0fyf0y，若f00，上式整理得y0，

但y不一定等于0，故f00不成立，

若f01，则fyy1，

此时fxfyx1y1xyxy1，

fxyxyxy1xy，满足fxfyfxyxy，满足要求，

故f1001001101.

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

πππ

9.已知函数fxsinx0,图象的两个相邻零点之间的距离为，且fx是偶函

2212

数，则（）

π

A.ω=4B.

3

5ππ7π1

C.fx的图象关于直线x对称D.fx在,上的值域为,1

126122

【答案】BC

【解析】

π

【分析】根据题意，求得Tπ，得到2，可判定A错误；由函数fx是偶函数，求得

12

2ππ5ππ5π

kπ,kZ，得到，可判定B正确；由f()1，可判定C正确；求得2x(0,)，

331236

结合三角函数的性质，可判定D错误.

π

【详解】对于A，由函数fxsinx的图象的两个相邻的零点之间的距离为，

2

1π2π

可得T，所以Tπ，则2，所以A错误；

22T

πππ

对于B，由fxsin2x，可得fxsin[2(x)]sin(2x)，

12126

πππ2π

因为函数fx是偶函数，可得kπ,kZ，所以kπ,kZ，

12623

πππ

又因为，所以，所以fxsin(2x)，所以B正确；

233

5π5πππ5π

对于C，由f()sin(2)sin1，所以fx的图象关于直线x对称，所以C正确；

12123212

π7ππ5ππ

对于D，由x(,)，可得2x(0,)，则sin(2x)(0,1]

612363

所以函数fx的值域为(0,1]，所以D错误；

故选：BC.

bbbb

10.若alog734，clog473，则下列结论正确的是（）

A.b0B.若0b1，则acb

C.若c3b3，则b1D.若b1，则bcbbba

【答案】ACD

【解析】

b

7

【分析】A选项，由真数大于0得到1，故b0；B选项，可举出反例；C选项，由幂函数单调性

3

bb

73

得到cb，作差法得到1，由函数单调性得到b1；D选项，分析得到b1时，满足cba，

44

又ybx在R上单调递增，故bcbbba，当0b1时，同理可得cba，又ybx在R上单调递

减，故bcbbba，D正确.

bbbbbb

【详解】A选项，clog473，由题意得730，即73，

b

7

1，故b0，A正确；

3

B选项，若，不妨设，则，

0b1b0.5clog473

73734

其中73，

7373

2

而1673161022162210，

4

故473，所以731，

73

所以，故，B错误；

clog4730cb

C选项，若c3b3，又yx3在R上单调递增，故cb，

bb

7b3b73

其中bb，

cblog473blog4blog40

444

bb

73

所以1，

44

xx

73

设fx，其在R上单调递增，

44

bb

73

又f11，故1，解得b1，C正确；

44

D选项，若b1，当b1时，

bb

3b4b34

bb，

ablog734blog7blog7

777

xx

34

令gx，其在R上单调递减，

77

bb

34

又g11，故b1时，1，ab0，故ab，

77

bb

7b3b73

由C知，bb，

cblog473blog4blog40

444

xx

73

fx在R上单调递增，f11，

44

bb

bb73

时，73，故，，

b11cblog40cb

4444

满足cba，又ybx在R上单调递增，故bcbbba；

当0b1时，同理可得cba，又ybx在R上单调递减，故bcbbba，D正确.

故选：ACD

11.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，P为四边形ABCD内（包括

边界）一个动点，则下列结论正确的是（）

A.三棱锥EABD外接球的表面积为9π

B.若PE3，则点P的轨迹长度为2π

C.PEPC1的最小值为17

π23

D.若直线PE与平面ABB1A1所成的角为，则PB的最小值为

63

【答案】ACD

【解析】

【分析】补形为长方体求出外接球的表面积判断A；利用勾股定理得PA2并确定轨迹判断B；作出点E

关于平面ABCD的对称点计算判断C；建立空间直角坐标系，求出点P的坐标满足的关系，再利用两点间

距离公式计算判断D.

【详解】对于A，由AE,AB,AD两两垂直，得三棱锥EABD与以AE,AB,AD为棱的长方体有相同的外

接球，

则该球的直径为2R1222223，该球的表面积为4πR29π，A正确；

对于B，由AE平面ABCD，得PE2AE2PA23，则PA2，

12

因此点P的轨迹是以A为圆心，2为半径的圆弧，其长度为π，B错误；

42

对于C，延长EA到E，使得AEAE1，则点E,E关于平面ABCD对称，

因此22，

PEPC1PEPC1C1E3(22)17

当且仅当P为C1E与平面ABCD的交点时取等号，C正确；

对于D，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1),B(2,0,0)，

设P(x,y,0)(x,y[0,2])，EP(x,y,1)，而平面ABB1A1的法向量n(0,1,0)，

π|EPn|y1

π

由直线PE与平面ABB1A1所成的角为，得sin，

66|EP||n|x2y212

212141343423

整理得yx，因此PB(x2)2y2x24x(x)2，

33333233

323

当且仅当x时取等号，即PB的最小值为，D正确.

23

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数z在复平面内对应的点的坐标为3,3，则iz_____.

【答案】33i

【解析】

【分析】先得到z33i，利用复数乘法法则计算即可.

2

【详解】由题意得z33i，故izi33i3i3i33i.

故答案为：33i.

13.《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于田地面积的问题.假设有5块长均相等、宽依

次成等比数列的矩形田地.这5块矩形田地的总面积为620m2，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田

地面积的16倍，则最小的矩形田地的面积为______m2.

【答案】20

【解析】

【分析】设5块矩形田地的宽构成等比数列an，公比为q，矩形的长为x，根据题意，列出方程组，即

可求解.

【详解】设5块矩形田地的宽构成等比数列an，其中首项为a1，公比为q，前n和为Sn，

不妨设公比q1，矩形的长为x，

因为田地的总面积为620m2，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍，

5

xa1(1q)

xS5620620

可得，即1q，解得xa20,q2，

1

xa5x16a14

a1q16a1

所以最小的矩形田地的面积为20m2.

故答案为：20.

14.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向上、下、左、

右四个方向之一移动一个单位长度，共移动7次，则该质点到O的距离为5的概率为______.

735

【答案】

2048

【解析】

22

【分析】先求出总情况有4716384，设移动7次后，该质点坐标为x,y，则xy5，其中x,yÎZ，

从而得到坐标需为1,2，2,1，设向右步数为R，向左步数为L，向上步数为U，向下步数为D，

从而得到方程组，先分析出x,y1,2时的情况数，进而得到满足要求的总情况数，求出概率.

【详解】移动7次，每次均有4种情况，故总情况有4716384，

设移动7次后，该质点坐标为x,y，则x2y25，其中x,yÎZ，

x1x2

故或，

y2y1

故整数解有8个，分别为1,2，2,1，

设向右步数为R，向左步数为L，向上步数为U，向下步数为D，

且R,L,U,D均为非负整数，

则RLUD7，则xRL,yUD，

设RLm,UDn，mn7，

x,y1,2的情况，RL1,UD2，

由RL1,UD2知，m为奇数，n为偶数，

当m1,n6时，RL1,UD6，结合RL1,UD2，

可得R1,L0,U4,D2，

当m3,n4时，RL3,UD4，结合RL1,UD2，

可得R2,L1,U3,D1，

当m5,n2时，RL5,UD2，结合RL1,UD2，

可得R3,L2,U2,D0，

当m7,n0时，RL7,UD0，结合RL1,UD2，无解，

每一步四个方向等可能，但顺序可以改变，

7!

R1,L0,U4,D2时，排列数为105，

1!0!4!2!

7!

R2,L1,U3,D1时，排列数为420，

2!1!3!1!

7!

R3,L2,U2,D0时，排列数为210，

3!2!2!0!

所以对于坐标1,2，共有105420210735种情况，

同理可分析出其他7种情况，均和1,2的情况相同，

从而一共有73585880种情况，

5880735

故概率为.

163842048

735

故答案为：

2048

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

15.为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了200次动物试验，得到如下列联表：

疾病B

合

药物A

患病未患病计

服用xy100

未服

4060100

用

合计x40y60200

在服用药物A的动物中，患病的频率为0.2.

（1）求x，y；

（2）依据小概率值0.01的独立性检验，是否认为服用药物A对预防疾病B有效?

2

nadbc

附：2，nabcd.

abcdacbd

0.10.050.010.005

x2.7063.8416.6357.879

【答案】（1）x=20，y80；

（2）能认为服用药物A对预防疾病B有效.理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据频率得到方程，求出x=20，进而求出y1002080；

（2）零假设，计算出卡方，与6.635比较后得到结论.

【小问1详解】

服用药物A的动物中，患病的频率为0.2，

x

故0.2，解得x=20，

100

故y1002080；

【小问2详解】

能认为服用药物A对预防疾病B有效.理由如下：

零假设H0：药物A对预防疾病B无效，

2

20020604080200

由列联表可得29.5246.635，

6014010010021

根据小概率值0.01的独立性检验，推断H0不成立，

即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.01，

依据小概率值0.01的独立性检验，能认为服用药物A对预防疾病B有效.

16.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bc2acosC.

（1）求A；

33

（2）若bc2，ABC的面积为，求BC边上的高.

4

π

【答案】（1）A

3

（2）321

14

【解析】

1π

【分析】（1）由正弦定理和sinBsinAcosCcosAsinC得到cosA，从而得到A；

23

（2）由三角形面积公式得到bc3，结合bc2，得到c1，b3，由余弦定理得到a7，利用三

角形面积得到方程，求出BC边上的高.

【小问1详解】

已知2bc2acosC，由正弦定理得2sinBsinC2sinAcosC，

又sinBsinACsinAcosCcosAsinC，

所以2sinAcosC2cosAsinCsinC2sinAcosC，

故2cosAsinCsinC，

1

又C0,π，故sinC0，所以2cosA1，cosA，

2

π

因为A0,π，所以A；

3

【小问2详解】

133π

由题意得bcsinA，由（1）知A，

243

1π33

则bcsin，解得bc3，

234

又bc2，故b2c，将b2c代入bc3得

c2+2c30，解得c1，负数舍去，故b2c3，

π

由余弦定理得a2b2c22bccosA916cos7，故a7，

3

133733

设BC边上的高为h，则ah，即h，

2424

321

解得h.

14

π

17.如图，在斜四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD，且BD3BE.

3

（1）证明：A1E//平面B1CD1.

5

（2）若A1ABA1AD，AA1A1C，且平面ABCD与平面AA1B1B夹角的余弦值为，求AA1.

5

【答案】（1）证明过程见解析；

（2）

AA16

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，得到A1B//平面B1CD1，A1D//平面B1CD1，故面面平行，进而证明线面平行；

（2）证明出A1DA1B，所以A1O⊥BD，又AA1A1C，故A1O⊥AC，从而证出线面垂直，建立空间

直角坐标系，设A1Ot，求出两平面的法向量，由面面角的余弦值得到方程，求出t3，进而得到AA1.

【小问1详解】

连接A1D,A1B，

因为A1D1//BC，A1D1BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形，

所以A1B//CD1，

因为CD1平面B1CD1，A1B平面B1CD1，所以A1B//平面B1CD1，

同理可证A1D//B1C，A1D//平面B1CD1，

又A1DA1BA1，A1D,A1B平面A1DB，

所以平面A1DB//平面B1CD1，

又A1E平面A1DB，所以A1E//平面B1CD1；

【小问2详解】

连接AC，交BD于点O，

π

底面ABCD是边长为2的菱形，BAD，

3

故△ABD为等边三角形，ACBD，

则ABADBD2，AOCO,BODO1，

又因为A1ABA1AD，AA1AA1，所以△A1AB≌A1AD，故A1DA1B，

所以A1O⊥BD，

又AA1A1C，故A1O⊥AC，

因为BDACO，BD,AC平面ABCD，所以A1O⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，OA,OB,OA1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

由勾股定理得AOCO3，设A1Ot，

则，，

A3,0,0,A10,0,t,B0,1,0AA13,0,t,AB3,1,0

设平面AA1B1B的一个法向量为mx,y,z，

AA1m3,0,tx,y,z3xtz0

则，

ABm3,1,0x,y,z3xy0

tt

令z1得x,yt，故m,t,1，

33

又平面ABCD的一个法向量为n0,0,1，

t

,t,10,0,1

mn315

则cosm,n，

mnt24t25

t211

33

解得，故22.

t3AA1A1OAO336

18.在数列an中，a11,(2n1)an1(2n1)an.

（1）求an的通项公式.

（2）已知集合，记的非空子集为n，中的所有元素的和为，

Ana1,a2,a3,,anAnBi(1i21)BiTi

TTTTn

记b(1)n12321.

n2n1

（i）求数列bn的前100项和H100；

（ii）记中最小的元素为，求.

BiDiD1D2D3D2n1

【答案】（1）an2n1；

（2）（i）5050；（ii）32n2n3.

【解析】

【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项公式.

的

（2）（i）利用组合计数问题求出An中每个元素出现次数，再利用等差数列前n项和公式求出bn，然后

利用并项求和法求出H100；（ii）利用组合计数问题求出An中的每个元素为最小元素的个数，再利用错位

相减法求和即得.

【小问1详解】

aa

在数列a中，由(2n1)a(2n1)a，得n1n，

nn1n2(n1)12n1

aaa

因此数列{n}是常数列，则n11，a2n1，

2n12n1211n

所以an的通项公式为an2n1.

【小问2详解】

（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为012n1n1，

AnCn1Cn1Cn1Cn12

n1(12n1)nn12n1

因此TTTTn(1352n1)22n2，

123212

TTTTn

b(1)n12321(1)nn2，

n2n1

所以22222222

H100(12)(34)(56)(99100)

(3199)50

37111995050.

2

n

（ii）依题意，An{1,3,5,7,,2n1}的非空子集有21个，

其中最小元素为1的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有1个，

Cn1

含3个元素的子集有2个，，含个元素的子集有n1个，

Cn1nCn1

因此最小元素为1的子集有012n1n1个.

Cn1Cn1Cn1Cn12

同理得最小元素为3的子集有01n2n2个，

Cn2Cn2Cn22

最小元素为2n1的子集有20个，

则n1n2n30，

D1D2D3D2n1123252(2n1)2

记X12n132n252n3(2n1)20，

则2X12n32n152n2(2n1)21，

2(2n11)

两式相减得X2n2(2n12n221)2n12n22n132n2n3，

21

所以n.

D1D2D3D2n1322n3

1

19.已知函数fxxmlnx．

x

（1）讨论fx的单调性．

exa

（2）已知m1，函数gxafx，且gx仅有两个零点．

x

①求a的取值范围；

②证明：gx的两个零点之积小于1．

【答案】（1）答案见解析；

（2）①ae