广东署山市顺德区2026届高三数学下学期二模试题含解析

共4页，19小题，满分150分，用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将

试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不

按以上要求作答无效．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1.设，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【详解】依题意，，而，

所以.

2.复数满足，则（）

A.B.1C.D.2

【答案】B

【解析】

【详解】由，得，

所以.

3.等差数列的前项和为，公差为，且，则（）

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A.B.C.2D.4

【答案】C

【解析】

【详解】等差数列中，由，得，

则，即，所以公差.

4.已知平面上两点，若，则坐标为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】先设点的坐标，再应用向量的坐标运算求解.

【详解】设的坐标为

且平面上两点，又，

则，且，

所以，即得

则的坐标为.

5.设直线与圆交于两点，则（）

A.B.C.1D.

【答案】A

【解析】

【详解】由圆，即，则圆心为，半径，

则圆心到直线的距离为，

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所以.

6.函数的图象向右平移得到曲线，的图象向左平移

得到曲线，若曲线与正好关于轴对称，且都经过原点，则（）

A.B.C.D.1

【答案】C

【解析】

【详解】由题意，，

，

因为曲线与都经过原点，

所以，，

则，且，

又因为曲线与正好关于轴对称，

所以，

则，即，

联立，则，即，

则.

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7.已知函数，则不等式的解集为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇偶函数的定义确定函数的奇偶性，再变形不等式，借助指数函数单调性求解.

【详解】当时，，；当时，，；

，则当时，，即函数是R上的偶函数，

不等式，

整理得，解得，所以原不等式的解集为.

8.设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰

有一个发生的概率是，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【详解】设，

由题意，在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，

则，

即，解得，即.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预

算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据

总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（）

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A.该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增

B.2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元

C.2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高

D.2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据图表中信息，以及地方一般公共预算收入的月累计值和同比增长的概念，逐一判断各选项的

正误，判断结果.

【详解】由图表可知，3月地方一般公共预算收入为（亿元），4月的地方一般公

共预算收入为（亿元），可知选项A错误；

9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以选项B正确；

2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年9月该地区的地方一般公共

预算收入累计为（亿元），

2025年8月该地区地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年8月该地区的地方一般公

共预算收入累计为（亿元），

所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以C正确；

2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年10月该地区的地方一般公

共预算收入累计为（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共

预算收入平均数为，所以D正确；

故选：BCD.

10.定义域关于原点对称的函数，满足，

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，为偶函数且，则（）

A.B.

C.为偶函数D.若，则

【答案】ABD

【解析】

【详解】令，则，化简得，又

，，故A正确，

令，，化简得，又，

，故B正确，

令，则，化简得，故为奇函

数，故C错误.

令，则，化简得，

又，，

再令，则，

又为偶函数，，又为奇函数，，

故化简得，

，解得，故D正确.

11.已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在上，直线

为的内角平分线，过作于点，则（）

A.当轴时，点在直线上B.当轴时，点在轴上

C.点在圆上D.直线与双曲线的公共点只有1个

【答案】BCD

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【解析】

【分析】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分，对A、B，写出直线方程代入求解即可；

对C，求出是的中位线，再利用双曲线的定义求解即可；对D，利用双曲线的几何性质判断即

可

【详解】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分，因此直线即为双曲线在点处的切线

对A，当轴时，不妨设点坐标为

双曲线在点的切线（即角平分线）方程为：，

将原点代入方程得，因此点不在直线l上，故A错误

对B，求得的方程为，，，的方程为，

联立得交点，横坐标为0，故在轴上，B正确

对C，延长交于，因为是角平分线且，

所以是等腰三角形，，是中点，

又是中点，是的中位线，

因此：即，

故在圆上，C正确

对D，因为直线即为双曲线在点处的切线，所以直线与双曲线的公共点只有1个，D正确

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知，且是第一象限角，则___________．

【答案】##

【解析】

【详解】由，得，又是第一象限角，解得，

所以.

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13.已知为坐标原点，椭圆与抛物线有共同的焦点，

且在第一象限相交于点，若，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】联立曲线方程，求得，然后将代入得出，化简整理即可求解.

【详解】设椭圆的右焦点为，依题意可得，

因为，

由，解得，即，

所以，即，即，

所以，解得，

所以.

14.在平面四边形中，．将沿翻折到

，若三棱锥的外接球半径是2，则二面角的正弦值是___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心，利用球面的性质及二面角的定义求解.

【详解】在三棱锥中，取中点，为的外心，

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由，得，在线段上，且，

由，得是的外心，令三棱锥的外接球球心为，

则平面，平面，而，则，

显然平面，则平面，

令平面平面，则是二面角的平面角，

且，而，则，

所以二面角的正弦值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知函数的图象经过．

（1）求函数的表达式；

（2）在中，角所对的边为．已知，求．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）代入点计算求解参数，得出解析式即可；

（2）应用三角函数值得出，再结合两角和正弦公式及正弦定理得出，最后应用特殊角三

角函数值计算求解.

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【小问1详解】

函数的图象经过，所以，

所以，且，

所以，所以，

即得；

【小问2详解】

在中，，所以，

且，且，所以，即，

所以，即得，

由正弦定理，所以，

所以，即得，

所以，

即得，，

所以，

所以.

16.现有一枚质地均匀的骰子，6个面中有3个面的点数是1，有2个面的点数是2，还有1个面的点数是4

．掷骰子次，且每次掷骰子相互独立．

（1）记第一次朝上的点数为，求的分布列和数学期望；

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（2）记4次朝上的点数之积为，求．

【答案】（1）

124

；

（2）

【解析】

【小问1详解】

依题意，的可能取值为，，

所以的分布列为

124

数学期望.

【小问2详解】

依题意，的事件是以下3个互斥事件的和，4次正面朝上的点数都是2的事件；

4次正面朝上点数中1次为1，2次为2，1次为4的事件；

4次正面朝上的点数中2次为1，2次为4的事件，

，

所以

17.如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点

（不与端点重合），且．

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（1）证明：平面；

（2）已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1．

（i）求的长度；

（ii）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；

（2）（i）；（ii）.

【解析】

【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证.

（2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法列式求出；（ii）求出平面

的法向量，再利用线面角的向量法求解.

【小问1详解】

在正方形中，由，得，，

则，，因此，

由是圆柱的母线，得平面，而平面，则，

又平面，所以平面.

【小问2详解】

（i）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，，得，

解得，则，显然直线两两垂直，

以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

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则，设，则，

，由点到直线的距离是1，

得，则，而，解得，

所以.

（ii），，设平面的法向量为，

则，取，得，设直线与平面所成的角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

18.已知椭圆的左顶点，上顶点．

（1）求椭圆的方程和直线的方程；

（2）过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直

线交椭圆于点．

（i）求证：直线的斜率之和为定值；

（ii）求面积的最大值．

【答案】（1），；

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（2）（i）证明见解析；（ii）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，直接写出椭圆及直线方程.

（2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用斜率坐

标公式计算得证；（ii）由（i）求出点坐标，进而求出三角形面积关系，利用换元法，结合导数求出最大

值.

【小问1详解】

由椭圆的左顶点，上顶点，得，

所以椭圆的方程为，直线的方程为.

【小问2详解】

（i）直线斜率存在，设其方程，点

由，得，则，

解得，即点，

直线交直线于点，

由点是线段的中点，得点，

因此直线的斜率，即，

所以直线的斜率之和为定值.

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（ii）由（i）同理得，，

点到直线的距离，

则的面积，

显然，，令，

，求导得，

当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，

当时，，所以面积的最大值为.

19.已知函数，

（1）若，讨论的单调性；

（2）若，记为在区间，上的零点．

（i）证明：数列为等比数列；

（ii）对任意，比较与的大小．

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增

（2）（i）证明见解析；（ii）

【解析】

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【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性；

（2）（i）求导，结合题设可得，结合同角三角函数的基本关系

可得

，易得，进而得到，即可求

证；

（ii）结合（i）