2025-2026学年山西省临汾市第一中学高二下册期末数学试题 含答案

/2025-2026学年度高二年级第二学期期末考试数学试题（卷）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量的夹角为，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.在中，已知，，，则（）A.36 B.18 C. D.5.已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则（）A.0 B.1 C. D.6.已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（）A.1 B.2 C.3 D.47.甲､乙､丙､丁4人站到共有4级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A204 B.84 C.66 D.608.已知，若有唯一解，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.(多选)若函数对任意有，则

等于（）A－3 B.－1 C.0 D.310.已知，则下列结论正确的是（）A.不等式的解集为B.函数在单调递减，在单调递增C.函数在定义域上有且仅有一个零点D.若关于的方程有解，则实数的取值范围是11.如图，点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.若点满足，则动点的轨迹长度为B.当直线与所成角为时，点的轨迹长度为C.三棱锥体积的最大值为D.当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，若，则__________.13.已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．14.已知实数满足，则的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16.如图，已知平面平面，，，．（1）求证：；（2）若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．17.等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.

材料材料合计试验成功

试验失败

合计

单位：次（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.8791082818.已知函数.（1）求函数在上的最大值；（2）若函数的最小值为1，求实数的值；（3）求证：.19.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值．（3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值．

2025-2026学年度高二年级第二学期期末考试数学试题（卷）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式，再求交集.【详解】因为，所以．故选：C2.若，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算求出复数，再由复数的几何意义即可判断.详解】由题意得，则在复平面内对应的点在第一象限.故选：A.3.已知向量的夹角为，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画图，设向量，则，根据平面向量的夹角的定义求与的夹角.【详解】如图，设向量，则，因为，所以是顶角为的等腰三角形，底角为，故与的夹角为.故选：D.4.在中，已知，，，则（）A.36 B.18 C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理求出，然后由向量数量积的定义求解即可.【详解】在中，已知，，，由余弦定理得.故选：D．5.已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得的周期为，且，利用函数的周期将转化为求，即可得答案；【详解】，∴，∴的周期为，，函数是定义上的奇函数，，，故选：A.【点睛】本题考查函数的周期性和奇函数的性质，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6.已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】首先可以得出，其次利用等比数列通项公式以及它的前n项和为的基本量的运算即可求解.【详解】注意到，，首先，（否则，矛盾），其次，，两式相比得，解得.故选：C.7.甲､乙､丙､丁4人站到共有4级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A.204 B.84 C.66 D.60【答案】A【解析】【分析】分三种情况讨论，第一类，甲､乙､丙､丁各自站在一个台阶上，第二类，有2人站在同一台阶上，剩余2人站在另一个台阶上，第三类，有2人站在同一台阶上，剩余2人各自站在一个台阶上，按照分步乘法计数原理及分类加法计数原理计算可得；【详解】解：因为甲､乙､丙､丁4人站到共有4级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为3类：第一类，甲､乙､丙､丁各自站在一个台阶上，共有：种站法；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余2人站在另一个台阶上，共有：种站法；第三类，有2人站在同一台阶上，剩余2人各自站在一个台阶上，共有：所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.故选：A8.已知，若有唯一解，则取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用偶函数性质，只需要研究的零点个数，然后用换元法构造新函数进行求导证明单调性，借助端点值效应，，所以可证明存在唯一零点的参数取值范围.【详解】，，为偶函数，，设，，则在有唯一零点．，当且仅当取等号．若,时，，则在单调递增，又因为，所以在有唯一零点若,时，令得，即，解得或，其中，满足要求，，其中，故在时恒成立，所以，即，不合要求，当时，，则在单调递减，所以，时，，故在有1个零点．又，所以在上有两个零点，不满足题意，故的取值范围为．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.(多选)若函数对任意有，则

等于（）A.－3 B.－1 C.0 D.3【答案】AD【解析】【分析】由，得到函数的图象关于直线对称，结合三角函数对称轴的性质，即可求解.【详解】由函数对任意x都有，可得函数的图象关于直线对称，所以当时，函数取值最大值或最小值，即.故选：AD10.已知，则下列结论正确的是（）A.不等式的解集为B.函数在单调递减，在单调递增C.函数在定义域上有且仅有一个零点D.若关于的方程有解，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】解分式不等式验证选项A；利用导数求函数单调区间验证选项B；解方程得函数的零点验证选项C；通过函数值域求实数的取值范围验证选项D.【详解】对于A，由，得，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，所以A正确；对于B，的定义域为，由，得，令，得或，令，得或，所以在和上递增，在和上递减，所以B错误；对于C，令，得，所以在定义域内有且只有一个零点，所以C正确；对于D，由选项B可知在和上递增，在和上递减，因，且当从1的左侧趋近于1时，，当从1的右侧趋近于1时，，所以的值域为，所以若关于的方程有解，则实数的取值范围是，所以D错误.故选：AC11.如图，点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.若点满足，则动点的轨迹长度为B.当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为C.三棱锥体积的最大值为D.当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为【答案】BD【解析】【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求其周长判断A；连接，以为圆心，为半径画弧，易知当在，上时直线与所成的角为，求其轨迹长判断B；取特殊位置排除C；取的中点分别为，根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，进而求长度的最大值判断D.【详解】选项A：因为在正方体中，平面，又平面，所以动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，A说法错误；选项B：连接，以为圆心，为半径画弧，如图所示，当点在弧上时，因为直角三角形中，所以与所成的角为，则当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，又，，，所以点的轨迹长度为，B说法正确；选项C：当点在平面时，，易知此时面积最大值为，所以此时三棱锥体积的最大值为，C说法错误；选项D：取的中点分别为，连接，如图所示，因为，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又因为，，，所以平面和平面是同一个平面，则点的轨迹为线段，在中，，，则，所以是以为直角的直角三角形，所以，即线段长度最大值为，D说法正确；故选：BD【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，若，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据分段函数的解析式分类讨论求解即可.【详解】由题意知，当时，，解得；当时，，解得，与矛盾，此时无解.所以故答案为：213.已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．【答案】【解析】【详解】由题意可知，2次检测结束的概率为，3次检测结束的概率为，则恰好检测四次停止的概率为.14.已知实数满足，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】讨论范围得到图象，根据图象考虑直线与椭圆相切和直线与渐近线重合两种情况，分别计算得到范围.【详解】因为实数满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点，当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，当时，其图象不存在，当时，，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象知的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线其中一条渐近线与直线平行，通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离3的2倍，设与其图像在第三象限相切于点，联立，得，因为或（舍去），所以直线与直线的距离为，此时，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出图像，根据图像解决最值问题是解题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根据等差、等比数列公式法求出通项；（2）利用等比数列前项和公式以及裂项相消法求出结果.【小问1详解】设数列的公差为，则解得所以，.【小问2详解】，则.16.如图，已知平面平面，，，．（1）求证：；（2）若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题，根据直角梯形的结构特征，结合勾股定理逆定理可得，再根据面面垂直的性质可得平面，进而得到（2）先证明平面，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合三棱锥的体积为得到相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，再根据向量的夹角公式可得二面角的余弦值【小问1详解】∵，，∴四边形为直角梯形，又，，易得，．∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴．【小问2详解】∵，平面平面，平面平面，∴平面，故可以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，∵三棱锥的体积为，∴，即，解得．∴，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，得，令，得，∴，易知平面的一个法向量为，∴，故二面角的余弦值为．17.等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.

材料材料合计试验成功

试验失败

合计

单位：次（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为试验的结果与材料有关（2）石墨烯发热膜的定价至少为2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标.【解析】【分析】（1）根据所给等高堆积条形图，得到列联表，计算出卡方，即可判断；（2）依题意可得的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，即可得解.【小问1详解】根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：材料材料合计试验成功453075试验失败52025合计5050100计算可得，依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关.【小问2详解】设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，易知的可能取值为，，，，，，，，，则的分布列为00.20.40.608修复费用的期望，所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标.18.已知函数.（1）求函数在上的最大值；（2）若函数的最小值为1，求实数的值；（3）求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的最大值；（2）根据题意，得到，求得，分类讨论，得到函数的单调性和最小值；（3）根据题意，转化证明成立，由（2）知，当时，求得，令，求得，得到单调递增，得出，求得，即可得证.【小问1详解】解：