广东深圳市盐田高级中学2026届高三下学期考前学情自测数学试卷

广东深圳市盐田高级中学2026届高三下学期考前学情自测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A=−1,0,1,2,3,B=x∣x≤A．−1,0,1,2,3 B．−1,0,1,2 C．−1,0,1 D．0,12．复数i2+iA．1+2i5 B．1−2i5 C．1+2i 3．已知实数x，y，则“x>y”是“x+13A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知实数x,y满足方程1−y−12=x−1A．43,4 B．43,2 C．5．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为150π，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（）A．353π3 B．1753π36．已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.87．已知向量a,b满足a=cosθ,sinθ，b=1，且a与bA．7 B．21 C．7 D．218．已知函数fx=2x−mlnx,gA．−∞,−1C．−∞,0∪二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．若α∈0,π，sinα−cosα=A．tanα=43 C．sinα+cosα=75 10．如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为y2=4x，过点F(1,0)作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且A．开口向下的抛物线的焦点坐标为0,−B．曲线E上两点间距离的最大值为8C．点(3,3)不在曲线E的内部D．直线l的斜率为311．正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A．若直线DP与直线BC所成角为π4，则点PB．若直线DP与直线B1D1所成角为πC．若点P到直线AD的距离等于到直线A1B1D．若PD=2PA，则点P的轨迹长度为2三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．1+1x31+x713．已知函数fx=atan401x−bsin314．在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，满足2S=a2−(b−c)2，若a四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为12，同学乙每次击中目标的概率为1（1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行.（i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率；（ii）记第n次射击由同学甲进行的概率为Pn，求P（2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率.16．如图，在矩形CDEF中，CD=1,DE=2，A,B分别是DE,CF的中点，点P,Q分别是对角线AC,BE上的动点（不包括端点），且CP=BQ=a0<a<2，将四边形ABCD沿AB翻折，使平面ABCD⊥平面（1）求证：BD⊥平面AEC；（2）求线段PQ的长（用a表示）；（3）当线段PQ的长最小时，求平面PQA与平面AEC夹角的余弦值．17．已知数列an的前n项和为Sn，a1（1）求数列an（2）设bn=2n+1an，记数列bn的前n项和为Tn18．已知角α(0<α<π)的顶点为A，在α的两边上截取AB=AC，连接BC，在线段BC上取一点O，使得BO=2CO，记BO的中点为D，以O为中心，C,D为顶点作离心率为2的双曲线M，以A为圆心，AB为半径作圆，与双曲线M左支交于点E（射线AE在∠BAC内部），则∠BAE=13∠BAC.在上述作法中，以O为原点，直线BC为x（1）求双曲线M的方程；（2）若过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点G，点E到直线AG的距离为d.证明：①BEd②∠BAE=119．已知函数fx（1）求曲线y=fx在x=0（2）若fx≥1在0,+∞（3）当a=1时，证明：对∀x>0，有fx

答案解析部分1．【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：因为A=−1,0,1,2,3,B=x∣x≤故答案为：C.【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】B【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数【解析】【解答】解：因为i2+i=i2−i2+i2−i=3．【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：易知函数fx由x>y，可得x+1>y+1，则x+13由x+13>y+13，可得则“x>y”是“x+13故答案为：C.【分析】根据幂函数y=x4．【答案】A【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：1−y−12=x−1两边平方整理可得(x−1)2该方程表示的是圆心为(1,1)，半径为1的圆的右半部分曲线，如图所示：设y+2x=k，则y=kx−2是通过定点显然该直线通过(1,2)时，斜率k最大，最大斜率kmax当直线和圆相切于B时，斜率k最小，由圆心(1,1)到直线y=kx−2的距离是k−1−2k2+1=1，解得则k∈43,4故答案为：A.【分析】由题意求得x的范围，将1−y−12=x−1两边平方，整理可得方程表示的是圆心为(1,1)，半径为1的圆的右半部分曲线，作出图形，设y+25．【答案】C【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用【解析】【解答】解：因为r1=5,r2=10，圆台的侧面积为150π=π×(r1+所以，圆台上、下底面面积为S由圆台的体积计算公式，可得：V=故答案为：C.【分析】根据已知条件结合圆台的侧面积公式得出母线长，利用勾股定理得出圆台的高，再根据圆的面积公式和圆台的体积公式，从而得出该圆台的体积.6．【答案】B【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：设男生人数为m>0，女生人数为n>0，且进球数的平均值和方差分别是x=4和s2=4，其中男生进球数的平均值和方差分别是x1=5和s由平均数可得x=1m+nmx由方差可得s2即3.6=121.8+故答案为：B.【分析】设设男生人数为m>0，女生人数为n>0，根据分层抽样均值的计算公式可得m=n，再利用分层抽样的方差公式求解．7．【答案】A【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：向量a=cosθ,sinθ，因为b=1，且a与b夹角为60∘，所以则a+2b2=a2+48．【答案】D【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】解：由fx≥gx即2x−mlnx−n≥0而函数y=2x−m和y=lnx−n在则函数y=2x−m和y=lnx−n在即m2=en，则设hn=2令h'n<0，得n<0或0<n<1，令h所以函数hn在−∞,0和0,1又n<0时，hn<0，n>0时，hn则hn∈−∞,0故答案为：D.【分析】根据题意得2x−mlnx−n≥0，进而得到m2=9．【答案】A,C,D【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：sinαcosα=sin2α+cos2α−对C，sinα+cosα=sinα−cosα对A，sinα=sinα−cosα+sinα+cosα2对B，sin2α=2sin对D，cos2α=cos故答案为：ACD.【分析】根据三角和差与积的关系，可得sinα+cosα、sinαcosα10．【答案】B,D【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的简单性质；曲线与方程【解析】【解答】解：已知开口向右的抛物线为y2=4x，焦点为根据对称性可设开口向左的抛物线方程为y2=−2px开口向上的抛物线方程为x2=2qy，其焦点坐标为开口向下的抛物线方程为x2=−2qy，其焦点坐标为由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得p=q=2，因此四条抛物线分别为：y2=±4x，对于选项A，开口向下的抛物线为x2=−4y，焦点坐标为(0,−1)，不是对于选项B，联立y2=−4xx2=4y，可得x=−4同理可得B(4,4),C(4,−4),D(−4,−4)，距离最大的两个点为A(−4,4)和C(4,−4)（或B(4,4)和D(−4,−4)），最大距离为：|AC|=(4−(−4)对于选项C，曲线E的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系y2≤4x且代入(3,3)：y2=9<12=4×3，x2对于选项D，设直线l:x=my+1，P(x1,y1),Q(x由QF→=3FP→得：联立y2=4xx=my+1，可得y代入y2=−3y1得：−2y由y2=6m>0得m=13，斜率【分析】根据抛物线的定义即可判断A；求出交点A、B、C、D的坐标即可判断B；根据曲线E的定义即可判断C；设直线l:x=my+1，P(x1,y111．【答案】B,C,D【知识点】轨迹方程；椭圆的定义；抛物线的定义【解析】【解答】解：A选项，由正四棱柱性质可知BC//AD，所以直线DP与直线BC所成角等于直线DP与直线AD所成角也即∠PDA=π由DA⊥平面AA1BB1即点P到定点A的距离为定值，故点P的轨迹为圆的一部分，A错误；B选项，类似地，因为B1D1//BD，所以直线DP与直线B1已知该角为定值π6，因为BD是定直线，所以DP形成的轨迹是一个以BD为轴，D为顶点，半顶角为β=点P的轨迹就是圆锥面与侧面ABB1A1的交线，因为所以圆锥面轴线BD与侧面ABB1A1的夹角故点P的轨迹是椭圆的一部分，B正确；C选项，因为AD⊥AP，所以点P到直线AD的距离就是点P到点A的距离，所以在侧面ABB1A1内，点P到定点（点A不在直线A1B1D选项，在Rt△PAD中，根据勾股定理有PD2则2PA2=PA2+AD2以A为圆心，半径为R=2因为AA1<233<AB，所以圆与AB和A1B1有交点，分别设为AF=R=233，可得sin于是点P的轨迹长度为23

故答案为：BCD.【分析】对于A，由题可知∠PDA=π4，进而得到AP=2，则点P的轨迹为圆的一部分；对于B，根据题意可知点P的轨迹就是圆锥面与侧面ABB12．【答案】42【知识点】二项展开式的通项【解析】【解答】解：对1+x7，有T则有1×C故答案为：42.

【分析】利用二项展开式的通项公式计算特定项的系数即可.13．【答案】2028【知识点】函数的奇偶性；正弦函数的性质；正切函数的图象与性质【解析】【解答】解：令gx则f1=g1因为g−x所以g−1所以f−1=g−1+2026=2028.14．【答案】10−3【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【解答】解：整理得2S=a所以bcsinA=2bc−2bccos因为sin2A+cos即5cos2A−8cosA+3=0因为A∈0,π2在锐角△ABC中，有C<π2,B=π−A−C<所以tanC>因为bc因为tanC>34，所以0<所以35<4因为a2所以t==2设bc=xx∈当且仅当2x=1x，即所以t的最小值为2⋅故答案为：10−32【分析】根据题意化简可得sinA=2−2cosA，再根据同角三角函数的关系及锐角三角形的限定可得cosA,sin15．【答案】（1）解：（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件A，可得PA（ii）因为第n次由同学甲进行射击的概率为Pn，则第n−1次由同学甲进行射击的概率为P所以Pn=1Pn令k=−4−6k，得k=−47，所以所以数列Pn−47是以所以Pn−4所以P21（2）解：P甲→乙则P甲→P乙→联立①②解得P甲→乙【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；等比数列的实际应用【解析】【分析】（1）（i）利用独立事件乘法公式求概率即可；（ii）由题可得Pn=1（2）分P甲→乙（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件A，可得PA（ii）因为第n次由同学甲进行射击的概率为Pn，则第n−1次由同学甲进行射击的概率为P所以Pn=1Pn令k=−4−6k，得k=−47，所以所以数列Pn−47是以所以Pn−4所以P21（2）P甲→乙则P甲→P乙→联立①②解得P甲→乙16．【答案】（1）证明：在矩形CDEF中，CD=1,DE=2，点A,B分别是DE,CF的中点，所以四边形ABCD和EFBA是全等的正方形，所以BD⊥AC,AE⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，AE⊂平面ABFE，所以AE⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD，又因为BD⊥AC，AE∩AC=A，AE,AC⊂平面AEC，所以BD⊥平面AEC；（2）解：以B为原点，BA,BF,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B0,0,0则CA→=(1,0,−1)，CB→因为CP=BQ=a，所以CP→=2则PQ→所以|PQ所以线段PQ的长为a2（3）解：因为|PQ所以当a=22时，线段此时P,Q分别为线段AC,BE的中点，Q(12,则AQ→设n→=x,y,z则n→令x=1，则y=z=1，所以平面PQA的一个法向量为n→由（1）知，BD→=(1,0,1)为平面则|cos所以平面PQA与平面AEC夹角的余弦值为63【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；空间向量的数量积运算的坐标表示【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质，先证明AE⊥平面ABCD，得到AE⊥BD，再结合BD⊥AC即可证明；(2)以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量模长公式即可求解；(3)利用（2）的结论确定P、Q的坐标，再利用空间向量法求面面夹角即可.（1）证明：在矩形CDEF中，CD=1,DE=2，点A,B分别是DE,CF的中点，所以四边形ABCD和EFBA是全等的正方形，所以BD⊥AC,AE⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，AE⊂平面ABFE，所以AE⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD，又因为BD⊥AC，AE∩AC=A，AE,AC⊂平面AEC，所以BD⊥平面AEC；（2）以B为原点，BA,BF,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B0,0,0则CA→=(1,0,−1)，CB→因为CP=BQ=a，所以CP→=2则PQ→所以|PQ所以线段PQ的长为a2（3）因为|PQ所以当a=22时，线段此时P,Q分别为线段AC,BE的中点，Q(12,则AQ→设n→=x,y,z则n→令x=1，则y=z=1，所以平面PQA的一个法向量为n→由（1）知，BD→=(1,0,1)为平面则|cos所以平面PQA与平面AEC夹角的余弦值为6317．【答案】（1）解：当n=1时，S2=2S1+2当n≥2时，由Sn+1=2Sn+2，可得Sn=2由此可得数列an是首项为2，公比为2的等比数列，

所以a所以，数列an的通项公式为a（2）解：bn则T2两式相减可得：−T整理可得Tn若对任意的n∈N∗，λT设cn=14n−2⋅32n，则cn+1cn所以当n=1时，c1=34，当当n=3时，c3=2780，当可以看出cn在n=3处取得最小值，所以从n=3后才开始递增，即当n=1，2，3时，c当n≥3时，cn>c所以λ的取值范围为−∞【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式【解析】【分析】（1）解决数列问题时，第一问通过"通项与求和关系→递推关系→等比数列通项公式"的流程求解；

（2）采用"裂项相消求和→参数分离→数列单调性分析→恒成立条件求解"的思路，这是数列通项与求和综合问题的典型解法由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求.（1）当n=1时，S2=2S1+2当n≥2时，由Sn+1=2Sn+2，可得S由此可得数列an是首项为2，公比为2的等比数列，所以a所以，数列an的通项公式为a（2）bn则T2两式相减可得：−T整理可得Tn若对任意的n∈N∗，λT设cn=14n−2⋅32n，则cn+1所以当n=1时，c1=34，当当n=3时，c3=2780，当可以看出cn在n=3处取得最小值，所以从n=3后才开始递增，即当n=1，2，3时，c当n≥3时，cn>c所以λ的取值范围为−∞18．【答案】（1）解：设双曲线M的方程为x2由BO=2CO及B−2,0，可得C因为双曲线M的离心率为2，所以a2+b所以双曲线M的方程为x2（2）解：①由题可得B−2,0因为AB=AC，所以直线AG的方程为设Ex0,y0所以d=−BE=所以BEd②因为AB=AE，由①得因为BEd=2，所以又∠BAE,∠EAG都是锐角，所以12所以∠BAC=2∠BAG=2∠BAE+∠EAG=3∠BAE，所以【知识点】双曲