微积分第六版 第2章 极限与连续(2.1-2.5)

1第二章极限与连续2在16

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17世纪，随着生产实践和科学技术的发展，迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线的切线，确定物体运动的速度，计算平面曲边图形的面积和空间中表面弯曲的立体的体积等.在这些问题面前，初等数学的概念和方法已无能为力，急切要求数学突破研究常量的传统，提供能用以描述和处理运动及变化过程的新理论和新方法——变量数学，而微积分作为变量数学的主体，随之而生。

极限的理论和方法是阐述微积分的概念和方法的工具，是整个微积分学的理论基础。3本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极其有用的重要极限。随后，运用极限引入了函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要是连续函数。4第一节数列的极限一数列定义2.1

一个定义在正整数集合上的函数

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我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。二数列的极限现代学者王能超教授在其著作《刘徽数学“割圆术”——奇效的刘徽外推》中系统阐释了刘徽方法的数学内涵,并指出其与近代数值分析中的外推算法存在深刻的内在联系,彰显了中国古代数学的前瞻性与现代价值.7

三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的面积就无限接近于圆的面积.“割圆术”

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.8“割圆术”计算圆的面积：正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积刘徽首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π≈157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π≈3927/1250=3.1416，称为“徽率”。祖率约率22/7，密率355/113355/113≈39

10定义2.2

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以数列(1)为例:

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13如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义2.3总存在正整数N,

不等式记为或如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),14例5证注意：极限的定义只能用来验证某常数是否为某数列的极限，而不能用来计算极限。15

第二节函数的极限16定性描述:具体解释:17定义2.4

或如果对于任意给定的正数

ε(不论它多么小),

18例1证19例2证20

例3

21具体解释：22例423综上：

定义的精确描述：243.几何解释:说明：25证例526证例627证得证。例28三左极限与右极限

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左极限和右极限统称为函数在某点的单侧极限.31解左右极限存在但不相等,例7四关于函数极限的定理32解左右极限存在且相等,例833练习设解343536第三节变量的极限

下面可给出一般变量的极限的统一定义.

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例38证：例1

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说明：“在某时刻之后”可以指数列当中的n大于某个正整数之后，也可指函数中的x在某个固定点的邻域之内或着|x|大于某个正数之后.40定理2.4证：

41第四节无穷大量和无穷小量

一无穷大量

42精确描述:

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例子44二无穷小量

45注意：1.无穷小量是变量,不能与绝对值很小的数混为一谈;3.称某函数是无穷小量,必须指明自变量的变化过程.2.零是唯一可以作为无穷小量的数；46无穷小量和极限的关系

证：先看必要性充分性:留作练习.47

证：48推论：常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.例4解49三无穷小量与无穷大量的关系

证：50四无穷小量的阶观察每个图形在接近零的过程中,快慢程度不同.51如何更准确刻画趋向于零的快慢程度？当然，快慢是相对的，是相互比较而言的.从极限角度来看：52定义2.11设α,β是同一过程中的两个无穷小量，53第五节极限的运算法则

证54推论:两个无穷小量的代数和仍是无穷小量.55推论1两个无穷小量的乘积仍是无穷小量.

推论2

常数因子可以提到极限符号外面,即推论3

如果n是正整数,则有此外:后面也可以证明,如果n是正整数,则56

例157例2注意:如果分母的极限为零,则不能直接运用上述方法.58解例359解例4消零因子法60有理化方法解例561例6解62例7.1解“抓大头”法解