微积分第六版 第4章 中值定理与导数的应用

微分中值定理与导数的应用第四章1第一节中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。

微分中值定理是微分学中的核心成果之一,深刻揭示了函数的局部变化率与其整体行为之间的内在联系.它不仅建立了导数与函数增量之间的定量关系,为微分学提供了关键的理论支撑,而且是研究函数单调性、极值、凹凸性以及推导泰勒公式等后续内容的重要基础.此外,微分中值定理在不等式证明、方程根的存在性分析、误差估计及物理运动学等诸多领域均有广泛应用,充分体现了微积分“以局部推知整体”的思想精髓.2(0)预备定理——费马(Fermat)定理几何解释：曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是水平的。3证明:由极限的保号性，45一

罗尔中值定理xO

yCxby=f

(x)AB几何解释：如果连续光滑的曲线y=f

(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线是水平的。a6证由费马引理,见定理2.167注意：

f

(x)不满足条件(1)

f

(x)不满足条件(3)

f

(x)不满足条件(2)BxO

yAabxO

yABabcxO

yABab

如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。8例1解9例2解10练习解11练习证结论得证.

12证练习由罗尔定理，13

如果函数f

(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点x

(a,b)内，使得二

拉格朗日(Lagrange)中值定理或14几何意义：

C2hxO

yABaby=f(x)C1x15分析1617证明作辅助函数

由罗尔定理，18注：拉格朗日中值公式又称有限增量公式.特别地,19证推论120证推论221解例322解例4即23解例5即24解练习下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理定理的条件？如果满足，求出定理中的ξ。满足拉格朗日中值定理的条件；25练习证由推论1知,26利用拉格朗日定理证明不等式练习证27练习证由上式得28三

柯西(Cauchy)中值定理设函数f

(x)及g

(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g

(x)均不为0，则至少存在一点x

(a,b)内，使得2、如果取

g(x)

x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：29xO

yAB

f(b)

f(a)g(a)g(b)C1g(x)C2g(h)柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为30证明作辅助函数

31因此，至少存在一点x

(a,b)，使32练习证验证了柯西中值定理的正确性。33练习证34练习证35练习：证右端改为令36令代入上式得37第二节洛必达法则

在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小或同是无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在，或这一节我们利用中值定理推导出一个求未定式极限的法则———洛必达法则.38定理4.1（洛必达法则）则必有证39证定理条件:

40注1定理中可换为注2理的条件，则洛必达法则4142例1解例2解43例3解例4解44例5解45例6解此式振荡无极限,故洛必达法则失效,不能使用.

但（无穷小乘以有界变量）

原极限存在.46练习练习练习比较:因式分解，47练习注1：洛必达法则可多次使用.不是未定式！注2：不是未定式，不能使用洛必达法则！48练习“过犹不及”！49练习比较：等价无穷小替换50练习51练习及时分离非零因子

52练习求下列极限：解或解等价无穷小替换53定理4.2

(证略)

型未定式54注：55例7或解：及时分离非零因子

解56例8解57例9解例10解58练习练习59注意：2.洛必达法则可多次使用，但每次使用前需验证条件；只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法。

3.使用洛必达法则时，要灵活结合其它方法，如等价无穷小替换、凑重要极限、恒等变形、换元等.

60练习解洛必达法则失效。练习不能使用洛必达法则。解极限不存在？？61其他类型的未定式解法：转化为或型不定式。62例11步骤：解63练习64解练习65例12步骤:解66练习67步骤:68例13或解(凑重要极限法)：

解69例14解70例15解71注72例16解73例17解74例18解75练习解分离非零因子等价无穷小替换76练习解所以77分析

这是数列极限,不能直接使用洛必达法则,要先化为函数极限.练习78解练习79解练习凑重要极限80解等价无穷小替换

练习：81解练习：82第三节函数的单调增减性观察与思考：函数单调增加函数单调减少

函数的单调性与导数的符号有什么关系？83函数单调增加时导数大于零；观察结果：函数单调增加函数单调减少函数单调减少时导数小于零。第三节函数的单调增减性8485定理4.3证8687导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。注意：区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,称驻点方法：用驻点及不可导点来划分函数的定义域，然后逐段判断导数的符号，从而确定函数的增减。88例1解所以，89例2解90证所以，例3注：可利用函数的单调性证明不等式91练习解92也可用列表的方式，练习解93练习解94练习证95练习证则96第四节函数的极值97定义4.198函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.说明：1、极值不一定存在；2、极值必在定义区间的内部取到；3、极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大。99x

yO无极值100101定理4.4(极值的必要条件)由费马引理可知，所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。

注：（1）反之不然，驻点不一定是极值点.x

yO102（2）不可导点如果函数连续,也可能是极值点,

x

yO但函数的不可导点也不一定是极值点，

x

yO103

这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.

我们把驻点和不可导点统称为极值可疑点.

下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点.

但是,

驻点或导数不存在的点不一定就是函数的极值点.104定理4.5(极值的第一充分条件)105一阶导数变号法证106证107解例1(-

,-1)-1(-1,1/5)1/5(1/5,1)1(1,+

)xy极大值非极值极小值递增递增递减递增000108例2解列表讨论：极大值极小值109练习解注意定义域！导数左负右正，110练习解x

yO2131111练习解减少减少增加间断极小值e无112定理4.6(极值的第二充分判别法)称为“二阶导数非零法”证113xyOxyO(1)记忆：几何直观；

说明：(2)此法只适用于驻点，不能用于判断不可导点；

证114例3解115练习解116练习解法一列表讨论极大值极小值117练习解法二118(1)确定函数的定义域；

(4)用极值的第一或第二充分条件判定.注意第二充分条件只能判定驻点的情形.

求极值的步骤：(3)求定义域内部的极值可疑点(即驻点或一阶导数不存在的点)；

119第五节最大值与最小值，

极值的应用问题一

最大值和最小值120注意：极值是局部性的，而最值是全局性的。121最值具体求法：

122例1解比较函数值大小123124练习解计算比较得：125例2某公司要设计一款非遗文创物品包装盒,现将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长为多大时,所得方盒的容积最大?

设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a-2x,

解axa-2x

二

极值应用举例因此,方盒的容积为求导得126127例3某高校智能制造实验室承接了一项企业委托业务:为某食品品牌设计一款容积为V的圆柱形金属罐.在确保罐体容积满足要求的前提下,需使所用金属材料最少,以降低生产成本并提升资源利用效率.假设罐体由侧面和上下两个底面构成,且材料厚度均匀、接缝损耗忽略不计,请建立数学优化模型,并求出所用材料最省的底面半径r与高度h.hr解显然,要材料最省,就是要金属罐的总表面积最小.128解所以129例3

在1.5节的例2中,曾求得一年中库存费及生产准备费的和P(x)与每批产量x的函数关系为解其中,

a为年产量,

b为每批次的生产准备费,

c为每台产品(车床)的库存费.问在不考虑生产能力的条件下,每批生产多少台时,

P(x)最小?130131例5

某乡村振兴帮扶企业为助力山区农产品外销,生产特色农产品,每袋售价5元,当每周销量(单位:千袋)为Q时,周总成本为C(Q)=2400+4000Q+100Q2(元),设价格不变,求:(1)可以获得利润的销量范围;(2)每周销量为多少袋时,可以获得最大利润?解132当4<Q<6时,L>0,即可获得利润.解133练习某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的(即商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使准备费和库存费之和最小？

解设分x批生产,则生产准备费和库存费之和为得唯一驻点

(x

为1000000的正因子)134练习解利用最值证明不等式135练习解分析数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化为连续函数,再求导.

利用对数求导法,得

导数左正右负，136第六节曲线的凹凸性与拐点问题：如何研究曲线的弯曲方向?如上图所示的函数y=f(x)的图形在区间(a,b)内虽然一直是上升的,但却有不同的弯曲状况:从左向右,曲线先是向上弯曲,经过P点后,扭转了弯曲的方向,而向下弯曲.因此,研究函数图形时,考察它的弯曲方向以及扭转弯曲方向的点是很必要的.观察可发现：曲线向上弯曲的弧段位于该弧段上任意一点处的切线的上方,曲线向下弯曲的弧段位于该弧段上任意一点处的切线的下方.137定义4.2

如果在某区间内,曲线弧位于其上任意一点处的切线的上方,则称曲线在该区间内是凹的,如图4-16所示;如果在某区间内,曲线弧位于其上任意一点处的切线的下方,则称曲线在该区间内是凸的,如图4-17所示.图4-16138图4-17139定理4.7140定义4.3拐点凹凸141拐点的求法：1、找出二阶导数为零的点或不可导点；2、在点

x0

处一阶导数存在而二阶导数不存在;或者在点

x0

处函数连续而一、二阶导数都不存在时,若在点

x0

适当小的左、右邻域二阶导数存在且符号相反,则为拐点；注意：拐点要写出纵坐标。若同号则不是拐点。142例1解求导数,得下面列表说明曲线的凹凸性、拐点,凹凸凹拐点拐点143例2解凸凹拐点144例3解凹凸拐点145练习解x

yO146注意：二阶导数的零点不一定是拐点！147练习解凹凸凹拐点拐点148练习解所以曲线无拐点。149不存在拐点练习解非拐点150第七节函数图形的绘制一

曲线的渐近线定义4.4如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远处时,该点与某条直线的距离趋于0,则称此直线为曲线的渐近线.151(1)水平渐近线.152例1解因为所以y=0是曲线的一条水平渐近线.153例如有两条铅垂渐近线：(2)铅垂渐近线(垂直于x轴的渐近线)154例2解因为155(3)斜渐近线156斜渐近线求法：故157例3解158练习解159160练习解161二

绘制函数图形第一步第二步第三步第四步第五步第六步162例4解列表不存在拐点极小值点间断点凸凹凹凹163

C(-1,-2)，E(2,1)，D(1,6)，作出函数的图形.xO

yF(3,-2/9).B(-2,-3)，D水平渐近线ABCDEF不存在拐点极小值点间断点描点:A(-3,-26/9)，y=-2竖直渐近线x=0凸凹凹凹164例5解偶函数,图形关于y轴对称.165拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点：拐点凹凸凸凹166167定义域：(-

,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+

)xy间断极大值-４极小值0解渐近线：00例6竖直渐近线斜渐近线凸凸凹凹168xO

y-11-1函数图形：B(0,0)，A(-2,-4)，描点：(-

,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+

)xy间断极大值-４极小值0y

00y

渐近线：凸凸凹凹169例7解函数单调增加，无极值；170解函数单调增加，无极值；（3）渐近线：

逻辑斯蒂曲线171解极大值拐点渐近线：练习凸凸凹172极大值拐点凸凸凹173第八节导数在经济分析中的应用一

函数变化率——边际函数174175例1例2176二

成本某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳动力、原料、设备等)的价格或费用总额.它由固定成本与可变成本组成.平均成本是生产一定量的产品时平均每单位产品的成本.边际成本是总成本的变化率.在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下,产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数.177总成本函数平均成本函数边际成本函数178例3已知某商品的成本函数为解求:当Q=10时的总成本、平均成本及边际成本.179例4

例3中的商品,当产量Q为多少时,平均成本最小?解180三

收益总收益是生产者出售一定量的产品时所得到的全部收入.平均收益是生产者出售一定量的产品时出售的每单位产品平均所得的收入,即单位商品的售价.边际收益为总收益的变化率.总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数.需求(价格)函数总收益函数平均收益函数边际收益函数181需求与收益的关系有:总收益与平均收益的关系为总收益与边际收益的关系为182例5解下面讨论最大利润原则.

设总利润为L,则183于是可得取得最大利润的必要条件是:边际收益等于边际成本.于是可得取得最大利润的充分条件是:边际收益的变化率小于边际成本的变化率.184例6解符合最大利润原则185例7

某工厂生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元.已知总收益R是年产量Q的函数问每年生产多少产品时,总利润最大?此时总利润是多少?解根据题意,总成本函数为从而可得总利润函数为186从而可得总利润函数为187四

函数的相对变化率——函数的弹性前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率.

实践中,

仅仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率还是不够的.

例如,商品甲的单位价格为10元,

涨价1元;

商品乙的单位价格为1000元,也涨价1元.

两种商品价格的绝对改变量都是1元,

但各与其原价相比,两者涨价的百分比却有很大的不同,商品甲涨了10%,而商品乙涨了0.1%.

因此,

我们还有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.188189定义4.5190即191注意