高一预习人教A版（2019）高中数学必修一第12讲 奇偶性

第12讲奇偶性目录TOC\o"1-2"\h\z\u01思维导图与题型归纳 202基础知识梳理 3知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 3知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 4知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 403题型精讲举一反三 6题型1：函数奇偶性的判断与证明 6题型2：由奇偶性求函数解析式 9题型3：由奇偶性求函数值 11题型4：由奇偶性求参数 13题型5：奇函数+常数型问题 15题型6：抽象函数的奇偶性问题 17题型7：奇偶性与单调性综合应用 21题型8：利用奇偶性识别函数图象 23题型9：奇偶性与对称性综合应用 2804过关测试 32

知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数知识点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点三、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇．

题型1：函数奇偶性的判断与证明例1．（2026·高三·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知函数的图象经过点．(1)求的解析式；(2)探究的奇偶性；(3)求不等式的解集．【解析】（1）把点的坐标分别代入中，得；（2）显然函数的定义域为R，关于原点对称，又，所以函数是偶函数；（3）当时，函数单调递增，且，所以此时函数单调递减，因为函数是偶函数，所以由或，因此原不等式的解集为.例2．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)，．【解析】（1）由，得，即．函数的定义域是，关于原点对称，且，既是奇函数又是偶函数．（2）函数的定义域为，关于原点对称．，是偶函数．例3．（2026·高一·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).【解析】（1）的定义域为.因为，所以为奇函数.（2）的定义域为，因为，所以为偶函数.（3）的定义域为，因为，且，所以为非奇非偶函数.变式1．（2026·高一·上海宝山·阶段检测）已知函数的表达式为．(1)求的值；(2)作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性．【解析】（1）由题意；（2）的函数图象如图所示：由图可知是上的奇函数，定义法证明如下：显然，定义域是，若，则，此时，若，则，此时，综上所述，是上的奇函数.变式2．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数；(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性，并证明.【解析】（1）因为函数，所以且不等于2，所以且不等于0，所以函数的定义域为；（2）函数是偶函数.函数的定义域为关于原点对称，又因为,,所以是偶函数.变式3．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).【解析】（1）函数的定义域为，，是奇函数.（2）函数的定义域是，，是偶函数.（3）函数的定义域是，不关于原点对称，是非奇非偶函数.题型2：由奇偶性求函数解析式例4．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______．【答案】【解析】当时，，，又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，，．例5．（2026·高一·广西贵港·开学考试）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________．【答案】，【解析】因为是奇函数，所以.因为时，，所以当时，，所以.所以，.又当时，，所以，.例6．（2026·高一·江苏扬州·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________.【答案】【解析】因为偶函数，所以，又，得，即①.又为奇函数，所以，又，得②.将①代入②得，，，解得.故答案为：.变式4．已知是奇函数，是偶函数，且，则______，______．【答案】．【解析】由题意得，则有两式相减得，所以故答案为：，变式5．已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式．【解析】当时，，则，因为是奇函数，所以又当时，，所以.变式6．（2026·高一·广东·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)把函数图象补充完整，并写出函数的单调区间.（直接写出结果）

【解析】（1）当时，，则，因为函数是定义在上的奇函数，所以，又，则.（2）由（1）可得解析式，作出的图象，如图所示：由图象可知，的单调递增区间为，；单调递减区间为，.题型3：由奇偶性求函数值例7．（2026·高一·广西贺州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（

）A．-9 B．-7 C．-10 D．10【答案】C【解析】因为当时，，当时，，此时.因为为奇函数，所以，所以.即时.所以.故选：C.例8．（2026·高三·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（

）A．1 B．3 C． D．【答案】C【解析】因函数是定义在上的奇函数，当时，则，解得，则当时，，故.故选：C.例9．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】根据已知条件，为奇函数，为偶函数，可得：，联立解得：计算得：因此，.故选：D.变式7．（2026·高一·四川达州·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【解析】因为为定义在R上的奇函数，所以，得，则当时,，故，所以.故选：C.变式8．（2026·高一·福建宁德·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（

）A．1 B．5 C．6 D．4【答案】C【解析】因为①，所以②，又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以②式可化为③，联立①③得，所以.故选：C.变式9．（2026·高一·湖南·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A．0 B．2 C． D．【答案】C【解析】因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，，所以当时，，所以，故.故选：C.题型4：由奇偶性求参数例10．若函数是定义在上的偶函数，则（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】函数是定义在上的偶函数，，即，，，，，．例11．（2026·高一·河南·阶段检测）若函数为奇函数，则（

）A． B．0 C．1 D．2026【答案】B【解析】因为函数的定义域为，且为奇函数，则，结合的任意性可得．例12．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】根据题意得，解得，此时，因为为偶函数，所以，解得，经验证符合题意，故，所以.变式10．（2026·高一·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】A【解析】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，，所以，因为，所以是奇函数，故.变式11．（2026·高三·河北衡水·期末）已知函数是奇函数，则（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【解析】由题意知，所以，当时，由可得：此时等式恒成立，即，则，故选：D变式12．（2026·高一·广东河源·期末）若为偶函数，则a的值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【解析】方法一：因为为偶函数，所以恒成立，即恒成立，则恒成立，所以恒成立，故，解得．方法二：，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即，即．故选：D.题型5：奇函数+常数型问题例13．（2026·高一·上海·期末）函数，为常数，若，则的值为______．【答案】【解析】因为，所以，则，可得，而，得到，解得.例14．（2026·高一·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________【答案】6【解析】由于，可得关于点对称，故.例15．（2026·高一·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________．【答案】【解析】因为，令，则，因为，所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0，即，则，因，故．故答案为：．变式13．（2026·高一·江西抚州·期中）已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______.【答案】4【解析】==2+，令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0，故,故.故答案为：4.变式14．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为_______．【答案】【解析】因，设，则，可得函数为奇函数，则在区间上的最大值与最小值的和为0，故，于是，.故答案为：.变式15．已知函数，若，则（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【解析】令，函数定义域为R，，所以为奇函数，所以，所以，所以，所以．题型6：抽象函数的奇偶性问题例16．（2026·高一·辽宁丹东·期末）已知定义在上的函数，对于，恒有.(1)求证：是奇函数；(2)若是增函数，解关于x的不等式.【解析】（1）取，则，解得，取，则，所以，故为奇函数；（2）不等式，即，又为上的单调递增函数，则，即，当时，不等式的解集为；当时，解得，不等式的解集为．当时，解得，不等式的解集为．例17．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且当时，.(1)求的值；(2)证明为奇函数；(3)猜想函数的单调性并求的解集.【解析】（1）令，则有，解得．（2）证明：令，则有，所以，故函数为奇函数；（3）是R上的减函数．证明如下：设，所以，由，因为当时，，所以，即，所以是R上的减函数；，则，故，故不等式的解为例18．若函数对任意，恒有成立，且．(1)求证：是奇函数；(2)求的值；(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．【解析】（1）定义域为，令，得，再令，得，所以，故是奇函数；（2）因为，故令得，即，又是奇函数，所以，令得，令得故；（3）不妨设，中，令得，，因为，又时，，所以，即，所以在R上单调递减，故．变式16．（2026·高一·福建南平·期末）已知定义域为的函数满足对任意都有．(1)求证：是奇函数；(2)设，且当x＞1时，，求不等式的解．【解析】（1）令，则，即，令，则，即，令，则，即，故是奇函数.（2）∵，则，即，则，即，令，则，，∴，即，故在上单调递减，又∵，则是偶函数，∴，即，则，解得或，故不等式的解集为.变式17．（多选题）（2026·高二·辽宁·阶段检测）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（

）A．为奇函数 B．为奇函数C．为偶函数 D．为偶函数【答案】BCD【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误；由，得，所以为奇函数，B项正确；因为，所以为偶函数，C项正确；因为，所以为偶函数，D项正确.故选：BCD.变式18．（多选题）（2026·高一·重庆渝中·期中）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（

）A．为偶函数B．为奇函数C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数【答案】ABD【解析】设，因为，是定义在上，所以的定义域为，，所以为偶函数，故A正确；设，因为是定义在上，所以的定义域为，，所以为奇函数，故B正确；设，因为，都是定义在上，所以定义域为，因为为奇函数，为偶函数，所以，所以为偶函数，故C错误；设，因为，都是定义在上，所以定义域为，，因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是奇函数，，因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确.故选:ABD.题型7：奇偶性与单调性综合应用例19．（2026·高一·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________.【答案】【解析】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数，则函数在上也是单调递增函数，且，当时，因为，不等式，即为，可得当时，因为，满足；当时，因为，可得，则不等式，即为，可得，综上可得，不等式的解集为.例20．（2026·高一·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________.【答案】【解析】关于的不等式，且，所以，又因为是定义在上的偶函数，所以，因为在单调递减，所以，所以，即得，所以不等式的解集为.故答案为：.例21．（2026·高一·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________．【答案】【解析】由偶函数知，由单调性知，解得，所以解集为．故答案为：．变式19．（2026·高一·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______．【答案】【解析】设，由且，，得，所以在上单调递增．因为为奇函数，所以，所以，即为偶函数．因为，所以，所以不等式，即，所以．又因为在上单调递增，所以，即，解得，所以不等式的解集为．故答案为：变式20．（2026·高二·辽宁·学业考试）已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】对任意，且时，都有成立，可得在上单调递减，因为为偶函数，所以在上单调递增，所以,解得或.故答案为:.变式21．（2026·高一·四川成都·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】因为为定义在上的偶函数，且上单调递增，且，则当或时，，所以不等式等价于，等价于或，因此或解得所以不等式的解集为.故答案为：变式22．（2026·高一·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数m的取值范围为________．【答案】【解析】由，得，即，令，则当且时，有，故在上单调递增.因为是定义在上的偶函数，则，所以也是定义在上的偶函数，因为，所以，又因为，则可化为，化简得，即，所以，即有，解得，所以实数m的取值范围为.故答案为：.题型8：利用奇偶性识别函数图象例22．（2026·高一·广东深圳·期中）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，显然其图象关于点对称，排除A、B，由在上单调递减，则在上单调递减，排除C.故选：D例23．如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由图可知，“心形”图形关于轴对称，则“心形”在轴上方部分对应的函数为偶函数，则函数为奇函数，故B不正确；函数的定义域为，关于原点不对称，故D不正确；的图象过点，且时，，当且仅当时，等号成立，即函数的最大值为2，又“心形”在轴上方部分对应的函数的最大值为1，故A不正确；由的图象过点，且时，，当时，等号成立，即函数的最大值为1，满足题意，故C正确．故选：C.例24．（2026·高一·广东汕尾·期末）定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先把函数的图象关于原点对称，可得函数的图象，再将其向右平移4个单位长度，即得函数的图象.故选：B.变式23．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，，其定义域为，排除A．当时，，B错误．当时，，若，则，C错误．只有选项D满足题意．变式24．（2026·高一·四川南充·期中）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数为偶函数，函数为奇函数，补全这两个函数的图象如下图所示：因为，则或，由图可得，不等式组的解集为，不等式组的解集为.综上所述，不等式的解集为.故选：C.变式25．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由图乙知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数，对于A，当时，，甲在y轴右侧图象与图乙的不相同，不合，故A错；对于B：时，，图乙在x轴下方有图象，故B错．对于D：当时，，其图象在y轴左侧与图乙的不相同，不合，故D错；故选:C变式26．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得，所以是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B选项；当时，，得，故排除A选项；又，排除D选项，故选：C.题型9：奇偶性与对称性综合应用例25．（2026·高一·湖北十堰·期中）已知函数为奇函数，，且与图象的交点分别为，，…，，则（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【解析】令，由题意可知为奇函数.故，即，则，所以函数的图象关于点对称，又，所以的图象也关于点对称，故与图象的交点两两关于点对称，则.故选：C.例26．（2026·高一·四川南充·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.(1)若.①求此函数图象的对称中心；②求的值；(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）.【解析】（1）①，，而满足，即为奇函数，所以的图象关于点中心对称.②，由①得，即，所以.（2）“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”，类比已知条件可得，一个一个推广结论为：函数的图象关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.（答案不唯一）例27．函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；(2)请利用函数的对称性的值；(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）【解析】（1）设的图象的对称中心为，则为奇函数，所以，即，所以，即，整理得，（对函数定义域内的任意都成立），所以，解得，所以函数的图象的对称中心为；（2）由（1）知函数图象的对称中心为，所以，则，又，所以；（3）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是.变式27．（2026·高一·云南大理·期末）已知函数是偶函数，其图像与轴有四个交点，则四个交点横坐标之和是（）．A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】因为偶函数的图象关于轴对称，因此它的图象与的轴的四个交点关于原点对称，四个交点横坐标和为0．故选：A．变式28．（2026·高一·山东济南·期中）已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（

）A．0 B．m C． D．【答案】B【解析】由是偶函数，知函数的图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称，所以函数与函数图象的交点也关于直线对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为.故选：B.变式29．（2026·高一·陕西西安·期中）已知函数图像关于点中心对称，若函数与图像的交点为,，…，，则（

）A．0 B．m C．2m D．3m【答案】B【解析】由，函数对称中心也为，故函数与图像的交点总是成对出现，设每一对对称点为，，，共有对点，则有，，故故答案为B变式30．（2026·河北雄安·三模）函数的图象的对称中心为________．【答案】【解析】设函数的图象的对称中心为，则有，即，整理得，则有，解得，故函数的图象的对称中心为.

1．已知函数，，则（）A．是奇函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【答案】C【解析】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数，函数的定义域为，所以，则是偶函数，A选项，对于函数，定义域为，，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误；B选项，对于函数，定义域为，，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误；C选项，对于函数，定义域为，，则是奇函数，C正确；D选项，对于函数，定义域为，，则是偶函数，D错误．2．（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，，可得.3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称，为偶函数，的图象关于对称，即，若，则，可得，而，化简得，周期，而任取，，在上单调递减，为偶函数，在上单调递增，函数图象关于点对称，故在上单调递增，在上单调递减，则，，，因为，所以．4．（2026·高三·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象关于点对称，则函数的图象关于原点对称，即，从而等价于，即由函数在定义域上单调递减，则，解得.5．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若函数是偶函数，则实数（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】函数的定义域为.由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立，因此，即．方法二：函数的对称轴为.因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以.当时，，定义域为R，且满足，是偶函数.因此，.6．（2026·江西赣州·二模）设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由是偶函数可知，又满足，则.7．（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，可知函数为上的偶函数，．因为在上单调递增，时，，所以在上单调递增，在上单调递减．不等式可化为，所以，解得或．8．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则（

）A． B．C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减【答案】ACD【解析】对于A，函数的定义域为，因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，此时，，是奇函数，A正确；对于B，，当时，，因为函数为奇函数，所以当时，，所以或，B错误；对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确；对于D，任取，则，所以,所以在区间上单调递减，故D正确.9．（多选题）（2026·高一·福建厦门·期中）已知函数，以下结论正确的有（

）A．为奇函数B．对任意的，，都有C．的值域是D．对任意的都有【答案】ABC【解析】对于A，，所以函数为奇函数，故A正确；对于B，当时，，由反比例函数性质可知，函数在上为增函数，且，又为上的奇函数，函数在上为增函数，在上单调递增，对任意的，，都有，故B正确；对于C，当时，，函数在上为增函数，在上的值域为；当时，，函数在上为增函数，在上的值域为，综上所述，的值域是，故C正确；对于D，令，则，，，即，故D不正确.10．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在上函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，有；③．则下列选项成立的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．，，使得【答案】ACD【解析】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，所以，故A对，若，则，得，故B错，若，则或，因为，所以或，故C正确，因为定义在上函数的图像是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确，故选：ACD．11．（2026·高一·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则______．【答案】4【解析】是定义在上的奇函数，则有，，设，函数定义域为，，为奇函数，则有，即，所以.故答案为：4.12．（2026·高一·河南许昌·阶段检测）已知函数，若，则______.【答案】【解析】当时，，所以，解得：，故答案为：13．（2026·高一·云南昆明·期中）已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______.【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称.又在上单调递增，则在区间上也单调递增.当时，，对称轴为；当时，的图象开口向下，且，此时在区间上单调递减，不合题意，所以，解得，所以的取值范围是.14．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______【答案】【解析】因为定义在R上的函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递减，且的定义域为R，又函数为偶函数，则，所以的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增，因为，则，根据已知区间单调性和对称性：时，或时，所以由得或，解得或，则不等式的解集是.15．（2026·高一·四川内江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，．(1)求；(2)求出函数在上的解析式；【解析】（1）因函数是定义域为的奇函数，则；（2）因为函数是定义域为的奇函数，所以；当时，，，又是奇函数，所以．综上，.16．定义在上的函数是单调函数，满足，且，.(1)求，；(2)判断的奇偶性，并证明；【解析】（1）取，得，即，所以，因为，又，得，可得；（2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称，取，得，移项得，所以函数是奇函数.17．（2026·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题：(1)直接写出函数的对称中心；(2)证明：函数的对称中心为；(3)若函数的对称中心为，求实数、的值.【解析】（1）函数的对称中心为.验证如下：因为函数，定义域，即定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，即函数的对称中心为.（2）证明：记，定义域为R，即定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，所以的对称中心为.（3），令，因为是奇函数，所以，即，整理得，进而得，解得或.因为时，函数的定义域为x≠,不关于对称，故