微积分第六版 课件 第1-4章 函数- 中值定理与导数的应用

1微积分2在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的卓越胜利了（恩格斯）3同时发明了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。

微积分(Calculus)是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹4第一章函数第一章函数5一集合的概念第一节集合把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待时，这个整体便称为是一个集合。组成集合的那些个体称为集合的元素。下面举几个集合的例子。例1

26个英文字母。

例2例3全体偶数。

例46集合的确定性：某个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，二者必居其一且只居其一。通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。如果a是集合A的元素，则记作a

A，读作a属于A；如果a不是集合A的元素，则记作

a

A，读作a不属于A。由有限个元素构成的集合称为有限集，如例1、例2；由无限多个元素构成的集合称为无限集，如例3、例4

。“很小的数”，“全体好学生”，不构成集合。7常见数集的记号：

自然数集整数集有理数集正整数集实数集例如：2Î

N，2.5

N，-3

N，2.5Î

Q，-3ÎZ。

二集合的表示法通常集合的表示有两种方法：

(1)列举法：按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内，元素之间用逗号隔开。(2)描述法：给定一个条件

P(x)，当且仅当元素

a

使P(a)成立时，aÎ

A。其一般形式为A={a|P(a)}。例如上述集合B={a|aÎ

N且4

a

8}又如例如：A={2,a,b,

9},B={4,5,6,7,8}9几点说明：1、集合中的元素互异；2、集合中的元素无次序和大小之分；4、集合中的元素不一定同类；5、集合中的元素也可以是集合。3、集合中的元素是确定的，即可以判断其是否属于某一集合；{清华大学全体高个子}？例如：{1，A，COMPUTER，浙江}10BA集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称为文氏图。文氏图是用一个平面区域表示一个集合，如下图所示。集合内的元素用区域内的点表示。BAU11三全集与空集不含任何元素的集合称为空集，记为Ø。在研究某一问题时，如果所讨论的集合都是某一集合的子集，则称此集合为全集，记作U.在欧几里得几何中，平面上两条平行线的交点集合为空集。12四子集如果集合A的元素也是集合B的元素，则称B包含A，或称A是B的子集，记作：如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作BA如果集合A和B互相包含，即A

B且B

A，则称A和B的相等，记作A

=B。13

关于子集有下列结论：

14五集合的运算1、并集例如，则基本性质：BAU152、交集例如，则基本性质：BAU16例14

设A={1，2，3，4}，B={3,4,5,6}，则例15例16

设A为某外贸公司会英语的人的集合，B为会日语的人的集合，则17例17AB183、差集例如，R-

Q表示全体无理数组成的集合。基本性质：BAUABU例194、补集其中U为全集。例如，则基本性质：AU例20设参加考试的学生为全集U，A表示及格的学生集合，20集合元素的计数问题：定义集合A中所含元素的个数称为集合A的基数，记作|A|。

容斥原理：设A,B

为有限集，则特别，如果(称为分离的)则21例21某地区有100家智能制造工厂，其中，80家工厂生产甲种高端智能机床，以集合A表示这些工厂；61家工厂生产乙种高端智能机床，以集合B表示这些工厂；55个两种高端智能机床都生产。试用集合表示下列各类工厂，并计算出各类工厂的数目：(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂；(2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；(3)甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂；(4)甲、乙两种机床都不生产的工厂。22解23六集合运算律交换律：结合律：分配律：摩根律：24例1

证明摩根律证明25例1

证明摩根律或证26例22利用集合运算律证明证明：由分配律(I)可知27七

集合的笛卡尔乘积

定义28定义例23例2429例25

设R为实数集，则笛卡尔直角坐标系的坐标平面可记作例26它表示平面直角坐标系中一个矩形区域：30类似地，可以定义

例27

31第二节实数集一实数与数轴实数有理数无理数整数分数(无限不循环小数)正整数零负整数实数与数轴上的点是一一对应的。有理数:其中p,q为既约整数,且数轴32二绝对值设x为一实数，则其绝对值定义为几何意义：|x|表示数轴上点x(不论x在原点左边还是右边

)到原点的距离。|a

-

b|表示数轴上两点a和b之间的距离。33绝对值的基本性质：34另外：35三区间开区间闭区间设a,b为实数，且a<b36左开右闭区间左闭右开区间37无限区间38四邻域记作39记作

课外练习4041第三节函数关系二函数关系集合D称为函数的定义域，也可记为D(f).42注意：例如，是定义在R上的一个函数，它的值域是43判断下列各对函数是否相同？

不同(定义域不同)不同(对应规则不同)相同不同(定义域不同)=|

x

|确定函数的两要素：定义域和对应规则。44函数表示:常用表格法、图形法和解析法来表示.例1

某城市一年中某种商品各月的销售量(单位：吨)如下表所示上表表示了该城市某种商品销售量s随月份t变化的函数关系.该函数关系是用表格表示的，定义域为D={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}45例2

某河道的一个断面图如下图所示，其深度y与岸边一点O到测量点的距离x之间的对应关系由下图中的曲线表示.这里深度y是测距x的函数，该函数关系是用图形表示的，其定义域为D=[0,b]46

47三函数记号

48

解：

49

解：

解：50

解：

51四函数的定义域定义域的确定：(1)根据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值。如何求函数的自然定义域？(a)分式的分母不等于零；

(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；

(c)对数的真数应大于零；

(e)若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集。52例8

求下列函数的(自然)定义域。

因此，函数的定义域为解即定义域为53因此，函数的定义域为54五隐函数但有时不易或不能显化，如Kepler方程：两个分支，多值函数。55第四节分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。注意：分段函数在其定义域内表示一个函数，而不是几个函数。56常见的分段函数：1)绝对值函数572)符号函数583)取整函数y

=

[x][x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo1234594)正部函数(也称ReLU函数)该函数刻画了一种典型的阈值机制：输入未达临界值时输出为零，超过临界值后为线性增长.60例9解61例10解62第五节建立函数关系的例题例1某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买不超过20公斤，每公斤10元；购买不超过200公斤，其中超过20公斤的部分，每公斤7元；购买超过200公斤的部分，每公斤5元。试写出购买量为x公斤的费用函数C(x).

解63例2

某智慧工厂A与铁路的垂直距离为a公里，它的垂足B到火车站C的铁路长为b公里，工厂的产品必须经火车站C才能转销外地。已知汽车运费是m元/吨公里，火车运费是n元/吨公里(m>n),为使运费最省，想在铁路上另修一小站M作为转运站，那么运费的多少决定于M的地点。试将运费表示为距离|BM|的函数。BMCA

b

x

a设|BM|=x，运费为y。其定义域为[0,b]。解根据题意，有于是64例3设某工厂生产某型号车床，年产量为a台，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半。设每年每台库存费为c元。试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系。设批量为x，库存费与生产准备费的和为P(x)。定义域为(0,a]中a的正整数因子。

每年生产的批数为

a/x,每年生产准备费为

b·a/x,解每年平均库存量为

x/2,每年库存费为

c·x/2,因此65例4

某工厂生产某产品，每日最多生产100单位。它的日固定成本为130元，生产一个单位产品的可变成本为6元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。解

设日总成本为C，平均单位成本为`C，日产量为x.

由于日总成本为固定成本与可变成本之和。根据题意，日总成本函数为

C=C(x)=130+6x，D(C)=[0,100]；平均单位成本函数为66例5某品牌手机定价为2800元，每月售出6000部。降价期间，每部优惠200元，每月销量上升400部。请据此求该品牌手机需求对价格的线性函数。

解设需求对价格的线性函数关系为

（Q为需求，p为价格，a,b为常数）

67例6某企业生产防雾霾口罩，生产每只口罩的单位成本为16元，每天的固定成本为3000元，设每只口罩的出厂价为22元，该企业每天至少生产多少只口罩才能盈利？

解设每天口罩产量为

x，由题意，

即每天至少生产500只以上的口罩，企业才能盈利。68第六节函数的几种简单性质一函数的奇偶性偶函数偶函数的图形关于y轴对称。yxox-x

69奇函数

奇函数的图形关于原点对称。yxox-x

70例1判断下列函数的奇偶性：

偶函数非奇非偶偶函数奇函数奇函数奇函数71解所以f(x)为奇函数。例272例3是偶函数；而是奇函数。证明是容易的。由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：73二函数的周期性(通常周期函数的周期是指其最小正周期).注意：并非任意周期函数都有最小正周期。74例4

证：75三函数的单调性76

注意：有教科书中称单调增加(减少)为严格单调增加(减少)，称单调不减(不增)为单调增加(减少).77例如,函数y=x

3在(-

,+

)内单调增加。函数

y

=

x

2

在(-

,0)内单调减少；在(0,+

)内单调增加。

78四函数的有界性M-Mba

79因为存在

M

=1，使对任意x

(-

,+

)，有|sinx|

1，所以y=sinx是(-

,+

)内的有界函数。例如，y

=sinx有界吗?80解例581第七节反函数与复合函数一反函数定义

设函数y=f

(x)的定义域为D(f)，值域为Z(f).如果对于每个y

Z(f)，存在唯一的x

D，使f

(x)=y，则称x是一个定义在Z(f)

上的函数，称为

y=f

(x)的反函数，记为x=f–1(

y

)。此时也称函数y

=f

(x)与函数x

=f–1(y)互为反函数.

8283将x与y互换，就得所求反函数为例1

求y

=

3x

–1的反函数。解84例如，在(-

,+

)内，y

=

x2

不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系.

在(0,+

)内y

=

x2有反函数

在(-

,0)内，y

=

x2有反函数

x-x

y85例2解86二复合函数87注意复合次序：

复合可以多次进行。例89例的复合。例5三个函数的复合。重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合运算或四则运算。90第八节初等函数基本初等函数：1、常数函数

常函数的定义域为(-

,+

)，图形为平行于x轴,在y轴上截距为C的直线。

91

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2、幂函数92

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2、幂函数93

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2、幂函数94

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2、幂函数95

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2、幂函数963、指数函数

定义域为(-

,+

)，值域为(0,+

)，都通过点(0,1),当a>1时，函数单调增加；当0<a<1时，函数单调减少。974、对数函数

对数函数是指数函数y=ax的反函数,定义域为(0,+

),图形通过(1,0)点,当a>1时,函数单调增加；当0<a<1时,函数单调减少。98正弦函数余弦函数

y

=

sinx与y

=

cosx的定义域均为(-

,+

)，均以2p为周期。y

=

sinx为奇函数，y

=

cosx为偶函数。它们都是有界函数。5、三角函数99定义域:x

(2n+1)p/2。周期:p。奇函数。正切函数定义域:x

np。周期:p。奇函数。余切函数100正割函数101余割函数102正弦函数反正弦函数6、反三角函数103正弦函数定义域：值域：单调增加函数；奇函数.反正弦函数6、反三角函数104余弦函数反余弦函数105余弦函数定义域：值域：单调减少函数；非奇非偶.反余弦函数106正切函数反正切函数xy定义域：值域：单调增加函数；奇函数.107余切函数反余切函数xy定义域：值域：单调减少函数；非奇非偶.108反三角函数的基本性质:（了解）109反三角函数值的确定:（了解）求arcsinx值的方法：

110例求下列各反三角函数的值：（了解）111由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为初等函数.例如，激活函数(Sigmoid函数)本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.初等函数：112由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为初等函数.例如，激活函数(Sigmoid函数)本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.初等函数：113

114ENDEND115对数的基本性质：换底公式对数恒等式补充内容：116常用三角函数关系式1、同角三角函数的基本关系式倒数关系：

商关系：

平方关系：

1172、两角和与差的公式：3、倍角公式：1184、半角公式：根号前的符号由半角所在像限来决定.1195、积化和差公式：6、和差化积公式：1217、万能公式：1228、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”例如：

等等。极限与连续123第二章124在16

~

17世纪，随着生产实践和科学技术的发展，迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线的切线，确定物体运动的速度，计算平面曲边图形的面积和空间中表面弯曲的立体的体积等.在这些问题面前，初等数学的概念和方法已无能为力，急切要求数学突破研究常量的传统，提供能用以描述和处理运动及变化过程的新理论和新方法——变量数学，而微积分作为变量数学的主体，随之而生。

极限的理论和方法是阐述微积分的概念和方法的工具，是整个微积分学的理论基础。125本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极其有用的重要极限。随后，运用极限引入了函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要是连续函数。第一节数列的极限126一数列定义2.1

一个定义在正整数集合上的函数

127

128

我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。二数列的极限现代学者王能超教授在其著作《刘徽数学“割圆术”——奇效的刘徽外推》中系统阐释了刘徽方法的数学内涵,并指出其与近代数值分析中的外推算法存在深刻的内在联系,彰显了中国古代数学的前瞻性与现代价值.129

三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的面积就无限接近于圆的面积.“割圆术”

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.130“割圆术”计算圆的面积：正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积刘徽首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π≈157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π≈3927/1250=3.1416，称为“徽率”。祖率约率22/7，密率355/113355/113≈3131

132定义2.2

133

以数列(1)为例:

134

135如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义2.3总存在正整数N,

不等式记为或如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),136例5证注意：极限的定义只能用来验证某常数是否为某数列的极限，而不能用来计算极限。

137第二节函数的极限138定性描述:具体解释:139定义2.4

或如果对于任意给定的正数

ε(不论它多么小),

140例1证141例2证

142例3

143具体解释：144例4145综上：

定义的精确描述：1463.几何解释:说明：147证例5148证例6149证得证。例三左极限与右极限150

151

152

左极限和右极限统称为函数在某点的单侧极限.153解左右极限存在但不相等,例7四关于函数极限的定理154解左右极限存在且相等,例8155练习设解156157158第三节变量的极限

下面可给出一般变量的极限的统一定义.

159

例160证：例1

161

说明：“在某时刻之后”可以指数列当中的n大于某个正整数之后，也可指函数中的x在某个固定点的邻域之内或着|x|大于某个正数之后.162定理2.4证：

一无穷大量163第四节无穷大量和无穷小量

164精确描述:

165

例子二无穷小量166

167注意：1.无穷小量是变量,不能与绝对值很小的数混为一谈;3.称某函数是无穷小量,必须指明自变量的变化过程.2.零是唯一可以作为无穷小量的数；168无穷小量和极限的关系

证：先看必要性充分性:留作练习.169

证：170推论：常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.例4解171三无穷小量与无穷大量的关系

证：四无穷小量的阶172观察每个图形在接近零的过程中,快慢程度不同.173如何更准确刻画趋向于零的快慢程度？当然，快慢是相对的，是相互比较而言的.从极限角度来看：174定义2.11设α,β是同一过程中的两个无穷小量，第五节极限的运算法则175

证176推论:两个无穷小量的代数和仍是无穷小量.177推论1两个无穷小量的乘积仍是无穷小量.

推论2

常数因子可以提到极限符号外面,即推论3

如果n是正整数,则有此外:后面也可以证明,如果n是正整数,则178

例1179例2注意:如果分母的极限为零,则不能直接运用上述方法.180解例3181解例4消零因子法182有理化方法解例5183例6解184例7.1解“抓大头”法解例7.2185解例8“抓大头法”例9解(方法同例3)186总结例7-例9：187练习1练习2188有理化方法解例10189练习思考：190解变量代换法

练习191例11解192解

第六节两个重要极限193一极限存在的准则

证194例1解说明:该定理也称作夹逼定理或两边夹定理,可帮助计算一些函数或数列的极限.195例2解196例3解由定理2.11得197判定数列极限存在的准则198定理2.12(准则II)定理2.12的几何解释：199二两个重要极限200xy1201证202此外，对一切实数x成立，等号当且仅当x=0时成立。补充基本不等式：等号当且仅当x=0时成立。203于是204例4解205例5解206例5解207分析：e极限/graphing/kqygxjww从图表看出:该数列的变化趋势是稳定的,极限存在.208严格证明：209比较两个展式的各项,可知210211以e为底的对数称为自然对数，

可以证明，相应的函数极限有

或

212213例7解“凑重要极限”法练习214例8解练习215例9分析:补充命题:(后续可以证明)216解:217练习解练习解原式218假设我们考虑1年定期存款，利率为100%，初始存款(称为本金)为1元。利率设为100%仅仅是为了便于计算，我们完全可以将其推广到真实的利率，例如5％。若一年结算一次，则年终时本利和为(1+100%)1

=

2元；若半年结算一次，利率降为50%，则年终时本利和为(1+50%)2

=

2.25

元；若每月结算一次，则年终时本利和为(1+1/12)12

=

2.61303529

元；若每天结算一次，则年终时本利和为(1+1/365)365

=

2.714567

元；三复利和贴现问题219每天结算一次：(1+1/365)365

=

2.714567

元；可以想见，若复利一次的时间再细分下去，这个数值会越来越大。问题是，我们的钱会无限增多吗？答案是否定的。随着

n

的增大，(1+1/n)n的值虽然不断增大，但增大的速度却变得越来越慢。前面已证，当

n

的无限增大时，(1+1/n)n

的极限就是无理数e。每小时结算一次：(1+1/8760)8760

=

2.718128

元；每分钟结算一次：(1+1/525600)525600

=2.718279元；每秒结算一次：(1+1/31536000)31536000

=

2.7182817元；220

一般情形

221若计息次数m趋于无穷大，即利息随时计入本金(称为连续复利)，则t年末的本利和为222已知现值求将来值，称为复利问题；已知将来值求现值，称为贴现问题.公式(2.13)在生物医学、经济等领域都有重要应用.223例10某科技公司计划发行一种5年零息债券,每份债券在到期日(即第5年年末)一次性兑付1万元.假设当前市场年利率为4.5%,按连续复利计息.为使投资者获得与市场一致的回报率，该公司当前每份债券应如何定价？解零息债券不支付中间利息,仅在到期日一次性支付面值1万元,该金额为连续复利下的将来值.该问题即是由将来值计算现值.

即该公司当前每份债券的公平价格应约为7985元.第七节利用等价无穷小量代换求极限224定理2.13(等价无穷小替换定理)证225只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意:在其他极限运算中不能替换！定理应用:在计算与无穷小量相关的极限时,可利用其等价无穷小量,简化极限计算过程.226常用等价无穷小量：227例1解

228例2解229例3解解错强调:加减项里的无穷小量不能随意替换.230例4解231练习解练习解232练习解课后练习233计算极限：234解答：分离非零因子

235解答：236解答：第八节函数的连续性237一函数改变量

注意：改变量可以是正值也可以是负值.

238

解二函数连续的概念239引例：街头有一卖苹果的小贩，声称“5斤以内10元一斤，5斤以上8元一斤”。有两个顾客，一个人买5斤，花费50元；一个人买6斤，花费48元。买的多的反而花钱少，这是怎么回事？240函数在一点处连续的定义241

例2

证明函数y=x2在给定点x0处连续。所以y=x2在给定点x0处连续。

242下面给出函数连续的定义的另一种等价形式.如果

补充概念:单侧连续243命题244练习解即不右连续也不左连续,x

y-11O245练习解连续区间与连续函数246注意:247例3证248从几何上看,连续函数的图形是一条连续不间断的曲线,如函数的图形.连续性质的应用：这一应用可帮助证明前面幂指函数的极限计算公式.三函数的间断点249

考察以下函数在x=0或x=1处的连续性.在x=0属于情形(1)，间断在x=1属于情形(2)，间断251以上四个函数在x=0处都间断,但情况各有不同.在x=1属于情形(3)，间断在x=0属于情形(1)，间断252间断点的类型：253第一类间断点又可分为以下两种类型:254例8

讨论函数解255例8xy1函数256例9解257例10解第二类间断点的类型

258例7解这种情况称为振荡型间断点。259解例11260解例11261解练习262解所以即练习四连续函数的运算法则263定理2.14264所有基本初等函数在其定义区间内都是连续函数,一般的初等函数在其定义区间内都是连续函数.结论：五闭区间上连续函数的性质265266267注意：1.若区间是开区间,三个定理不一定成立;2.若区间内有间断点,三个定理不一定成立.268证例12可计算出由于三次方程最多只有三个实根，所以各区间内只存在一个实根。练习269证且有

异号，

六利用函数连续性求函数极限270根据函数连续性的定义及初等函数的连续性,我们可以方便地求初等函数的极限。例10解所以连续，因此初等函数求极限的方法：代入法.271例11解由单侧极限与极限的关系，可知272例12解对数换底公式273例13解类似可得274例14解等价无穷小替换END275END276第六节两个重要极限一极限存在的准则

证277例1解说明:该定理也称作夹逼定理或两边夹定理,可帮助计算一些函数或数列的极限.278例2解279例3解由定理2.11得280判定数列极限存在的准则281定理2.12(准则II)定理2.12的几何解释：282283二两个重要极限xy1284证285此外，对一切实数x成立，等号当且仅当x=0时成立。补充基本不等式：等号当且仅当x=0时成立。286于是287例4解288例5解289例5解290分析：e极限/graphing/kqygxjww从图表看出:该数列的变化趋势是稳定的,极限存在.291严格证明：292比较两个展式的各项,可知293294以e为底的对数称为自然对数，

可以证明，相应的函数极限有

或

295296例7解“凑重要极限”法练习297例8解练习298例9分析:补充命题:(后续可以证明)299解:300练习解练习解原式301假设我们考虑1年定期存款，利率为100%，初始存款(称为本金)为1元。利率设为100%仅仅是为了便于计算，我们完全可以将其推广到真实的利率，例如5％。若一年结算一次，则年终时本利和为(1+100%)1

=

2元；若半年结算一次，利率降为50%，则年终时本利和为(1+50%)2

=

2.25

元；若每月结算一次，则年终时本利和为(1+1/12)12

=

2.61303529

元；若每天结算一次，则年终时本利和为(1+1/365)365

=

2.714567

元；三复利和贴现问题302每天结算一次：(1+1/365)365

=

2.714567

元；可以想见，若复利一次的时间再细分下去，这个数值会越来越大。问题是，我们的钱会无限增多吗？答案是否定的。随着

n

的增大，(1+1/n)n的值虽然不断增大，但增大的速度却变得越来越慢。前面已证，当

n

的无限增大时，(1+1/n)n

的极限就是无理数e。每小时结算一次：(1+1/8760)8760

=

2.718128

元；每分钟结算一次：(1+1/525600)525600

=2.718279元；每秒结算一次：(1+1/31536000)31536000

=

2.7182817元；303

一般情形

304若计息次数m趋于无穷大，即利息随时计入本金(称为连续复利)，则t年末的本利和为305已知现值求将来值，称为复利问题；已知将来值求现值，称为贴现问题.公式(2.13)在生物医学、经济等领域都有重要应用.306例10某科技公司计划发行一种5年零息债券,每份债券在到期日(即第5年年末)一次性兑付1万元.假设当前市场年利率为4.5%,按连续复利计息.为使投资者获得与市场一致的回报率，该公司当前每份债券应如何定价？解零息债券不支付中间利息,仅在到期日一次性支付面值1万元,该金额为连续复利下的将来值.该问题即是由将来值计算现值.

即该公司当前每份债券的公平价格应约为7985元.307第七节利用等价无穷小量代换求极限定理2.13(等价无穷小替换定理)证308只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意:在其他极限运算中不能替换！定理应用:在计算与无穷小量相关的极限时,可利用其等价无穷小量,简化极限计算过程.309常用等价无穷小量：310例1解

311例2解312例3解解错强调:加减项里的无穷小量不能随意替换.313例4解314练习解练习解315练习解316课后练习计算极限：317解答：分离非零因子

318解答：319解答：320第八节函数的连续性一函数改变量

注意：改变量可以是正值也可以是负值.

321

解322二函数连续的概念引例：街头有一卖苹果的小贩，声称“5斤以内10元一斤，5斤以上8元一斤”。有两个顾客，一个人买5斤，花费50元；一个人买6斤，花费48元。买的多的反而花钱少，这是怎么回事？323函数在一点处连续的定义324

例2

证明函数y=x2在给定点x0处连续。所以y=x2在给定点x0处连续。

325下面给出函数连续的定义的另一种等价形式.如果

326补充概念:单侧连续命题327练习解即不右连续也不左连续,x

y-11O328练习解329连续区间与连续函数注意:330例3证331从几何上看,连续函数的图形是一条连续不间断的曲线,如函数的图形.连续性质的应用：这一应用可帮助证明前面幂指函数的极限计算公式.332三函数的间断点

考察以下函数在x=0或x=1处的连续性.在x=0属于情形(1)，间断在x=1属于情形(2)，间断334以上四个函数在x=0处都间断,但情况各有不同.在x=1属于情形(3)，间断在x=0属于情形(1)，间断335间断点的类型：336第一类间断点又可分为以下两种类型:337例8

讨论函数解338例8xy1函数339例9解340例10解第二类间断点的类型

341例7解这种情况称为振荡型间断点。342解例11343解例11344解练习345解所以即练习346四连续函数的运算法则定理2.14347所有基本初等函数在其定义区间内都是连续函数,一般的初等函数在其定义区间内都是连续函数.结论：348五闭区间上连续函数的性质349350注意：1.若区间是开区间,三个定理不一定成立;2.若区间内有间断点,三个定理不一定成立.351证例12可计算出由于三次方程最多只有三个实根，所以各区间内只存在一个实根。352练习证且有

异号，

353六利用函数连续性求函数极限根据函数连续性的定义及初等函数的连续性,我们可以方便地求初等函数的极限。例10解所以连续，因此初等函数求极限的方法：代入法.354例11解由单侧极限与极限的关系，可知355例12解对数换底公式356例13解类似可得357例14解等价无穷小替换358ENDEND微分中值定理与导数的应用第四章359第一节中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。

微分中值定理是微分学中的核心成果之一,深刻揭示了函数的局部变化率与其整体行为之间的内在联系.它不仅建立了导数与函数增量之间的定量关系,为微分学提供了关键的理论支撑,而且是研究函数单调性、极值、凹凸性以及推导泰勒公式等后续内容的重要基础.此外,微分中值定理在不等式证明、方程根的存在性分析、误差估计及物理运动学等诸多领域均有广泛应用,充分体现了微积分“以局部推知整体”的思想精髓.360(0)预备定理——费马(Fermat)定理几何解释：曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是水平的。361证明:由极限的保号性，362363一

罗尔中值定理xO

yCxby=f

(x)AB几何解释：如果连续光滑的曲线y=f

(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线是水平的。a364证由费马引理,见定理2.16365注意：

f

(x)不满足条件(1)

f

(x)不满足条件(3)

f

(x)不满足条件(2)BxO

yAabxO

yABabcxO

yABab

如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。366例1解367例2解368练习解369练习证结论得证.

370证练习由罗尔定理，371

如果函数f

(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点x

(a,b)内，使得二

拉格朗日(Lagrange)中值定理或372几何意义：

C2hxO

yABaby=f(x)C1x373分析374375证明作辅助函数

由罗尔定理，376注：拉格朗日中值公式又称有限增量公式.特别地,377证推论1378证推论2379解例3380解例4即381解例5即382解练习下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理定理的条件？如果满足，求出定理中的ξ。满足拉格朗日中值定理的条件；383练习证由推论1知,384利用拉格朗日定理证明不等式练习证385练习证由上式得386三

柯西(Cauchy)中值定理设函数f

(x)及g

(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g

(x)均不为0，则至少存在一点x

(a,b)内，使得2、如果取

g(x)

x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：387xO

yAB

f(b)

f(a)g(a)g(b)C1g(x)C2g(h)柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为388证明作辅助函数

389因此，至少存在一点x

(a,b)，使390练习证验证了柯西中值定理的正确性。391练习证392练习证393练习：证右端改为令394令代入上式得395第二节洛必达法则

在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小或同是无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在，或这一节我们利用中值定理推导出一个求未定式极限的法则———洛必达法则.396定理4.1（洛必达法则）则必有证397证定理条件:

398注1定理中可换为注2理的条件，则洛必达法则399400例1解例2解401例3解例4解402例5解403例6解此式振荡无极限,故洛必达法则失效,不能使用.

但（无穷小乘以有界变量）

原极限存在.404练习练习练习比较:因式分解，405练习注1：洛必达法则可多次使用.不是未定式！注2：不是未定式，不能使用洛必达法则！406练习“过犹不及”！407练习比较：等价无穷小替换408练习409练习及时分离非零因子

410练习求下列极限：解或解等价无穷小替换411定理4.2

(证略)

型未定式412注：413例7或解：及时分离非零因子

解414例8解415例9解例10解416练习练习417注意：2.洛必达法则可多次使用，但每次使用前需验证条件；只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法。

3.使用洛必达法则时，要灵活结合其它方法，如等价无穷小替换、凑重要极限、恒等变形、换元等.

418练习解洛必达法则失效。练习不能使用洛必达法则。解极限不存在？？419其他类型的未定式解法：转化为或型不定式。420例11步骤：解421练习422解练习423例12步骤:解424练习425步骤:426例13或解(凑重要极限法)：

解427例14解428例15解429注430例16解431例17解432例18解433练习解分离非零因子等价无穷小替换434练习解所以435分析

这是数列极限,不能直接使用洛必达法则,要先化为函数极限.练习436解练习437解练习凑重要极限438解等价无穷小替换

练习：439解练习：440第三节函数的单调增减性观察与思考：函数单调增加函数单调减少

函数的单调性与导数的符号有什么关系？441函数单调增加时导数大于零；观察结果：函数单调增加函数单调减少函数单调减少时导数小于零。第三节函数的单调增减性442443定理4.3证444445导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。注意：区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,称驻点方法：用驻点及不可导点来划分函数的定义域，然后逐段判断导数的符号，从而确定函数的增减。446例1解所以，447例2解448证所以，例3注：可利用函数的单调性证明不等式449练习解450也可用列表的方式，练习解451练习解452练习证453练习证则454第四节函数的极值455定义4.1456函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.说明：1、极值不一定存在；2、极值必在定义区间的内部取到；3、极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大。457x

yO无极值458459定理4.4(极值的必要条件)由费马引理可知，所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。

注：（1）反之不然，驻点不一定是极值点.x

yO460（2）不可导点如果函数连续,也可能是极值点,

x

yO但函数的不可导点也不一定是极值点，

x

yO461

这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.

我们把驻点和不可导点统称为极值可疑点.

下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点.

但是,

驻点或导数不存在的点不一定就是函数的极值点.462定理4.5(极值的第一充分条件)463一阶导数变号法证464证465解例1(-

,-1)-1(-1,1/5)1/5(1/5,1)1(1,+

)xy极大值非极值极小值递增递增递减递增000466例2解列表讨论：极大值极小值467练习解注意定义域！导数左负右正，468练习解x

yO2131469练习解减少减少增加间断极小值e无470定理4.6(极值的第二充分判别法)称为“二阶导数非零法”证471xyOxyO(1)记忆：几何直观；

说明：(2)此法只适用于驻点，不能用于判断不可导点；

证472例3解473练习解474练习解法一列表讨论极大值极小值475练习解法二476(1)确定函数的定义域；

(4)用极值的第一或第二充分条件判定.注意第二充分条件只能判定驻点的情形.

求极值的步骤：(3)求定义域内部的极值可疑点(即驻点或一阶导数不存在的点)；

477第五节最大值与最小值，

极值的应用问题一

最大值和最小值478注意：极值是局部性的，而最值是全局性的。479最值具体求法：

480例1解比较函数值大小481482练习解计算比较得：483例2某公司要设计一款非遗文创物品包装盒,现将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长为多大时,所得方盒的容积最大?

设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a-2x,

解axa-2x

二

极值应用举例因此,方盒的容积为求导得484485例3某高校智能制造实验室承接了一项企业委托业务:为某食品品牌设计一款容积为V的圆柱形金属罐.在确保罐体容积满足要求的前提下,需使所用金属材料最少,以降低生产成本并提升资源利用效率.假设罐体由侧面和上下两个底面构成,且材料厚度均匀、接缝损耗忽略不计,请建立数学优化模型,并求出所用材料最省的底面半径r与高度h.hr解显然,要材料最省,就是要金属罐的总表面积最小.486解所以487例3

在1.5节的例2中,曾求得一年中库存费及生产准备费的和P(x)与每批产量x的函数关系为解其中,

a为年产量,

b为每批次的生产准备费,

c为每台产品(车床)的库存费.问在不考虑生产能力的条件下,每批生产多少台时,

P(x)最小?488489例5

某乡村振兴帮扶企业为助力山区农产品外销,生产特色农产品,每袋售价5元,当每周销量(单位:千袋)为Q时,周总成本为C(Q)=2400+4000Q+100Q2(元),设价格不变,求:(1)可以获得利润的销量范围;(2)每周销量为多少袋时,可以获得最大利润?解490当4<Q<6时,L>0,即可获得利润.解491练习某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的(即商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使准备费和库存费之和最小？

解设分x批生产,则生产准备费和库存费之和为得唯一驻点

(x

为1000000的正因子)492练习解利用最值证明不等式493练习解分析数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化为连续函数,再求导.

利用对数求导法,得

导数左正右负，494第六节曲线的凹凸性与拐点问题：如何研究曲线的弯曲方向?如上图所示的函数y=f(x)的图形在区间(a,b)内虽然一直是上升的,但却有不同的弯曲状况:从左向右,曲线先是向上弯曲,经过P点后,扭转了弯曲的方向,而向下弯曲.因此,研究函数图形时,考察它的弯曲方向以及扭转弯曲方向的点是很必要的.观察可发现：曲线向上弯曲的弧段位于该弧段上任意一点处的切线的上方,曲线向下弯曲的弧段位于该弧段上任意一点处的切线的下方.495定义4.2

如果在某区间内,曲线弧位于其上任意一点处的切线的上方,则称曲线在该区间内是凹的,如图4-16所示;如果在某区间内,曲线弧位于其上任意一点处的切线的下方,则称曲线在该区间内是凸的,如图4-17所示.图4-16496图4-17497定理4.7498定义4.3拐点凹凸499拐点的求法：1、找出二阶导数为零的点或不可导点；2、在点

x0

处一阶导数存在而二阶导数不存在;或者在点

x0

处函数连续而一、二阶导数都不存在时,若在点

x0

适当小的左、右邻域二阶导数存在且符号相反,则为拐点；注意：拐点要写出纵坐标。若同号则不是拐点。500例1解求导数,得下面列表说明曲线的凹凸性、拐点,凹凸凹拐点拐点501例2解凸凹拐点502例3解凹凸拐点503练习解x

yO504注意：二阶导数的零点不一定是拐点！505练习解凹凸凹拐点拐点506练习解所以曲线无拐点。507不存在拐点练习解非拐点508第七节函数图形的绘制一

曲线的渐近线定义4.4如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远处时,该点与某条直线的距离趋于0,则称此直线为曲线的渐近线.509(1)水平渐近线.510例1解因为所以y=0是曲线的一条水平渐近线.511例如有两条铅垂渐近线：(2)铅垂渐近线(垂直于x轴的渐近线)512例2解因为513(3)斜渐近线514斜渐近线求法：故515例3解516练习解517518练习解519二

绘制函数图形第一步第二步第三步第四步第五步第六步520例4解列表不存在拐点极小值点间断点凸凹凹凹521

C(-1,-2)，E(2,1)，D(1,6)，