2025~2026学年重点6二项分布、超几何分布与正态分布讲期中期末重难点攻略

2025~2026学年重点6二项分布、超几何分布与正态分布讲期中期末重难点攻略一、填空题1.在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动6次后，点在直线上的概率为________.二、单选题2.甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（）

A．B．C．D．3.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（）

A．质点回到原点的概率为；B．质点回到原点的概率为C．质点位于4的位置的概率为D．质点位于4的位置的概率是三、解答题4.某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分．已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响.(1)求小张同学成功晋级复赛的概率；(2)已知小张同学已晋级复赛.（i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率；（ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值.四、单选题5.重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（）

A．8B．7或8C．9D．8或9五、填空题6.机床是工业母机，是一切制造之母，五轴联动数控机床是最高端的数控机床之一．某企业用五轴联动数控机床生产的高精密零件的壁厚d（单位：）近似的服从正态分布，若时，高精密零件合格，从该企业生产的此高精密零件中随机抽取1个，则此高精密零件合格的概率约是____________，该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是，则最大时，____________．（参考数据：若，则，，）六、解答题7.某非遗传承工作室针对传统手工艺进行数字化复原测试，经技术测算：使用AI智能修复技术（甲方案）修复一张破损纹样的成功率为，使用人工精细修复技术（乙方案）修复一张破损纹样的成功率为．现组建3个测试样片组，每组包含4张待修复纹样，其中2张用甲方案修复，2张用乙方案修复．若某个样片组中，甲方案修复成功的张数超过乙方案修复成功的张数，则称该组为“智能组”．(1)求一个测试样片组为“智能组”的概率；(2)现观察3个这样的测试样片组，用X表示这3个组中“智能组”的个数，求X的分布列和数学期望．8.某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求的值；(2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.9.某工厂生产一种零件，其标准尺寸参数，计划生产每种尺寸零件的概率相等，实际生产过程中有10%的概率发生工艺缺陷，无缺陷时，生产出来的零件为标准尺寸，若发生工艺缺陷，则生产出来的零件尺寸会缩减为标准尺寸的一半，且每次生产过程独立进行．(1)连续生产10个该种零件，记有X个零件有工艺缺陷，求X最有可能的取值；(2)求实际生产一个零件的尺寸的分布列和期望．10.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码．(1)求的概率分布列，并求出数学期望；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？（其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．）11.近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：

时间年月年月年月年月年月月份代码销量千辆(1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在年1月份的销量；(2)该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？参考公式：．12.2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立．(1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．（i）为多少？（ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率．(2)在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？13.某学校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取5名同学去采集自然标本，设抽取的人中女生有名．(1)求抽取的人中至多有1名女生的概率．(2)设抽取的人中女生有名，求的分布列及数学期望．七、单选题14.一箱猕猴桃共个，其中烂果率低于.任取2个，恰有1个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为（）

A．4B．5C．6D．7八、解答题15.某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图.(1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数；(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望.16.某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：

企业ABCDEFG研发投入x（万元）3006009001200200028004000年度专利产出数y（件）357691011(1)现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”．（i）求条件概率的值（ii）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由；(2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列．九、单选题17.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（）

A．B．C．D．十、解答题18.为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为．(1)求的值；(2)若一次抽取3个城市，设取出小城市的个数为，求的分布列．十一、单选题19.已知随机变量，设随机变量，则（）

A．B．C．D．20.下列说法错误的是（）

A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为721.已知，随机变量，若，则的值为（）

A．B．C．D．22.已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（）

A．且B．且C．D．23.已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则（）

A．B．C．D．十二、多选题24.已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（）（注：若，则）

A．B．在上是增函数C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称十三、填空题25.一随机变量服从正态分布，则，_____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____.十四、单选题26.设随机变量，则（）

A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6十五、填空题27.随机变量服从正态分布，若，则________十六、解答题28.一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：

组别（支出费用）频数439(1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率；(2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上；（ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．附：若，则，．十七、填空题29.某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数）参考数据：若，则，十八、解答题30.某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“