小学六年级数学上册第三单元《分数除法》深度复习知识清单

小学六年级数学上册第三单元《分数除法》深度复习知识清单一、核心概念建构：倒数的本质与应用【基础】【重要】（一）倒数的定义与实质乘积为1的两个数互为倒数。【★倒数的定义是判断两个数是否互为倒数的唯一标准，即看它们的乘积是否等于1。】倒数不是孤立存在的，它表示的是两个数之间的一种相互关系，如同“朋友”关系，必须成对出现。我们不能孤立地说某个数是倒数，而必须说“谁是谁的倒数”。（二）求一个数的倒数的方法【高频考点】求一个数的倒数，核心策略是“变换分子与分母的位置”，但根据不同数的形式，具体方法有所区别：1、求一个分数的倒数：直接交换这个分数分子和分母的位置。例如，分数34\frac{3}{4}43​的倒数是43\frac{4}{3}34​。【易错点：如果分数不是最简形式，通常先化简再求倒数会更简便，但直接交换位置后化简也是可行的。】2、求一个整数（0除外）的倒数：先把整数看作分母是1的分数，即a1\frac{a}{1}1a​，再交换分子和分母的位置，得到1a\frac{1}{a}a1​。例如，5的倒数是15\frac{1}{5}51​。【★特别注意：1的倒数是它本身（因为1×1=11\times1=11×1=1），而0没有倒数，因为0不能作为分母，且任何数乘0都不可能等于1。】3、求一个带分数的倒数：先将带分数化为假分数，再交换分子和分母的位置。例如，123=531\frac{2}{3}=\frac{5}{3}132​=35​，其倒数为35\frac{3}{5}53​。【重要：不能直接将整数部分和分数部分分别取倒数，这是常见错误。】4、求一个小数的倒数：先将小数化为最简分数，再交换分子和分母的位置。例如，0.75=34\frac{3}{4}43​，其倒数为43\frac{4}{3}34​。（三）倒数性质的应用【难点】在代数运算或解方程中，若已知两个数互为倒数（即a×b=1a\timesb=1a×b=1），这个条件可用于简化计算。【典型考向】若aaa与bbb互为倒数，求a5÷4b\frac{a}{5}\div\frac{4}{b}5a​÷b4​的值。此类题需先将除法转化为乘法，再利用a×b=1a\timesb=1a×b=1进行整体代入求解。二、分数除法的运算法则与算理【基础】【核心】（一）分数除法的意义分数除法的意义与整数除法的意义完全相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。它是分数乘法的逆运算。【★通过这一意义，我们可以理解为什么分数除法可以转化为乘法计算。】（二）分数除法的计算法则【高频考点】【必考】除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示：a÷b=a×1ba\divb=a\times\frac{1}{b}a÷b=a×b1​（b≠0b\neq0b=0）对于分数除法，具体可分为以下几种情况：1、分数除以整数：如45÷3=45×13=415\frac{4}{5}\div3=\frac{4}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{15}54​÷3=54​×31​=154​。【★注意：被除数不变，除号变乘号，除数变成它的倒数。】2、整数除以分数：如8÷23=8×32=128\div\frac{2}{3}=8\times\frac{3}{2}=128÷32​=8×23​=12。【重要：整数可看作分母为1的分数，同样遵循“乘以倒数”的法则。】3、分数除以分数：如56÷512=56×125=2\frac{5}{6}\div\frac{5}{12}=\frac{5}{6}\times\frac{12}{5}=265​÷125​=65​×512​=2。【易错点：在转化过程中，被除数56\frac{5}{6}65​保持不变，只把除数512\frac{5}{12}125​变成它的倒数125\frac{12}{5}512​，切不可将被除数也取倒数。】（三）商与被除数的大小关系规律【难点】【热点】在不计算具体结果的情况下，我们可以根据除数的特征判断商与被除数的大小关系（被除数不为0）：1、当除数大于1时，商小于被除数。例如：6÷3=26\div3=26÷3=2，2<6。2、当除数小于1（且不等于0）时，商大于被除数。例如：6÷0.5=126\div0.5=126÷0.5=12，12>6。这相当于将被除数放大。3、当除数等于1时，商等于被除数。例如：6÷1=66\div1=66÷1=6。【★这一规律在估算和检验计算结果时非常实用，同时也是理解“除以一个小于1的数相当于乘以一个大于1的数”的直观体现。】三、分数四则混合运算【重要】【必考】（一）运算顺序【基础】分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序完全相同：1、同级运算：如果算式中只有乘除法或只有加减法，要按照从左到右的顺序依次计算。【★对于连除算式，如a÷b÷ca\divb\divca÷b÷c，可以转化为a×1b×1ca\times\frac{1}{b}\times\frac{1}{c}a×b1​×c1​进行计算，也可以运用性质a÷b÷c=a÷(b×c)a\divb\divc=a\div(b\timesc)a÷b÷c=a÷(b×c)（b,c≠0b,c\neq0b,c=0）。】2、两级运算：如果算式中既有加减法，又有乘除法，要先算乘除法，后算加减法。3、有括号的运算：如果算式中有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。【难点：中括号“[]”在分数混合运算中常用于改变运算顺序，计算时要分层进行。】（二）简便运算【高频考点】【难点】整数乘法的运算定律（乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）对于分数乘法同样适用。在进行分数除法混合运算时，通常先将算式中的除法全部转化为乘法，再运用运算定律进行简便计算。1、乘法分配律的应用：(a+b)×c=a×c+b×c(a+b)\timesc=a\timesc+b\timesc(a+b)×c=a×c+b×c，尤其是在分数除法中，如(79+56)÷118(\frac{7}{9}+\frac{5}{6})\div\frac{1}{18}(97​+65​)÷181​，应先转化为(79+56)×18(\frac{7}{9}+\frac{5}{6})\times18(97​+65​)×18，再运用分配律计算，避免先通分后除法的繁琐。2、提取公因数：在含有分数除法的算式中，若形式为a÷c±b÷ca\divc\pmb\divca÷c±b÷c，可转化为(a±b)÷c(a\pmb)\divc(a±b)÷c或(a±b)×1c(a\pmb)\times\frac{1}{c}(a±b)×c1​，使计算简化。（三）特殊数处理当算式中出现小数或带分数时，必须优先进行统一形式的转化：将小数化成分数，将带分数化成假分数，然后再按照分数四则混合运算的法则进行计算。【★规范步骤是计算准确性的重要保障。】四、分数除法解决问题【核心素养】【必考压轴题】（一）解决分数除法问题的核心：找准单位“1”【重中之重】单位“1”是分数应用题的灵魂。通常，在分率（带有几分之几的句子）中，“是”“比”“占”“相当于”后面的量，或者“的”字前面的量，就是单位“1”。【★易错点：学生常常找错单位“1”，导致乘除法混淆。】判断方法：读题时，先找出题目中的分率句，确定是将谁平均分，谁就是单位“1”。例如，“男生人数比女生多15\frac{1}{5}51​”，这里是将“女生人数”看作单位“1”。（二）分数除法问题的基本类型与解法【高频考点】1、类型一：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。【基础】数量关系：单位“1”的量×分率=分率对应量解法一（方程法）：设单位“1”的量为xxx，根据数量关系列方程求解。【★推荐：方程法思路直接，符合顺向思维，不易出错。】解法二（算术法）：分率对应量÷分率=单位“1”的量。【记忆口诀：已知部分求整体，对应量除以对应分率。】2、类型二：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。【难点】【热点】数量关系：单位“1”的量×(1±15)=已知量\{单位“1”的量}\times(1\pm\frac{1}{5})=\{已知量}单位“1”的量×(1±51​)=已知量解法：算术法：已知量÷（1±几分之几）=单位“1”的量。方程法：设单位“1”的量为xxx，则x±mnx=已知量x\pm\frac{m}{n}x=\{已知量}x±nm​x=已知量或x×(1±mn)=已知量x\times(1\pm\frac{m}{n})=\{已知量}x×(1±nm​)=已知量。【★易错点：分率前是“多几分之几”就用“1+几分之几”，是“少几分之几”就用“1几分之几”。】3、类型三：已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系（分数关系），求这两个数。【重要】解题策略：通常设单位“1”的量为xxx，然后用含有xxx的式子表示出另一个量，再根据它们的和或差列方程解答。【典型例题】果园里苹果树和梨树共360棵，苹果树的棵数是梨树的45\frac{4}{5}54​，求苹果树和梨树各多少棵？分析：这里把梨树棵数看作单位“1”，设梨树有xxx棵，则苹果树有45x\frac{4}{5}x54​x棵。列方程：x+45x=360x+\frac{4}{5}x=360x+54​x=360。（三）工程问题【拓展】【热点】工程问题是分数除法应用题的一种特殊形式，核心在于把工作总量看作单位“1”。基本数量关系：工作效率×工作时间=工作总量\{工作效率}\times\{工作时间}=\{工作总量}工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率\{工作总量}\div\{工作时间}=\{工作效率}工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间\{工作总量}\div\{工作效率}=\{工作时间}工作总量÷工作效率=工作时间【★典型题】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，多少天可以完成？分析：甲队工作效率：110\frac{1}{10}101​，乙队工作效率：115\frac{1}{15}151​。合作所需时间：1÷(110+115)1\div(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})1÷(101​+151​)。（四）解题策略与步骤【方法指导】1、阅读与理解：读题，圈出关键数据和分率，明确已知条件和所求问题。2、分析与解答：（1）找单位“1”：确定题目中哪个量是单位“1”。（2）判断单位“1”已知还是未知：若单位“1”已知，用乘法；若单位“1”未知，用除法或方程。【★核心判别法】（3）画线段图：对于复杂关系，画线段图可以直观呈现量与率之间的对应关系，是突破难点的有效工具。【重要策略】3、回顾与反思：检验结果是否符合题意，尤其是结果是否具有现实意义。五、比的意义、性质与应用【关联知识】【重要】（一）比的意义两个数相除又叫做两个数的比。在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。【★易混淆点：比值是一个数（可以是整数、小数或分数），而比表示两个数的一种关系。】（二）比、除法、分数之间的联系与区别【基础】比与除法、分数有着密切的联系：a:b=a÷b=ab(b≠0)a:b=a\divb=\frac{a}{b}\quad(b\neq0)a:b=a÷b=ba​(b=0)区别在于：除法是一种运算，分数是一种数，而比表示两个量之间的倍数关系。【重要：比的后项不能为0，但在体育比赛中的“2:0”只是一种计分形式，不表示数学意义上的比。】（三）比的基本性质【核心】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。应用：利用比的基本性质可以化简比。1、化简整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数。2、化简分数比：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，转化成整数比后再化简。3、化简小数比：先将小数比根据小数点位数化成整数比，再化简。【★高频考点：区分“化简比”和“求比值”。化简比的结果必须是一个比（可以写成分数形式，但仍表示比），而求比值的结果是一个数。】（四）按比例分配问题【必考】按比例分配是把一个数量按照一定的比进行分配。解题步骤：1、先求出总份数。2、再求出各部分量占总量的几分之几。3、最后用总量乘各部分对应的分率，求出各部分量。【典型例题】用120厘米长的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3:2:1，求这个长方体的长、宽、高各是多少？【易错点：这里总量120厘米是棱长总和，要先除以4求出一组长、宽、高的和，再按比例分配。】六、思维拓展与易错点辨析（一）量率对应思想【难点突破】在分数应用题中，最关键的是找到“已知量”所对应的“分率”。如果题目中给出的分率与已知量不对应，需要先转化或求出对应的分率。【例】一根绳子，第一次用去全长的14\frac{1}{4}41​，第二次用去剩下的13\frac{1}{3}31​，还剩下10米。求绳子原长。分析：这里“剩下的13\frac{1}{3}31​”对应的单位“1”是第一次用去后的剩余，需要统一单位“1”到全长。第一次用后剩34\frac{3}{4}43​，第二次用去34\frac{3}{4}43​的13\frac{1}{3}31​即全长的14\frac{1}{4}41​，两次共用12\frac{1}{2}21​，剩12\frac{1}{2}21​对应10米，原长20米。（二）转化单位“1”的策略【高阶思维】在复杂应用题中，常常出现多个单位“1”，需要根据数量关系进行转化，将其统一为一个单位“1”，通常是题目中不变量或核心量。【例】甲、乙两人共有钱若干，其中甲的钱数是乙的35\frac{3}{5}53​。后来乙给甲20元，这时甲的钱数是乙的23\frac{2}{3}32​。求原来两人各有多少元？分析：抓住两人总钱数不变这一关键，将甲占乙的几分之几转化为甲占总数的几分之几，通过分率的变化找出20元对应的分率。（三）易错点集中梳理【警示】1、倒数概念模糊：误以为12\frac{1}{2}21​是倒数，或者说“12\frac{1}{2}21​是倒数”，忘记倒数成对出现。2、除法转化为乘法时出错：将被除数也取倒数，或者除号变乘号后忘记将除数改成倒数。3、混合运算顺序错误：在含有除法的混合运算中，没有先转化再约分，而是盲目约分导致错误。4、单位“1”判断失误：尤其在“比一个数多（少）几分之几”的表述中，搞混谁作比较。5、化简比与求比值混淆：题目要求化简比，结果却写成了比值；或反之。6、按比例分配中总量对应错误：如上述长方体问题，将棱长总和直接当作一组长宽高的和。七、单元复习考点、考向与题型归纳（一）填空题1、直接考查倒数的概念：如“（）的倒数是0.25”。2、分数除法的计算：如“45÷23=45×（）\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}=\frac{4}{5}\times（）54​÷32​=54​×（）”。3、分数除法应用题的填空：如“一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做10天完成，两人合作，每天完成这项工程的（），需要（）天完成。”4、商与被除数大小关系的判断：如“在a÷54a\div\frac{5}{4}a÷45​中（a>0a>0a>0），商（）aaa”（填大于、小于或等于）。（二）判断题1、考查倒数的理解：如“因为23×32=1\frac{2}{3}\times\frac{3}{2}=132​×23​=1，所以23\frac{2}{3}32​是倒数。（）”2、考查计算法则：如“一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。（）”（注意必须强调0除外）3、考查商的变化规律：如“一个数（0除外）除以假分数，商一定小于被除数。（）”（假分数大于或等于1，商不一定小于，等于1时相等）（三）选择题1、选择正确的算式：如“一个数的34\frac{3}{4}43​是60，求这个数的算式是（）A.60×3460\times