小学六年级数学《百分数的应用-复杂的“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的问题》教学设计

小学六年级数学《百分数的应用——复杂的“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的问题》教学设计一、教材分析（一）教学内容解析本节课是小学数学六年级上册“百分数”单元中的核心内容，是在学生已经掌握了百分数的意义与读写、百分数与分数小数的互化、以及简单的“求一个数是另一个数的百分之几”和“求一个数的百分之几是多少”等问题的基础上进行教学的。本课时《应用问题（二）》特指那些需要经过两步或三步推理、思考的复杂百分数实际问题，其核心是解决“求比一个数多（或少）百分之几的另一个数是多少”以及其逆问题“已知比一个数多（或少）百分之几的数是多少，求这个数”。这类问题不仅是本单元的教学难点，更是连接分数应用题、拓展学生数学建模能力的关键节点。它从单一的乘法或除法模型，升级为乘加、乘减或含有未知数的方程模型，要求学生能够深入理解百分数的相对性，能够在复杂的情境中准确辨析“标准量”（单位“1”）与“比较量”之间的关系，并能够灵活运用多种策略解决问题，为后续学习折扣、成数、税率、利率等生活中的百分数应用以及初中代数思想奠定坚实的基础1。（二）课标定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段（56年级）对于“数与代数”领域明确指出：要让学生“能解决较复杂的真实问题，形成模型意识和初步的应用意识、创新意识”。本节课的教学正是对这一要求的精准回应。它不仅仅关注学生能否算出正确结果，更强调学生在真实问题情境中理解数量关系、经历建模过程、发展逻辑推理能力和抽象概括能力。教学中要引导学生从“解题”走向“解决问题”，通过画图、类比、转化等策略，将新知识纳入已有的认知结构，实现知识的迁移与内化，最终指向学生数学核心素养的全面提升2。二、学情分析（一）学生知识起点六年级的学生已经具备较强的整数、小数、分数运算能力，并且对百分数的意义有了初步理解，能够解决诸如“优秀率”、“发芽率”以及“一个数的百分之几是多少”等一步计算的实际问题。他们在五年级下册已经系统学习了分数混合运算和应用题，掌握了“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的解题方法，这为本节课学习百分数应用问题提供了重要的类比基础9。（二）潜在学习困难尽管有分数应用题的基础，但学生在学习本课时仍可能面临以下认知障碍：【难点】【易混淆】。第一，量率对应关系的混淆。在复杂的叙述性语言中，学生难以分清哪个量是单位“1”，哪个量是比较量，尤其是当题目中出现“增加”、“减少”、“节约”、“超产”等动态描述时，容易将具体数量和百分率张冠李戴2。第二，思维定势的负迁移。部分学生习惯于机械记忆公式，如见到“多百分之几”就用乘法，见到“少百分之几”就用除法，而不去深入分析题目中已知量和未知量的关系，导致在解决逆问题时频频出错。第三，对线段图建模的依赖与抵触。线段图是理解复杂数量关系最直观的工具，但部分学生怕麻烦、不愿画，试图通过心算直接列式，从而导致数量关系混乱。因此，本节课的教学重点在于引导学生主动运用线段图分析题意，理清标准量与比较量的逻辑链条，从而突破思维障碍。三、教学目标（一）【基础】知识与技能目标使学生能够结合具体情境，理解并掌握“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”以及相对应的“已知比一个数多（或少）百分之几的数，求这个数”的实际问题的数量关系和解题方法。能够正确、熟练地分析题目，找准单位“1”，并能根据单位“1”的已知或未知，选择恰当的解题策略（乘法、除法或方程）进行解答。（二）过程与方法目标引导学生通过画线段图、类比迁移、自主探究、合作交流等学习活动，经历分析数量关系、寻求解题思路、建构数学模型的过程。培养学生观察、比较、分析和抽象概括的能力，尤其是运用方程思想解决逆向思维问题的能力，体会数形结合思想和模型思想在解决问题中的价值。（三）【重要】情感态度与价值观目标使学生在解决生活中与百分数相关的实际问题（如农业增产、商品促销、环境保护等）的过程中，感受数学与生活的密切联系，增强学习数学的兴趣和应用意识。培养学生严谨求实的科学态度和独立思考、勇于质疑的学习习惯。四、教学重难点（一）【非常重要】教学重点分析并掌握“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”及其逆向问题的数量关系，能正确列式解答。关键是能准确识别题目中的单位“1”。（二）【高频考点】【难点】教学难点理解并掌握用方程解决“已知比一个数多（或少）百分之几的数，求这个数”的逆向问题。能够根据数量关系列出等量关系式，体会顺向思维与逆向思维的区别，感悟方程在解决逆问题时的优越性。五、教学过程（一）创境引思，复习铺垫上课伊始，教师通过多媒体展示一则家乡新闻：“据市统计局报告，我市去年植树造林面积为150公顷，今年植树造林面积比去年增加了20%。请大家根据这条信息，提出一个数学问题。”学生根据已有的知识经验，很容易提出“今年比去年增加了多少公顷？”和“今年植树造林多少公顷？”这两个问题。教师引导学生口头列式解决前两个问题：150×20%=30（公顷）；150+30=180（公顷）或150×（1+20%）=150×1.2=180（公顷）。此环节旨在激活学生已有的知识储备，回顾“求一个数的百分之几是多少”以及“求比一个数多百分之几的数”的基本解法，特别是乘法分配律在百分数中的应用，为新知学习搭建“脚手架”。教师同时引导学生回顾分析此类问题的关键步骤：找准单位“1”（去年面积），理清数量关系，并板书关系图：去年面积+去年面积×20%=今年面积；去年面积×（1+20%）=今年面积【重要】。（二）变式冲突，探究新知（一）——顺向问题的深化与建模教师顺势将刚才的信息进行改编，出示课本情境例题：“我市去年植树造林面积为150公顷，原计划今年造林面积比去年增加20%，但实际今年造林面积比去年增加了25%。实际今年造林面积是多少公顷？”【热点】1.阅读理解，提取信息学生默读题目，找出已知条件和所求问题。引导学生对比与刚才复习题的区别：这里出现了两个百分数（20%和25%），且都是针对“去年面积”而言的，但所对应的对象不同（一个是计划，一个是实际）。2.分析关系，画图建模这是本课第一个关键思维节点。教师引导学生：“题目信息比较多，关系有点复杂，用什么方法可以帮助我们理清头绪？”学生自然会想到画线段图。教师指导学生用一条线段表示“去年面积（150公顷）”，然后在线段的基础上延伸，分别表示出“计划比去年增加20%”和“实际比去年增加25%”。通过线段图的直观对比，学生能够清晰地看出，无论是计划还是实际，都是把“去年面积”看作单位“1”，实际造林面积是去年的（1+25%）。数量关系豁然开朗：去年面积×（1+25%）=实际造林面积。3.列式解答，汇报交流学生独立列式计算：150×（1+25%）=150×1.25=187.5（公顷）。教师追问：“这里的（1+25%）表示什么？为什么要用乘法？”引导学生深刻理解：求实际面积就是求150的125%是多少，所以用乘法。4.方法优化，提炼规律教师引导学生回顾刚才解决的两个问题，无论是“比去年增加20%”还是“比去年增加25%”，虽然百分数变了，但解题的结构模型是一样的。师生共同总结出此类问题的基本数量关系：【非常重要】单位“1”的量×（1±百分之几）=比较量。其中，“+”表示多百分之几，“”表示少百分之几。这一步实现了从具体题目到抽象模型的跨越。（三）逆向设疑，探究新知（二）——逆问题的解决与方程思想的渗透教师再次改编题目，将问题与条件互换，呈现教科书中的核心例题：“我市今年实际植树造林187.5公顷，比去年增加了25%。去年植树造林多少公顷？”1.新旧对比，找准异同让学生将此题与上一例题进行对比。引导学生发现：两题中“比去年增加了25%”这一关键数量关系没有变，但已知量和未知量发生了变化。上一题中单位“1”（去年面积）是已知的，求比较量（今年面积）；而本题中比较量（今年面积）是已知的，求单位“1”（去年面积）。【难点】揭示课题：这就是我们今天要重点研究的“已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数”的应用问题。2.迁移经验，尝试画图尽管是逆问题，但数量关系的本质没有变。教师鼓励学生再次尝试画线段图。由于有了前面的基础，学生能够画出相同的线段图：单位“1”未知，用一条线段表示并标上“？公顷”；另一条线段表示实际造林187.5公顷，并在线段上标出比单位“1”多的25%部分。线段图清晰地揭示了数量关系：去年的公顷数+去年的25%=187.5公顷；或者去年的公顷数×（1+25%）=187.5公顷。3.自主探究，方法多样化教师给予充分时间，让学生小组讨论并尝试列式解答。巡视中收集典型解法，准备展示。预设解法一：算术法（逆向思维）。有些学生会尝试用除法：187.5÷（1+25%）=187.5÷1.25=150（公顷）。教师追问：“为什么这里要用除法？1+25%求的是什么？为什么187.5除以它就能得到去年的面积？”引导学生理解：因为（1+25%）对应的是187.5公顷，即已知一个数的（1+25%）是187.5，求这个数，所以用除法。这种解法虽然简洁，但思维过程是逆向的，对于学困生理解难度较大。预设解法二：方程法（顺向思维）。更多的学生可能会想到列方程。解：设去年植树造林x公顷。根据等量关系：x×（1+25%）=187.5或x+25%x=187.5。解方程得x=150。教师此时要大力肯定方程法的价值：【非常重要】方程把未知的数当成已知数，顺着题目的意思（比去年增加25%）直接列出等量关系，思维难度降低了。它是解决逆向问题的“万能钥匙”。4.对比反思，优化策略教师将算术法和方程法并排板书在黑板上，引导学生讨论：“你觉得哪种方法更容易理解？为什么？”通过讨论，学生达成共识：在解决“已知比一个数多（或少）百分之几的数，求这个数”的问题时，顺着数量关系列方程解答，思路更清晰，也更不容易出错。至此，学生完成了从顺向问题到逆向问题的完整认知构建。（四）变式训练，内化提升为了巩固模型，加深对单位“1”的理解，教师设计一组有层次、有坡度的练习。1.【基础】基本练习（模仿性练习）出示题目：“某工程队原计划修建一条公路，实际修建了12.6千米，比原计划多修了5%。原计划修建多少千米？”要求学生先找单位“1”，画线段图，再列方程解答。此题旨在让学生即时模仿，巩固新知，确保所有学生掌握基本方法。2.【重要】对比练习（辨析“多”与“少”）出示两组题目：第一组：①超市运来苹果120千克，运来的梨比苹果少20%，运来梨多少千克？②超市运来梨96千克，比苹果少20%，运来苹果多少千克？第二组：①一件商品原价200元，降价10%后，售价是多少元？②一件商品降价10%后，售价为180元，原价是多少元？让学生独立计算，然后小组内交流。通过对比，引导学生发现：无论条件如何变化，解题的关键都是准确找到单位“1”，并厘清单位“1”是已知还是未知。已知时用乘法，未知时通常列方程或直接用除法（1±百分数）。【高频考点】这一环节旨在打破学生的思维定势，培养灵活解题的能力。3.【热点】综合练习（解决实际问题）创设生活情境：“小明的爸爸购买了一台电脑，打八五折后实际付了3400元。这台电脑的原价是多少元？”此题将“比一个数少百分之几”巧妙地隐藏在“打折”这一生活常识中，需要学生先理解“八五折”就是按原价的85%出售，即比原价降低了15%。然后根据“原价×85%=现价”列出方程解答。这既考察了学生对百分数意义的理解，又提升了其解决生活实际问题的能力。（五）课堂小结，建构网络教师引导学生回顾本节课的学习历程：“我们研究了哪些类型的百分数问题？我们是怎样一步步攻破难关的？”学生畅所欲言，总结出研究路径：复习铺垫—顺向建模—逆向突破—对比反思。教师进一步升华：“无论是简单的还是复杂的百分数问题，其实都离不开一个核心——找准单位‘1’，理清它和比较量之间的关系。我们可以用线段图这个好帮手，也可以用方程这个好策略。数学就是这样，万变不离其宗。”最后，布置课后探究作业：寻找生活中的百分数问题（如利息计算、成数问题、折扣问题等），尝试自己编一道“求比一个数多（或少）百分之几”的顺向题和一道逆向题，并解答。六、板书设计第六单元百分数的应用（二）——复杂的“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的问题【重要】核心：找准单位“1”【方法】画线段图【模型】单位“1”×（1±百分数）=比较量已知单位“1”，求比较量（顺向）去年：150公顷今年：？比去年多25%列式：150×（1+25%）=187.5（公顷）已知比较量，求单位“1”（逆向）去年：？公顷今年：187.5公顷比去年多25%解法一：算术法187.5÷（1+25%）=150（公顷）解法二：方程法【非常重要】解：设去年造林x公顷。x×（1+25%）=187.5或x+25%x=187.5x=150七、练习设计（同步练习）【基础演练】1.填空。（1）甲数是40，乙数比甲数多25%，乙数是（）。（2）丙数是60，比丁数少20%，丁数是（）。（3）一种商品，现价42元，比原价降低了16元，降低了约（）%。（百分号前保留一位小数）2.某饲养场养鸡2400只，养的鸭