重庆市康德卷2025-2026学年高二下学期期末考试+数学试题（含答案）

重庆市2026年高二（下）期末考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知随机变量X服从正态分布N(5，σ2)，则P(X≤5)=

A．0.8B．0.6C．0.5D．0.2

2．已知集合A={x|x(x_3)≤0}，B={x|x2+1≥0}，则AB=

A．gB．(0，3]C．[0，3]D．R

3．已知集合A，若命题p：▽a∈A，y=xa是(0，+∞)上的增函数，则一p为

A．彐a∈A，y=xa不是(0，+∞)上的增函数B．彐a∈A，y=xa是(0，+∞)上的增函数

C．▽a∈A，y=xa是(0，+∞)上的减函数D．▽a∈A，y=xa不是(0，+∞)上的增函数

4．某科考小组推算出某种树的高度h（单位：m）关于树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）d（单

位：cm）的经验回归方程为hˆ=0.25d+15，已知某棵树的胸径为32cm，高度为22.6m，则该样本点的残

差为

A．_0.6B．_0.4C．_0.2D．0

5．某种玩具有A，B两种款式，厂商将玩具放入盲盒，已知盲盒开出A款的概率是开出B款概率的168倍，

用随机变量X表示1次抽盲盒开出B款的次数，则P(X=1)=

111

A．0B．C．D．

2168169

6．设函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，若a，则a的值为

11

A．B．2C．D．e

2e

．若525，则

7(2_x)=a0+a1x+a2x++a5xa1+2a2+3a3+4a4+5a5=

A．_5B．_1C．1D．5

f(x(x2)

．若函数对任意的，有1恒成立，则实数的取值

8fcos2x+acosx0<x1<x2<>0a

x__2

范围是

AC．D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部

选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分．

9．现有5位同学集合站队，以下说法正确的是

5

A．若站成一行，则有A5种不同的方法

5

B．若站成两行，则有A5种不同的方法

4

C．若站成一行且甲乙相邻，则有2A4种不同的方法

4

D．若站成一行且甲乙不相邻，则有A4种不同的方法

10．已知a，b为正实数，2a+b=1，则

A．4a2+b2≥1B．3a2+b

11．某外卖平台从A、B、C三个商家随机接单，接到A商家订单的概率为0.5，接到B商家订单的概率为0.25，

接到C商家订单的概率为0.25，其中A商家超时的概率为0.1，B商家超时的概率为0.2，C商家超时的概

率为0.4，则下列选项正确的是

A．外卖超时的概率为0.2

B．如果外卖超时，则该外卖来自A商家的概率为0.25

C．如果外卖超时，则该外卖来自B商家的概率为0.3

D．如果外卖超时，则该外卖来自C商家的概率为0.5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．若x2-ax+b<0（a，b∈R）的解集为{x|1<x<2}，则a+b=．

13．若函数f=alnxx3在点处的切线方程为y=0，则实数a的值为．

14．某乒乓球训练馆有两台发球机：机器A发上旋球和下旋球的概率分别为；机器B发上旋球和下旋球

的概率分别为．为提高运动员的训练水平，设定发球规则如下：每次由一台发球机发球，若发出上

旋球，则下一次从机器A发球；若发出下旋球，则下一次从机器B发球．若第一次从机器A发球，记第n次

发出下旋球的概率为Pn，则P4=．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

为调研学生选科的情况，某学校随机调查了100名学生的高一数学期末成绩的及格情况和他们的选科情况，

调查结果如下表．

选择物理选择历史合计

数学成绩及格482068

数学成绩未及格161632

合计6436100

（1）估计数学成绩及格的学生选择物理的概率；

（2）根据小概率值α=0.05的x2独立性检验，分析数学成绩及格与否与选科是否有关联．

附：x

α0.050.010.001

xα3.8416.63510.828

16．（15分）

已知函数f(x)=(x_1)2ex．

（1）求函数f(x)的极大值与极小值；

（2）证明：当x<1时，f(x)≤_x+1．

17．（15分）

某农学研究所开发了一种可在沙化严重的土壤上种植的粮食作物，在大规模推广之前，需要进行育种试验．若

每一颗试验种子的成苗率为p，且种子是否成苗相互独立．

（1）若有10颗试验种子，且成苗率p=0.5，求：

（i）恰有7颗成苗的概率；

（ii）成苗种子数量的平均值和方差．

（2）每100颗试验种子为一个实验组，若有一个实验组恰有70颗成苗的概率最大，求p的取值范围．

18．（17分）

已知函数f=alnx

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若f(x)≥0．

（i）求a；

（ii）求证：对于任意整数n(n≥2)，lnn

19．（17分）

在展销会上，某企业的展示台将n(n≥2)件使用环保材料的新产品，m(m<n，m∈N*)件使用非环保材

料的旧产品放置在同一排，从左至右依次编号为1号展柜，2号展柜，……,n+m号展柜．

（1）若n=4，m=1．

（i）求5号展柜内放的是新产品的概率；

（ii）用X表示最右边的新产品所在展柜编号，求X的数学期望E(X)．

（2）若Y表示最右边的新产品所在展柜编号的倒数，证明：E

高二数学参考答案

一、选择题

1~8CCABDCAA

1题解析：由正态分布的性质有P(X≤5)=0.5．

2题解析：集合A=[0,3]，B=R，则AB=[0,3]．

3题解析：由全称量词的否定可知选A．

4题解析：残差=观测值－预测值．

5题解析：由题意可设开出B款的概率为p，则开出A款的概率为168p，则X的分布列为

X01

P168pp

则p+168p=1，解得p

f(1+Δx)_f(1)

6题解析：由题意有lim=f,(1)=_a，f,(x)=axlna，f,(1)=alna=_a，所有lna=_1，

Δx→0Δx

则a

题解析：令525，

7f(x)=(2_x)=a0+a1x+a2x++a5x

4234，令，所以有

f,(x)=_5(2_x)=a1+2a2x+3a3x+4a4x+5a5xx=1

．

a1+2a2+3a3+4a4+5a5=_5

π

8题解析：由题意知当x∈(0,)，f(x)是增函数，

2

f,(x)=_sin2x_asinx=_2sinxcosx_asinx=_sinx(2cosx+a)，由题意则有

π

2cosx+a<0在x∈(0,)恒成立，所以a<_2cosx，所以a≤_2．

2

二、选择题

9．AC10．BCD11．ABD

题解析：若站成一行，则有5种不同方法，正确，若站成两行，则要分多种情况，不可能是5种不同的方

9A5AA5

法，B错误；若站成一行且甲乙相邻，则可以将甲乙固定在一起有2种排法，甲乙一起与剩下的3人

一起排队，有4种排法，由分步乘法计数原理，共有4，正确，若站成一行，甲乙不相邻，用

A42A4C

插空法，先另外三人排队3种排法，再甲乙在三个人形成的四个空位中选两个位置则有23种方法．

A3A4A3

10题解析：4a2+b当且仅当a时等号成立，A错误；

3a2+b=3a2_2a+1=3当且仅当a等号成立，B正确；

当且仅当a=b时等号成立，C

正确；a2+b当且仅当a时等号成立，D正确．

11题解析：记事件R为外卖超时，所以P(R)=0.5x0.1+0.25x0.2+0.25x0.4=0.2，A正确；外卖超时，来

自A商家的概率PB正确；外卖超时，来自

B商家的概率PC错误；外卖超时，来自C

商家的概率PD正确．

三、填空题

255

12．51314．

512

12题解析：由一元二次不等式的解集可知，1,2为x2_ax+b=0的解，则有a=3，b=2，a+b=5.

题解析：，则在点处的切线方程为3，

13f,f(x)(x0,f(x0))y+alnxx0

由题意则有，解得a=_.

14题解析：则有可得所以.

四、解答题

15．（13分）

解：（1）设数学成绩及格的学生中选择物理为事件A，根据表格中的数据，

则有事件A发生的概率为P……6分

（2）零假设为

H0：数学成绩及格与否与选科之间无关联，

根据2x2列联表中的数据，计算可得x

根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，数学成绩及格与否与选科有关联．

……13分

16．（15分）

解：（1）f,(x)=2(x_1)ex+(x_1)2ex=(x_1)(x+1)ex，

当f,(x)>0，x>1或x<_1，当f,(x)<0，_1<x<1，

所以当x∈(_∞,_1)时，f(x)单调递增，当x∈(_1,1)时，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)，f(x)单

调递增，

则f极大值=f极小值=f……7分

（2）即要证当x<1时，f(x)+(x_1)≤0，即(x_1)[(x_1)ex+1]≤0，又x_1<0，

则要求g(x)=(x_1)ex+1≥0在x<1上恒成立即可，g,(x)=ex+(x_1)ex=xex，

当x<0时，g,(x)<0，g(x)单调递减，当1>x>0时，g,(x)>0，g(x)单调递增，

，所以，得证．……分

g(x)min=g(0)=0g(x)≥015

17．（15分）

解：（1）设事件A=“一颗试验种子成苗”，则P用X表示事件A发生的次数，则XB，

=C……3分

=10x=10x……7分

（），记kk100_k，则

2XB(100,p)pk=P(X=k)=C100p(1_p)

由题意p70最大，所以有p70>p71，p70>p69，，解得分

18．（17分）

解：（1）函数f=alnx求导得f,

当a≤0时，f,(x)<0对任意x∈(0,+∞)恒成立，所以f(x)在(0,+∞)单调递减，

当a>0时，xf,，f(x)单调递减，

x，f,(x)>0，f(x)单调递增；……5分

（2）（i）当a≤0时，不满足f(x)≥0恒成立，舍去；

当时，由（）可知，，若恒成立，

a>01fmin=ff(x)