2025-2026学年上海市黄浦区大同中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区大同中学高一（下）期末数学试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、填空题（共有12小题，每小题3分，共36分）1．已知向量，设，向量，若，则．2．已知，在第二象限，则的值为．3．记为等差数列的前项和，若，，则．4．若复数满足：，则．5．已知复数的虚部为1，且，则实数为．6．已知数列的通项公式为为正整数），则数列的前项和的最小值为．7．已知向量，，，，则的取值范围是．8．如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，若，则．9．已知数列，满足，，，，．10．已知函数在区间，上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是．11．若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为．12．为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形，公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形，由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米，此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中该路段改造后的停车位比改造前增加个．二、选择题（本大题共有4题，每小题4分，共16分）13．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．， B．， C．， D．，14．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．设，若对任意的，都存在，使得成立．则可以是（）A． B． C． D．16．已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（）①存在等差数列为数列②存在等比数列为数列③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②③三、解答题（本大题满分48分）17．已知复数是虚数单位，，且为纯虚数．（1）求实数；（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．18．已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）求函数的单调递减区间．19．如图所示，在△中，在线段上，满足，是线段的中点，（1）延长交于点（图，求的值；（2）过点的直线与边，分别交于点，（图，设，．（ⅰ）求证：为定值；（ⅱ）设△的面积为，△的面积为，求的最小值．20．设，．（1）当时，直接写出函数在区间上的单调性；（2）①根据的不同取值，讨论函数在区间，上零点的个数；②若函数在区间，为正整数）上恰有7个零点，求的最小值及此时的取值范围．21．已知整数，数列，，，是递增的整数数列，即，，，且，定义数列的“相邻数列”为，，，，其中，，或，3，，（1）已知，数列，5，7，9，写出的所有“相邻数列”；（2）已知，数列，，，是递增的整数数列，，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；（3）已知，数列，，，是递增的整数数列，，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，，3，，，，求的最小值．

参考答案一、填空题（共有12小题，每小题3分，共36分）.1．已知向量，设，向量，若，则2．解：由，可得，解得．故答案为：2．2．已知，在第二象限，则的值为．解：因为，在第二象限，则．故答案为：．3．记为等差数列的前项和，若，，则121．解：为等差数列的前项和，，，根据等差数列的通项公式及题意得，解得，由等差数列的前项和公式得：．故答案为：121．4．若复数满足：，则．解：设，所以，整理得，解得，故．故答案为：．5．已知复数的虚部为1，且，则实数为．解：虚部为1，可设，，，故，解得或，当时，，当时，．故答案为：．6．已知数列的通项公式为为正整数），则数列的前项和的最小值为．解：数列的通项公式为为正整数），可设，可得在上单调递增，则为递增数列，注意到，，则该数列前3项为负值，从第4项起为正值，从而．故答案为：．7．已知向量，，，，则的取值范围是，．解：根据题意，，，则，设为与的夹角，则，则．又由，，可知为第一象限向量，其方向角；的方向角为，因此两向量夹角，可得，则，即，则．即则的取值范围是，．故答案为：，．8．如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，若，则．解：由题意，，因为为线段上靠近点的三等分点，所以，故，又，，三点共线，所以．故答案为：．9．已知数列，满足，，，，．解：数列，满足，，，，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；归纳可得：，，，当时，则，，，，符合题意；假设当，时，，，当时，则，，且，，符合题意；综上所述：，，，则，所以．故答案为：．10．已知函数在区间，上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是．解：由题意得，当，时，，当时，，当最大时，同时取最大值，因为在区间，上只有一个零点和两个最大值点，所以，解得，即的取值范围是．故答案为：．11．若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为4．解：若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，设单位向量、的夹角为，其中，则，根据平面向量数量积公式可得：，，且，所以与互相垂直，设向量在向量和上的投影分别为和，则满足，又由，可得，同理可得：，所以，其中，分别为与和的夹角，则，根据基本不等式可得：，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以，即的最小值为4．故答案为：4．12．为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形，公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形，由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米，此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中该路段改造后的停车位比改造前增加18个．解：由题意知，，即，，，已知，所以，即，则，则，化简得，解得或，因为，，所以，所以，，设改造后停车位数量最大值为，如图所示：过停车位顶点做射线垂线，垂足为，则顶点到线段距离为，又由图及题意可得：，，则，注意到，则，则，则，则，，又，则，令，得，解得，即改造后最大停车位数量为49，则改造后的停车位比改造前增加18．故答案为：18．二、选择题（本大题共有4题，每小题4分，共16分）13．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．， B．， C．， D．，解：对于，，不可以作为基底，错误；对于，，共线，不可以作为基底，错误；对于，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，正确；对于，，共线，不可以作为基底，错误．故选：．14．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：由题意，的共轭复数，在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选：．15．设，若对任意的，都存在，使得成立．则可以是（）A． B． C． D．解：当时，，，所以，设的值域为，则，，对任意的，都存在，使得成立，当时，，，不符合题意；当时，，，符合题意；当时，，，不符合题意；当时，，，不符合题意．故选：．16．已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（）①存在等差数列为数列②存在等比数列为数列③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②③解：对于①，当，时，，对于任意的正整数，令，所以对于每一个，都存在唯一的正整数使得，因此存在等差数列为数列，①正确；对于②，设等比数列的首项为，公比为，若，则，，由，得，当时，此方程无解；若，令，即，当变化时，很难保证对于任意的正整数，都存在唯一的正整数使得等式成立，例如，当，时，，方程无正整数解，因此不存在等比数列为数列，②错误；对于③，，对任意，知存在，使得，则，即，且数列为严格增数列，，因此其“和数列”为严格增数列，③正确；对于④，例如2，1，3，4，5，，显然是所有正整数的排列，且数列的“和数列”为严格增数列，但不是递增数列，④错误．故选：．三、解答题（本大题满分48分）17．已知复数是虚数单位，，且为纯虚数．（1）求实数；（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．解：（1），，由题意可得，解得；（2），，复数对应的点在第二象限，，解得，故实数的取值范围为，．18．已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）求函数的单调递减区间．解：（1）因为函数的最小正周期为，所以，可得，可得，所以；（2）由（1）可得，令，，解得，，可得函数的单调递减区间为：，，．19．如图所示，在△中，在线段上，满足，是线段的中点，（1）延长交于点（图，求的值；（2）过点的直线与边，分别交于点，（图，设，．（ⅰ）求证：为定值；（ⅱ）设△的面积为，△的面积为，求的最小值．解：（1）依题意，因为，所以，因为是线段的中点，所以，设，则有，因为，，三点共线，所以，解得，即，所以，所以；（2）证明：根据题意，同理可得：，由（1）可知，，所以，因为，，三点共线，所以，化简得，即为定值，且定值为3；根据题意，，，所以，由可知，则，所以，易知，当时，有最小值，此时．20．设，．（1）当时，直接写出函数在区间上的单调性；（2）①根据的不同取值，讨论函数在区间，上零点的个数；②若函数在区间，为正整数）上恰有7个零点，求的最小值及此时的取值范围．解：（1）在上单调递增，理由如下：任取，且，则，因为，所以，而，则，所以，则，所以，即，所以，则在上单调递增；（2）①由，得，则，即，则或，由，，，得或；由，得，若或时，与无交点，即无解；若或时，与有1个交点，且这两个交点横坐标分别为，，即的解为和；当或时，与有2个交点，即分别有2个解（不等于和；当时，与有3个交点，即有3个解．综上，或时，有2个零点，当或时，有4个零点，当时，有5个零点．②由①可知，当时，最多有5个零点，不满足题意；当时，由，，，得或或，不管为何值，的零点已有3个，要使在，上恰有7个零点，则与在，恰有4个交点，当，时，与在，恰有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点，所以的最小值为3，此时，．21．已知整数，数列，，，是递增的整数数列，即，，，且，定义数列的“相邻数列”为，，，，其中，，或，3，，（1）已知，数列，5，7，9，写出的所有“相邻数列”；（2）已知，数列，，，是递增的整数数列，，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；（3）已知，数列，，，是递增的整数数列，，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，，3，，，，求的最小值．解：（1）由数列，5，7，9，根据定义知：，，且或，3，，，可得，，且或，或，的所有“相邻数列”为：3，4，6，9，3，4，8，9，3，6，6，9，3，6，8，9．（2）任取的一个“相邻数列”，，，，或，或，，且，对于，3，，，，的取值分以下4种情形：且；且；且；且，由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，只需考虑第4种情形，递增，，，即，由数列是递增的整数数列，可得，从而，，是公差为1的等差数列，于是，则，3，，，即满足数列的共有11个．（3）令，，对于任意，3，，，，设，3，