2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、填空题（共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分）1．用符号或填空：2．已知集合，0，2，，若，，则．3．若实数，且，，则．4．某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有人．5．已知关于的不等式的解集为，则．6．已知，，且，则的最大值为．7．已知集合，，则．8．若实数，满足，则不等式的解集为．9．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围是．10．已知，若存在，，使得不等式成立，则的取值范围是．11．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若，则，则所有这样的集合的个数为．12．已知实数，满足且，则的最大值是．二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）13．下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则14．用反证法证明命题：“，，若可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（）A．，不都能被5整除 B．，都能被5整除 C．，都不能被5整除 D．能被5整除15．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（）A．1 B．2 C．3 D．416．对三个正实数、、，下列说法正确的是（）A．存在，，的一组值，使得、、均小于2 B．存在，，的一组值，使得、、中恰有两个小于2 C．对，，的任意值，、、都不小于2 D．对，，的任意值，、、中至多有两个不小于2三、解答题（本大题共5题，满分46分）17．已知，．（1）求的值；（2）用，表示．18．设集合，集合．（1）若，求；（2）设命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．19．已知幂函数在上单调递增．（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．20．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？21．问题：正实数，满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数，满足，求的最小值；（2）若实数，，正实数，满足，求证：；（3）求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分）1．用符号或填空：解：为无理数，为有理数集，所以．故答案为：．2．已知集合，0，2，，若，，则，．解：集合，0，2，，，，故．故答案为：，．3．若实数，且，，则．解：由题意可得，，即，则．故答案为：．4．某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有14人．解：依题意得：为两种都参加的，设为人，则中有人，中有人，故有：，解得．故答案为：14．5．已知关于的不等式的解集为，则．解：关于的不等式的解集是，所以方程的解为：和3，由根与系数的关系知，，，解得，所以．故答案为：．6．已知，，且，则的最大值为．解：因为，，且，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．故答案为：．7．已知集合，，则，．解：集合，，当时，，则，．故答案为：，．8．若实数，满足，则不等式的解集为，，．解：不等式变形为，，，，，不等式的解集为，，．9．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围是，．解：，，当时，，不等式成立；设，当时函数为二次函数，要恒小于0，抛物线开口向下且与轴没有交点，即要且△，得到：综上得到，故答案为：，．10．已知，若存在，，使得不等式成立，则的取值范围是，．解：已知，若存在，，使得不等式成立，所以在，上有解，，令，，，则，所以，即的取值范围是，．故答案为：，．11．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若，则，则所有这样的集合的个数为31．解：（1）的整数解只能是36的约数当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；当方程的解为2，时，；当方程的解为3，时，；当方程的解为4，时，；故集合，，，，0，5，9，16，由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，可得这样的集合共有个故答案为：3112．已知实数，满足且，则的最大值是．解：由，可知，不等式两边时乘以，得，解得．令，即．所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值是．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）13．下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则解：对于，若，，则，由，即，故正确；对于，因为，又，，则，故，即错误；对于，当时，，故错误；对于，当时，，故错误．故选：．14．用反证法证明命题：“，，若可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（）A．，不都能被5整除 B．，都能被5整除 C．，都不能被5整除 D．能被5整除解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”的否定是“，都不能被5整除”．故选：．15．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由题意可知，，，．故选：．16．对三个正实数、、，下列说法正确的是（）A．存在，，的一组值，使得、、均小于2 B．存在，，的一组值，使得、、中恰有两个小于2 C．对，，的任意值，、、都不小于2 D．对，，的任意值，、、中至多有两个不小于2解：取，则，即存在，，，使得中恰有两个小于2．故选：．三、解答题（本大题共5题，满分46分）17．已知，．（1）求的值；（2）用，表示．解：（1）因为，，即，，则；（2）．18．设集合，集合．（1）若，求；（2）设命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：（1），当时，集合，因此；（2），，因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，因此有，解得，故的范围为，．19．已知幂函数在上单调递增．（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）因为是幂函数，所以，解得，或，又因为在上单调递增．所以，即，所以．（2）由于在区间，上都是减函数，且．分三种情况讨论：①当，即时，原不等式成立；②当，且时，有，即，解集为空集．③当，且时，有，解得．综上所述：的取值范围是，，．20．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）由题意知每件商品售价为5元，故得到万件商品销售收入为万元，所以当时，，且当时，，故；（2）①当时，，易知当时，取得最大值（2）万元，②当时，，当且仅当时，取得最大值15万元，因为，故年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为15万元．21．问题：正实数，满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且