2.1.1倾斜角与斜率++课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

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乌

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0笛卡尔传说某天，笛卡尔看见墙上有蜘蛛。另外，笛卡尔在哲学上也很有造诣。他有句家喻户晓的名言：

我思故我在。他突然想到：要是把墙角看作三个数轴，蜘蛛的位置不就确定出来了么?于是，直角坐标系就此诞生了。翻

人

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，文武双全!能提笔安可Baidu

百科

×

混知

·漫画知识点1100.5

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算

数

定

乾

坤0.5-0,5理-1xx0以坐标系为桥梁，把几何问题转化

为代数问题，通过代数运算来研究

几何图形性质的方法叫做坐标法，

用坐标法研究几何的学科称为解析几何第二章

直线和圆的方程2.1.1直线的倾斜角和斜率【学习目标】1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；2、掌握斜率公式的推导过程；3、体会数形结合、分类讨论、特殊到一般等数学思想；探究一：用“角”刻画直线的倾斜程度问题1:过一点P可以作无数条直线，

这些直线的区别是什么?方向不同在平面直角坐标系中，我们规定

水平直线的方向向右，其他直线

向上的方向为这条直线的方向.问题2:如何表示这些直线的方向?X1.直线的倾斜角定义当直线1与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x

轴

正方向与直线1向上方向之间所成的角叫做直线

的倾斜角。常用希腊字母α、β…表示2.倾斜角范围我们规定直线1与x轴平行和重合时，倾斜角为0°。

那么直线的倾斜角范围是?所以：倾斜角范围：0°≤α<180°;注

：(1)每一条直线都有一个确定的倾斜角；(2)方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；(3)方向不同的直线，其倾斜程度不同，

倾斜角不相等.[巩固练习]下列四图中，表示直线的倾斜角的是

(

A)ya0Ay)a0CXX探究：

一般地，若直线

|经过两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,

y₂),x₁

≠x₂,

那么a与P₁,P₂的坐标有什么关系?两点一

点

十

方向探究二：用“斜率”刻画直线的倾斜程度直线的确定形刻

画倾斜角向量OP=(

√3-0,1-0)=(

√3,1)直线OP

的倾斜角为αana==—代数运算yP(√3,1)a0.0)

X几何(1)已知直线1经过00,0),P(√3,1),a与0,P

的坐标有什么关系?(2)类似地，如果直线1经过Pi(-1,1),P₂(√2,0),a

与

P₁,P2的坐标有直线OP

的倾斜角为

a什么关系?OP=P₁P₂=(x₂-x₁,y₂-y₁),OP=(x₂-x₁,y2-JP₂P₁=(x₁-x₂,y₁-v2),OP=(x₁-x₂,y-(3)一般地，如果直线

|

经过两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),x₁

≠x₂,

那么a

与P₁,P₂的坐标有什么关系?0

X

0个P₂2刀PP

P

又y^Py1P1αa|yP1(x1,y1)P2(x2,y2)α●当x₁=x₂,即α=90°时，tana不存在XY2-y1tan

a=X2-x₁当直线倾斜角为90°或0°时上述公式还成立吗?3.直线的斜率定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用小写字母k表示，即：k=tan

a

每一条直线都有倾斜角，但是不一定都有斜率当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率k如何变化?为什么?当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化?结

论

：1

、当直线与

x轴平行或重合时，

斜率为0,公式适用；2

、当直线与

x轴垂直时，斜率不

存在，公式不适用。综上所述，我们得到经过两点

P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)(x₁≠x₂)的直线的斜率公式：[巩固练习]如图，直线l₁,l₂,I

的斜率分别为k₁,k₂,k₃,则

：(

C)A、k₃

<k₁

<k₂B、k₁

<k₂

<k₃C、k₁

<k₃

<k₂D、k₃

<k₂

<k₁若直线方向向量为(x,y),

则斜率探究三：直线的方向向量与斜率有什么关系呢?直线AB的斜率直线BC

的斜率直线CA的斜率，由kAB>0

及kcA>0

知，直线AB

与CA

的倾斜角均为锐角；由kBC<0知，直线BC

的倾斜角为钝角.[巩固应用]例

1.如图，已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),

求直线AB,BC,CA

的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。[巩固应用]已知两点A(—3,4),B(3,2),

过

点P(1,0)的直线/与线段AB有公共点

.(1)求直线/的斜率k的取值范围；(2)求直线/的倾斜角a

的取值范围.A(-3,4)B(3,2)0

P(1,0)

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