小学五年级数学上册第六、七单元知识清单（北师大版）

小学五年级数学上册第六、七单元知识清单（北师大版）一、★【基础概念】组合图形的意义与面积计算总纲（一）组合图形的定义与识别【基础】在数学学习中，我们之前已经掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形这些基本图形的面积计算方法。由两个或两个以上的上述简单规则图形，通过不同的方式（如拼接、重叠、挖空）组合而成的图形，我们称之为组合图形。在日常生活中，许多物体的表面，如房子的侧面、中队旗、七巧板拼图等，都是以组合图形的形式存在的【基础】。（二）核心解题思想：【★重中之重】转化思想解决组合图形面积计算问题的核心，并不是死记硬背新的公式，而是应用一种极其重要的数学思想——转化。我们需要将复杂的、不规则的组合图形，通过一定的方法，转化为我们所熟悉的、能够直接计算面积的若干个基本图形。这个过程体现了数学中“化未知为已知、化复杂为简单”的基本策略【★核心素养】。（三）组合图形面积计算的三大核心方法【★高频考点】1.【★必会】分割法：这是最常用的一种方法。观察图形的结构特点，用辅助线（通常是虚线）将原组合图形合理地切割成两个或两个以上独立的基本图形。最后，将这些基本图形的面积相加，即可得到原组合图形的总面积。需要注意的是，分割图形时应力求简洁，尽量分割成边条条件直接可用的图形，避免出现多余的条件。2.【★重点】添补法：有些组合图形看起来像是从一个大的规则图形中挖去了一个小图形。这时，我们可以通过添补（补上）一块，使其成为一个完整的规则图形。然后，用这个大规则图形的面积减去添补上去的那一小块图形的面积，从而得到原组合图形的面积。这种方法常用于具有“缺口”特征的图形。3.【提升】割补法：这种方法较为灵活，需要在头脑中或实际操作中，将图形的一部分“切割”下来，然后“平移”或“旋转”到另一个位置，从而将原图形重新组合成一个规则的、面积相等的新图形。这种方法对空间想象能力要求较高，但计算过程往往最简洁。（四）【★难点】易错警示与解题步骤【★必考】1.易错点一：忽略单位统一。在计算前，必须检查题目中所有长度的单位是否一致。如果单位不统一（如有的是米，有的是分米），必须首先进行单位换算，然后再进行计算。2.易错点二：数据使用错误。在进行分割或添补后，要仔细辨别计算每个基本图形面积所需要的数据（长、宽、底、高）是否在图上直接标出，或是需要通过已知数据间接计算得出。特别要注意高的选取，必须是底边所对应的高。3.易错点三：分割后“漏加”或“重加”。对于分割法，各部分面积是“和”的关系，不能漏掉任何一部分。对于添补法，大图形面积减去小图形面积，要找准减数。4.标准解题步骤【★规范】：（1）看：观察图形的构成，确定使用哪种方法（分割、添补还是割补）。（2）画：用虚线作出辅助线，将解题思路图形化。（3）找：找出或计算出计算每个基本图形面积所必需的条件（长度数据）。（4）算：分别计算每个基本图形的面积。（5）加/减：根据方法，对各部分面积求和或求差。（6）答：写出最终答案，并带上正确的面积单位（如平方米、平方厘米）。二、组合图形面积计算的实战应用与技巧深化（一）分割法的具体应用技巧【高频考点】分割法是处理一般组合图形最直接的手段。在应用时，我们需要灵活选择分割方式。1.水平分割与垂直分割：对于边界与坐标轴平行的不规则多边形，可以尝试作水平或垂直的辅助线，将其分割成若干个长方形或梯形。例如，一个“L”型的多边形，可以通过“补角”的方式看出是由两个长方形组成。2.分割成基本图形：更常见的做法是，根据图形的边线特点，将其分割成可以直接套用公式的三角形、长方形、平行四边形或梯形。例如，一个五边形可以分割成一个三角形和一个梯形，或者分割成三个三角形。3.【典例分析】：求下面中队旗的面积（单位：cm）。（图形描述：可以看作是一个长80cm、宽60cm的长方形，减去一个底为60cm、高为20cm的三角形。）【★解题思路】（添补法）：将中队旗看作一个完整的长方形。长方形面积=长×宽=80×60=4800（平方厘米）。缺少的部分是一个三角形，其底正好是长方形的宽60cm，高已知为20cm。三角形面积=底×高÷2=60×20÷2=600（平方厘米）。所以，中队旗面积=4800——600=4200（平方厘米）。（另一种分割法思路）：也可以将图形分割成两个完全一样的梯形。梯形的上底为80cm，下底为(8020)=60cm？这里需要仔细分析图形，正确的分割法往往稍显复杂，而添补法更为简洁。这启示我们，在面对一道题时，可以多角度思考，选择最优化、计算量最小的方法。（二）添补法的巧妙运用【热点】添补法尤其适用于那些本身不是完整多边形，但又明显是从一个更大的规则图形中“挖”去一部分的图形。1.识别“缺角”图形：观察图形的外轮廓，如果能看出它是一个大的长方形或正方形，只是某个角或某一部分被切除了一个小的规则图形，那么就可以直接使用添补法。2.【典例分析】：求下面阴影部分的面积（单位：米）。在一个长10米、宽8米的长方形草地中间，有一条宽1米的曲折小路，求草地（阴影部分）的面积。【★解题思路】（平移转化法）：这道题虽然可以看作是添补法的变体，但更优的策略是“转化”。可以将小路中的几段横向的小路向下平移，纵向的小路向右平移，最终将四块分散的草地“合并”成一个大的长方形。合并后的长方形长=原长路宽=101=9（米），宽=原宽路宽=81=7（米）。那么草地面积=9×7=63（平方米）。这种方法充分体现了割补与转化的思想精髓。（三）【★核心素养】割补法与等积变形1.原理阐述：当我们将一个图形的一部分切割下来，拼接到另一处，只要没有重叠也没有遗漏，那么新图形的面积就等于原图形的面积。这就是等积变形。2.应用场景：在求一些不规则图形的阴影部分面积时，如果阴影部分分散在几处，可以考虑通过割补将其拼成一个完整的、便于计算的图形。例如，在求一些圆形或扇形组合的阴影面积时，经常通过旋转、平移进行割补。三、★【难点突破】不规则图形面积的估算与计算（一）“成长的脚印”——数方格法【基础】1.方法介绍：对于形状极不规则，无法直接分割成基本图形的面积（如一片树叶、一个脚印），我们可以借助方格纸（每个小方格面积已知，如1平方厘米）来进行估算。2.估算规则：【★必会】在数方格时，我们要制定一个统一的计数标准：（1）满格：凡图形所占面积超过或等于半个小方格的，都按1格计算。（2）不满格：凡图形所占面积小于半个小方格的，都舍去不计。3.注意事项：为了提高估算的精确度，方格纸的格子越小（即单位面积越小），估算结果就越接近真实值。这种“数格子”的方法，实际上是一种用“离散”逼近“连续”的朴素思想。（二）近似图形法【热点】1.方法介绍：观察不规则图形的轮廓，看它大概接近于我们学过的哪种规则图形（如长方形、梯形、三角形等）。2.操作步骤：（1）定型：将不规则图形近似地看作一个规则图形。（2）取数：在图上量出这个近似图形的关键数据（如长方形的长和宽，梯形的上底、下底和高）。（3）计算：利用规则图形的面积公式进行计算，所得结果即为原不规则图形的近似面积。3.【典例分析】：一片枫叶的形状近似于一个梯形。用直尺量得梯形上底大约是3cm，下底大约是5cm，高大约是4cm。则这片枫叶的面积大约是多少？解：梯形面积=(上底+下底)×高÷2=(3+5)×4÷2=8×4÷2=16（平方厘米）。答：这片枫叶的面积大约是16平方厘米。四、★【拓展应用】土地面积的常用单位——公顷与平方千米（一）认识“公顷”（hm²）【基础】1.产生背景：在测量和计算广场、园林、土地等较大面积时，我们之前常用的平方米（m²）就显得太小了，使用起来不方便。因此，引入了更大的面积单位——公顷。2.定义：【★必背】边长是100米的正方形，它的面积是1公顷。3.与平方米的进率：【★核心换算】因为边长100米的正方形面积为100米×100米=10000平方米，所以1公顷=10000平方米这个进率是10000，是一个非常重要的数感建立点。（二）认识“平方千米”（km²）【基础】1.产生背景：在测量和计算一个城市、一个省份、一个国家乃至整个地球的陆地面积时，公顷这个单位也显得不够大。因此，引入了更大的面积单位——平方千米。2.定义：【★必背】边长是1000米的正方形，它的面积是1平方千米。平方千米是迄今为止我们学过的最大的面积单位。3.与平方米、公顷的进率：【★核心换算】边长1000米的正方形面积为1000米×1000米=（一百万）平方米。1平方千米=平方米又因为1公顷=10000平方米，所以1平方千米=÷10000=100公顷。即：1平方千米=100公顷【★高频考点】。（三）单位换算口诀与应用【★必考】1.换算口诀：大单位化小单位，乘以进率；小单位化大单位，除以进率。2.典型换算练习：（1）5公顷=()平方米？（想：公顷是大单位，化小单位，乘以进率10000，5×10000=50000）（2）80000平方米=()公顷？（想：平方米是小单位，化大单位，除以进率10000，80000÷10000=8）（3）3平方千米=()公顷？（想：平方千米是大单位，化小单位，乘以进率100，3×100=300）（4）400公顷=()平方千米？（想：公顷是小单位，化大单位，除以进率100，400÷100=4）（5）一个难点：2.5平方千米=()平方米？思路一：平方千米→公顷：2.5×100=250公顷；公顷→平方米：250×10000=平方米。思路二：直接利用平方千米与平方米的进率：2.5×=平方米。3.【生活实际感知】建立量感：1公顷有多大？相当于一个标准的400米跑道围起来的运动场的面积大约是1公顷。1平方千米有多大？比我们居住的社区或小镇还要大，相当于100个标准足球场的面积（一个标准足球场约0.7公顷，100个约70公顷，所以1平方千米比100个足球场还大）。五、★【第七单元】可能性——游戏规则的公平性与概率初步（一）事件发生的可能性【基础】1.确定性事件与不确定性事件：在生活与数学中，有些事件的结果是确定的（如太阳从东方升起），我们称之为确定事件；而有些事件的结果是不确定的（如明天是否会下雨），我们称之为不确定事件或随机事件。第七单元主要研究的就是随机事件发生的可能性。2.可能性的描述：我们通常用“一定”、“可能”、“不可能”来描述事件发生的确定程度。对于不确定事件，我们则用“可能性大”、“可能性小”来定性描述。（二）等可能性与游戏规则的公平性【★核心概念】1.【★必会】等可能性：是指在一个游戏或试验中，所有可能出现的结果，它们发生的可能性是相等的。2.判断规则公平性的准则：【★重中之重】游戏规则的公平性，本质上就是看参与游戏的各方获胜的可能性是否相等。如果相等，则游戏规则公平；如果不相等，则游戏规则不公平。3.【典例分析】“谁先走”的问题：（1）抛硬币：一枚硬币抛出后落地，可能正面朝上，也可能反面朝上。这两种结果出现的可能性是相等的，都是1/2。因此，用抛硬币来决定谁先走是公平的。（2）掷骰子：小明设计的规则是“点数大于3，小明先走；点数小于3，小华先走”。掷一个骰子，可能出现1、2、3、4、5、6共6种结果。其中大于3的点数有4、5、3种可能；小于3的点数有1、2，只有2种可能。因为3>2，所以小明先走的可能性大于小华，这个规则不公平。（3）修改方案：为了使规则公平，必须让双方获胜的可能性相等。可以修改为：“点数大于3，小明先走；点数小于等于3，小华先走。”这样大于3（4,5,6）还是3种情况，小于等于3（1,2,3）也是3种情况，可能性相等，游戏就公平了。或者设计为“单数小华走，双数小明走”也是公平的。4.【★热点】设计公平的游戏规则：给定一个转盘，如何设计规则使之公平？关键是要保证双方获胜的区域面积相等。（三）用分数表示可能性的大小【★难点与考点】1.计算公式：事件发生的可能性大小可以用分数来表示。可能性=该事件可能出现的结果数÷所有等可能出现的结果总数2.【典例分析】：（1）一个盒子中有5个红球和1个白球（球除颜色外完全相同）。从中任意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？摸出白球的可能性是多少？总共有5+1=6种等可能的结果。摸出红球有5种结果，所以摸出红球的可能性是5/6。摸出白球有1种结果，所以摸出白球的可能性是1/6。（2）从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽出一张，抽到红桃的可能性是多少？一副牌去掉大小王，还剩52张，花色有红桃、黑桃、梅花、方块4种，每种13张。所有等可能的结果是52种。抽到红桃的结果有13种。所以可能性是13/52=1/4。（四）【★进阶应用】可能性大小与物体数量的关系【高频考点】1.规律：在一个不透明的袋子里，当其他条件完全相同时，哪种颜色的球数量多，摸出这种颜色球的可能性就大；哪种颜色的球数量少，摸出这种颜色球的可能性就小。如果两种球数量相等，摸出它们的可能性就相等。2.【逆向思维】根据可能性推测数量：【典例分析】：一个袋子里装有白球和黄球共10个（除颜色外完全相同）。小明摸了40次，每次摸完后放回并摇匀。结果摸到白球28次，黄球12次。根据这个结果，我们可以推测：摸到白球的次数多，说明白球被摸到的可能性大，因此袋子里白球的数量很可能比黄球多。可以大胆估计白球有7个左右，黄球有3个左右。但需要注意，这只是一个基于统计数据的推测，并不是精确值。实验次数越多，推测越接近真实情况。六、★【综合能力】高频考点、易错点与思想方法总结（一）第六、七单元高频考点汇总【★必读】1.计算组合图形的面积（必考应用题或图形计算题）。常考类型包括：求“L”型图形的面积、求一面“墙”的面积（组合了三角形和长方形）、求阴影部分的面积。2.单位换算：公顷与平方米、平方千米与公顷、平方千米与平方米之间的互化（常在填空题中出现）。3.估算不规则图形的面积（常在填空或选择题中出现）。4.判断游戏规则的公平性（常以判断题或选择题形式出现，要求说明理由）。5.计算简单事件发生的可能性大小（常以填空题形式出现）。6.根据摸球实验结果，推测袋中某种颜色球的数量的多少（常出现在填空题或应用题中）。（二）【★难点】学生常见易错点诊断【重要】1.面积单位进率混淆：容易将面积单位间的进率（如10000）与长度单位间的进率（如100）混淆。务必牢记：相邻面积单位间的进率是100（如平方米、平方分米、平方厘米），但平方米和公顷之间的进率是10000，公顷和平方千米之间的进率是100。2.组合图形找错数据：计算三角形或梯形面积时，忘记除以2；或者在分割后，用错底和高，使用了不相匹配的数据。3.可能性概念模糊：错误地认为“既然只有两种结果，那么可能性就一定相等”，忽略了结果本身发生的概率可能不相等（如掷骰子比大小）。或者认为“实验次数少，结果就代表