2026初中数学几何辅助线入门训练50题-角平分线中线垂线

2026初中数学几何辅助线入门训练50题｜角平分线·中线·垂线2026初中数学几何辅助线入门训练50题_角平分线中线垂线适用对象：七年级下至九年级上需要建立几何证明入门路径的学生；也适合暑假后半段、开学摸底前、周末专题课和讲评课使用。使用场景：几何辅助线启蒙、角平分线与中线性质复习、垂线距离与平行线角度训练、全等证明规范化训练。资料构成：50道原创训练题，按角平分线、中线、垂线、平行线、全等辅助线五类编排；配学生作答卡、答案解析、画图要点、易错提醒、错题复盘表和14天二刷计划。三步使用方法：第一步先读题圈条件，写出可能的辅助线；第二步完成作答区证明或计算；第三步对照解析订正，把错因归入“不会画、找错对应、理由不完整、计算失误”四类。一、训练结构与完成建议模块题号核心辅助线达成目标角平分线辅助线1—10作两边垂线、连接顶点与等距点会把“角平分线”转化为“到两边距离相等”，会用判定反推角平分线。中线辅助线11—20连接中点、倍长中线、构造平行四边形会围绕中点证明全等、平行和线段倍半关系。垂线辅助线21—30作垂线、作垂直平分线、连接等距点会用直角三角形、距离最短、垂直平分线性质解题。平行线辅助线31—40过点作平行线、连接对角线、连中点会把角度搬移，会用平行线制造全等或中位线。全等辅助线41—50连接待证线段、延长取等长、补垂线会识别SAS、SSS、ASA、HL等常见证明入口。使用步骤学生动作教师或家长讲评关注点第1步：独立画图每题先补全图形，标出已知相等、垂直、平行、角平分线。看辅助线是否从“条件缺口”出发，而不是随意添线。第2步：写证明链按“已知—推出—定理—结论”顺序写，不跳步。重点检查全等对应、垂线距离、平行角关系是否写完整。第3步：错题二刷错题24小时内重做一次，7天后再抽做一次。记录错因类型，避免只改答案不改思路。二、辅助线选择速查表题目特征优先考虑的辅助线常用理由出现“角平分线、到角两边距离、垂足”从点向角两边作垂线，或连接角顶点与等距点角平分线性质与判定、直角三角形全等出现“中点、中线、倍半关系”连接中点，倍长中线，构造平行四边形中位线、对角线互相平分、SSS或SAS出现“垂直、距离、最短、等距点”作垂线，作垂直平分线，连接等距点直角三角形性质、垂直平分线性质与判定出现“平行、角度搬移、梯形、平行四边形”过已知点作平行线，连接对角线同位角、内错角、ASA全等、平行四边形性质出现“要证两线段相等或两角相等”连接待证线段，寻找两个三角形SAS、SSS、ASA、AAS、HL三、学生作答卡与错题记录使用说明：每题先写“拟添加的辅助线”，再完成证明或计算。订正时只改红笔结论不够，必须补上缺失理由。题号拟添加的辅助线结果/结论题号拟添加的辅助线结果/结论1262273284295306317328339341035113612371338143915401641174218431944204521462247234824492550错因类型表现订正动作不会画辅助线不知道从哪一点作垂线、平行线或连接线。回到条件，圈出“角平分线/中点/垂直/平行/相等”关键词，再选辅助线。对应关系找错全等证明中边角对应混乱。在图中用同色标出对应边、对应角，再写证明。理由不完整只写结论，未写定理或条件。按“因为……所以……”补完整，每一步只推一个结论。计算失误长度倍半、面积、高度使用错误。重新标底和高，检查单位与倍数。填写样例第16题：已知AM是中线且平分角，但漏写AM公共边。订正时补“SAS条件：BM=CM，∠BAM=∠MAC，AM=AM”。日期完成题号正确题数重点错题二刷安排第1天1—10当天订正，隔日口述思路第2天11—20当天订正，隔日口述思路第3天21—30当天订正，隔日口述思路第4天31—40当天订正，隔日口述思路第5天41—50当天订正，隔日口述思路第6天错题回练：第1模块当天订正，隔日口述思路第7天错题回练：第2模块当天订正，隔日口述思路第8天错题回练：第3模块当天订正，隔日口述思路第9天错题回练：第4模块当天订正，隔日口述思路第10天错题回练：第5模块当天订正，隔日口述思路第11天混合抽练10题当天订正，隔日口述思路第12天混合抽练10题当天订正，隔日口述思路第13天混合抽练10题当天订正，隔日口述思路第14天混合抽练10题当天订正，隔日口述思路四、50题专项训练（学生作答区）要求：每题先写辅助线，再写证明或计算过程。证明题需写清所用定理，计算题需写出关键等量关系。一、角平分线辅助线：把“相等距离”转化为全等或垂线段01.角平分线性质求距离在∠AOB中，OP平分∠AOB。点P在角的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N。已知PM=3cm，求PN。拟添加的辅助线证明或计算过程结论02.三角形内角平分线求垂线段在△ABC中，AD平分∠BAC，D在BC上。过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若DE=4cm，求DF。拟添加的辅助线证明或计算过程结论03.等距判定角平分线点P在∠AOB内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN。请证明OP平分∠AOB。拟添加的辅助线证明或计算过程结论04.利用角平分线证明线段相等在∠ABC中，BD平分∠ABC，点D在角内部。DE⊥BA于E，DF⊥BC于F。求证：DE=DF。拟添加的辅助线证明或计算过程结论05.角平分线与等长线段综合在∠AOB中，OP平分∠AOB。点C、D分别在OA、OB上，且OC=OD。求证：PC=PD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论06.角平分线中的面积等量在△ABC中，AD平分∠A，D在BC上。过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若AB=6cm，AC=8cm，DE=3cm，求S△ABD与S△ACD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论07.等距离点确定直线点P在∠XOY内部，到OX、OY的距离都为5cm。请说明点P所在的特殊直线，并给出理由。拟添加的辅助线证明或计算过程结论08.90°角中的距离计算∠AOB=90°，OP平分∠AOB。点P在OP上，过P作PM⊥OA于M。若OP=6cm，求PM的长度。拟添加的辅助线证明或计算过程结论09.角平分线判定与公共边点P在∠AOB内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N。若OM=ON，PM=PN，求证：OP平分∠AOB。拟添加的辅助线证明或计算过程结论10.角平分线中的最短距离在∠ABC中，BP平分∠ABC，点P在角内部。过P向BA、BC作垂线，垂足分别为E、F。若PE=2.8cm，说明P到BC的距离是多少，并写出所用辅助线。拟添加的辅助线证明或计算过程结论二、中线辅助线：围绕“中点”倍长、连中点或构造全等11.等腰三角形底边中线在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点。求证：AM⊥BC，且AM平分∠BAC。拟添加的辅助线证明或计算过程结论12.直角三角形斜边中线在Rt△ABC中，∠A=90°，M是斜边BC的中点。求证：AM=BM=CM。拟添加的辅助线证明或计算过程结论13.三角形中位线求长度在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE。若BC=14cm，求DE，并说明理由。拟添加的辅助线证明或计算过程结论14.用中线证明线段平行在△ABC中，M是BC的中点。延长AM到D，使MD=AM。求证：AB∥CD，AC∥BD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论15.等腰三角形中的中线判定在△ABC中，M是BC的中点，AM⊥BC。求证：AB=AC。拟添加的辅助线证明或计算过程结论16.中位线反推第三边在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE=5cm。求BC的长度。拟添加的辅助线证明或计算过程结论17.中线与角平分综合判等腰在△ABC中，AM是BC边上的中线，且∠BAM=∠MAC。求证：AB=AC。拟添加的辅助线证明或计算过程结论18.中点与平行关系在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上的点。若DE∥BC，求证：E是AC的中点。拟添加的辅助线证明或计算过程结论19.利用中点求周长在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。若DE=6cm，AB=10cm，AC=12cm，求△ADE的周长。拟添加的辅助线证明或计算过程结论20.中线辅助线证明线段关系在△ABC中，AM是BC边上的中线。延长AM至D，使MD=AM。若AB=8cm，AC=6cm，求CD、BD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论三、垂线辅助线：用直角、距离、垂直平分线打开证明21.垂直平分线性质直线l垂直平分线段AB，点P在l上。求证：PA=PB。拟添加的辅助线证明或计算过程结论22.等距点判定垂直平分线已知PA=PB。设M是AB的中点，连接PM。求证：PM⊥AB。拟添加的辅助线证明或计算过程结论23.等腰三角形高的性质在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D。求证：BD=DC，且AD平分∠A。拟添加的辅助线证明或计算过程结论24.点到直线的距离最短点P在直线l外，PA⊥l于A，B是l上另一点。求证：PA<PB。拟添加的辅助线证明或计算过程结论25.三点等距确定圆心点O到三角形ABC的三个顶点距离相等，即OA=OB=OC。请说明O与AB、AC垂直平分线的关系。拟添加的辅助线证明或计算过程结论26.两条平行线间距离已知直线m∥n，点A、B在m上，过A、B分别作AC⊥n于C，BD⊥n于D。求证：AC=BD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论27.垂线与角度计算在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=35°。求∠BAD的度数。拟添加的辅助线证明或计算过程结论28.垂线中的等腰判定在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=DC。求证：AB=AC。拟添加的辅助线证明或计算过程结论29.两点到同一直线的距离点A、B在直线l的同侧，AC⊥l于C，BD⊥l于D。若AC=BD，求证：AB∥CD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论30.等底等高面积在△ABC中，D是BC上一点，AD⊥BC。若BD=DC，求证：S△ABD=S△ACD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论四、平行线辅助线：补平行、连对角线、制造同位角与内错角31.平行四边形对边相等四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC。连接AC，求证：AB=CD，AD=BC。拟添加的辅助线证明或计算过程结论32.过中点作平行求长度在△ABC中，D是AB的中点。过D作DE∥AC交BC于E。若AC=12cm，求DE。拟添加的辅助线证明或计算过程结论33.三角形内角和辅助线在△ABC中，过点A作直线l∥BC。请用这条辅助线说明∠A+∠B+∠C=180°。拟添加的辅助线证明或计算过程结论34.中位线证明平行在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC。拟添加的辅助线证明或计算过程结论35.等腰梯形底角在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。过D作DE∥BC交AB于E。求证：∠A=∠B。拟添加的辅助线证明或计算过程结论36.用平行线证三角形全等在平行四边形ABCD中，连接BD。求证：△ABD≌△CDB。拟添加的辅助线证明或计算过程结论37.平行辅助线求角在△ABC中，∠A=48°，∠B=72°。过C作CD∥AB，点D在C的右侧。求∠ACD的度数。拟添加的辅助线证明或计算过程结论38.平行线与角平分综合在△ABC中，D是AC上一点，BD平分∠ABC。过D作DE∥BA交BC于E。若∠ABC=80°，求∠BDE。拟添加的辅助线证明或计算过程结论39.平行线判定中点在△ABC中，D是AB的中点，过D作DE∥BC交AC于E。求证：AE=EC。拟添加的辅助线证明或计算过程结论40.平行四边形面积拆分在平行四边形ABCD中，连接AC。求证：S△ABC=S△ACD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论五、全等辅助线：连接、延长、取等长，锁定对应关系41.等腰三角形中的对称线段在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE。求证：AD=AE。拟添加的辅助线证明或计算过程结论42.SAS基础证明已知△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D。求证：BC=EF。拟添加的辅助线证明或计算过程结论43.公共边构造全等在四边形ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠DCB。求证：AC=DB。拟添加的辅助线证明或计算过程结论44.等量分段证明线段相等在△ABC中，AB=AC。点D在AB上，点E在AC上，且AD=AE。求证：BD=CE。拟添加的辅助线证明或计算过程结论45.角平分线由SSS证明在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD。求证：AC平分∠BAD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论46.角平分线上的等距点在∠AOB中，OP平分∠AOB。点C、D分别在OA、OB上，且OC=OD。求证：PC=PD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论47.SSS证明底边中线全等在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点。连接AD。求证：△ABD≌△ACD。拟添加的辅助线证明或计算过程结论48.直角全等证明距离相等在∠AOB的角平分线OP上取一点P。过P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N。求证：PM=PN。拟添加的辅助线证明或计算过程结论49.倍长法构造全等在△ABC中，AD是BC边上的中线。延长AD到E，使DE=AD。求证：BE∥AC。拟添加的辅助线证明或计算过程结论50.全等证明角平分线与距离在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点。过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。拟添加的辅助线证明或计算过程结论五、答案解析与画图要点核对方式：先看“思路提示”，确认辅助线方向；再看“解答”；最后用“画图要点”和“易错点”检查自己的订正是否完整。一、角平分线辅助线解析：把“相等距离”转化为全等或垂线段题目01.角平分线性质求距离思路提示看到“点在角平分线上”，先补出点到角两边的垂线段。解答因为OP平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，所以点P到角两边的距离相等，即PM=PN。已知PM=3cm，故PN=3cm。画图要点画出角AOB后，让OP从顶点O出发落在角内部；从P分别向OA、OB作垂线，垂足标为M、N。易错点误把OP当成距离；距离必须是垂线段的长度。题目02.三角形内角平分线求垂线段思路提示把D看成角A内部一点，连接AD已经给出角平分线。解答AD平分∠BAC，点D在角的内部；DE、DF分别是D到AB、AC的距离。根据角平分线性质，DE=DF，所以DF=4cm。画图要点先画△ABC，再画AD到BC；从D向AB、AC分别作垂线，注意垂足在线段或其延长线上时都要标清。易错点只写“角平分线上的点相等”不够，要说明DE、DF都是到两边的垂线距离。题目03.等距判定角平分线思路提示由“到角两边距离相等”想到角平分线判定；证明时也可证Rt△OPM≌Rt△OPN。解答在Rt△OPM和Rt△OPN中，OP为公共斜边，PM=PN，且∠OMP=∠ONP=90°。由斜边和一条直角边对应相等，可得Rt△OPM≌Rt△OPN。因此∠MOP=∠PON，即OP平分∠AOB。画图要点先画角，再在角内取P；从P分别向两边作垂线，最后连OP。易错点不能只凭“看起来在中间”判断平分，必须用距离相等或全等说明。题目04.利用角平分线证明线段相等思路提示结论是两条垂线段相等，直接套用角平分线性质。解答因为BD平分∠ABC，点D在角内部，且DE⊥BA、DF⊥BC，所以DE、DF分别是D到角两边BA、BC的距离。由角平分线性质可得DE=DF。画图要点∠ABC的顶点是B，角平分线BD从B出发；不要把D画到角外。易错点垂足E、F不要随意落在BD上；它们应分别落在BA、BC上。题目05.角平分线与等长线段综合思路提示连接PC、PD，利用OP公共边、OC=OD以及夹角相等。解答在△POC和△POD中，OP为公共边，OC=OD，且∠COP=∠POD（OP平分∠AOB）。由SAS可得△POC≌△POD，所以PC=PD。画图要点画出角AOB，在两边上取C、D使OC、OD标成相等，再连PC、PD。易错点不要先作垂线；本题已有两边上的等长线段，更适合直接证两个三角形全等。题目06.角平分线中的面积等量思路提示先由角平分线性质得到DF，再用“底×高÷2”。解答AD平分∠A，且DE⊥AB、DF⊥AC，所以DE=DF=3cm。S△ABD=AB×DE÷2=6×3÷2=9cm²；S△ACD=AC×DF÷2=8×3÷2=12cm²。画图要点画△ABC时让AD落在BC上；从D分别向AB、AC作垂线，标注DE=DF。易错点容易把DE当作△ACD的高；△ACD以AC为底时高是DF。题目07.等距离点确定直线思路提示距离相等不是求长度，而是判定P在角平分线上。解答点P到∠XOY两边OX、OY的距离相等，所以P在∠XOY的角平分线上。连接OP，则OP平分∠XOY。画图要点先画∠XOY与点P，再从P向两边作垂线并标注两个5cm，最后连OP。易错点不能说“P是角平分线”，准确说法是“P在角平分线上”。题目08.90°角中的距离计算思路提示在45°直角三角形OPM中，∠POM=45°。解答OP平分90°角，所以∠POM=45°。△OPM为直角三角形，且有一个锐角45°，因此它是等腰直角三角形，PM=OM。由勾股关系OP²=OM²+PM²=2PM²，故PM=3√2cm。画图要点画直角AOB，角平分线OP应成45°；从P向OA作垂线。易错点若未学含根式计算，可保留“PM=OP×sin45°=3√2cm”；不要写成3cm。题目09.角平分线判定与公共边思路提示先证△OMP≌△ONP，再得到顶点处角相等。解答在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM=ON，PM=PN，且∠OMP=∠ONP=90°。由两直角边对应相等，可得Rt△OMP≌Rt△ONP，所以∠MOP=∠PON。故OP平分∠AOB。画图要点画垂足M、N后，把OM、ON标为相等，PM、PN标为相等。易错点不能直接由OM=ON推出角平分线；需要结合两条垂线段相等完成全等。题目10.角平分线中的最短距离思路提示P到BC的距离就是从P向BC作的垂线段PF。解答所用辅助线为PE⊥BA、PF⊥BC。因为BP平分∠ABC，所以角平分线上点P到角两边的距离相等，即PE=PF。已知PE=2.8cm，所以P到BC的距离PF=2.8cm。画图要点顶点是B，角平分线BP从B出发；垂线段必须从P作到两边。易错点“P到BC的距离”不能写成PB或PC。二、中线辅助线解析：围绕“中点”倍长、连中点或构造全等题目11.等腰三角形底边中线思路提示连接AM后证△ABM≌△ACM。解答因为M是BC的中点，所以BM=CM。又AB=AC，AM为公共边，所以△ABM≌△ACM。于是∠AMB=∠AMC。两角互为邻补角且相等，故各为90°，AM⊥BC；同时∠BAM=∠MAC，AM平分∠BAC。画图要点先画等腰△ABC，再在BC上标出中点M，连AM。易错点只证明垂直不等于证明角平分，要把两个结论都写出对应理由。题目12.直角三角形斜边中线思路提示倍长AM到D，使MD=AM，再证四边形ABDC为矩形。解答因为M是BC中点，BM=CM。延长AM到D，使MD=AM，则对角线AD与BC互相平分，四边形ABDC为平行四边形。又∠A=90°，所以ABDC是矩形，矩形对角线相等，即AD=BC。由于M是AD和BC的中点，AM=BM=CM。画图要点画直角△ABC时把BC画成斜边；在AM延长线上取D，使MD=AM。易错点辅助点D必须在AM的延长线上，不能随意取在三角形外。题目13.三角形中位线求长度思路提示两个中点出现，优先连结中点形成中位线。解答D、E分别是AB、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线。中位线平行于第三边且等于第三边的一半，故DE=1/2BC=7cm。画图要点在AB、AC上分别标D、E，再连DE；DE应大致与BC平行。易错点不要把DE算成14cm；中位线长度是第三边的一半。题目14.用中线证明线段平行思路提示利用对角线互相平分判定平行四边形。解答因为M是BC的中点，所以BM=CM；又MD=AM，所以M也是AD的中点。四边形ABDC的两条对角线AD、BC互相平分，因此ABDC是平行四边形。故AB∥CD，AC∥BD。画图要点先连AM并延长到D；注意四边形顺序为A-B-D-C。易错点写平行四边形时顶点顺序容易错，顺序错会导致对应边判断错。题目15.等腰三角形中的中线判定思路提示连接AM后，两个直角三角形共享AM，且BM=CM。解答因为M是BC中点，所以BM=CM。又AM⊥BC，∠AMB=∠AMC=90°，AM为公共边。由SAS或直角三角形两直角边对应相等可得△AMB≌△AMC，所以AB=AC。画图要点M在BC上，AM必须垂直BC；画出直角符号。易错点不能由“中线”直接推出等腰，必须再用垂直条件证全等。题目16.中位线反推第三边思路提示中位线等于第三边的一半。解答D、E是两边中点，所以DE是△ABC的中位线，DE=1/2BC。因此BC=2DE=10cm。画图要点把D、E画在同一三角形的两边上，连DE后与BC保持平行趋势。易错点“中位线”不是“中线”，名称混淆会导致性质用错。题目17.中线与角平分综合判等腰思路提示已知AM既是中线又平分顶角，直接证△ABM≌△ACM。解答因为AM是BC边上的中线，所以BM=CM。又∠BAM=∠MAC，AM为公共边。由SAS可得△ABM≌△ACM，所以AB=AC。画图要点画AM落在BC上，M为中点；顶角A处两角标成相等。易错点不要把∠BAM=∠MAC写成∠B=∠C，已知角在A处。题目18.中点与平行关系思路提示可借助中位线定理的逆向理解，或过D作平行线唯一性。解答过AB中点D作BC的平行线，与AC交于E。根据三角形中位线定理的逆命题：经过一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。因此AE=EC，E是AC的中点。画图要点D在AB中点处，DE要画成与BC平行并交AC于E。易错点平行线位置要准确，不能让DE与BC相交。题目19.利用中点求周长思路提示先求AD、AE，再用中位线得到DE。解答D是AB中点，所以AD=5cm；E是AC中点，所以AE=6cm；DE已知为6cm。因此△ADE的周长为5+6+6=17cm。画图要点在两边上标出中点D、E，连接DE。易错点不要把AE算成12cm；中点把线段分成两段相等。题目20.中线辅助线证明线段关系思路提示倍长中线后形成平行四边形，找到对应边。解答由M是BC中点且MD=AM可知四边形ABDC为平行四边形。平行四边形对边相等，所以CD=AB=8cm，BD=AC=6cm。画图要点延长AM到D，连接BD、CD，四边形顺序按A-B-D-C理解。易错点对应边不能写反：CD对应AB，BD对应AC。三、垂线辅助线解析：用直角、距离、垂直平分线打开证明题目21.垂直平分线性质思路提示连接PA、PB，利用P在线段AB的垂直平分线上。解答因为l垂直平分AB，所以l上任意一点到A、B两点的距离相等。点P在l上，因此PA=PB。也可设l交AB于M，证Rt△PMA≌Rt△PMB。画图要点画AB及其中点M，过M作AB的垂线l，再在l上取P并连接PA、PB。易错点不能只写“垂直”就推出相等，还需要“平分”。题目22.等距点判定垂直平分线思路提示连接PA、PB后证△PMA≌△PMB。解答因为M是AB中点，所以AM=BM。又PA=PB，PM为公共边。由SSS可得△PMA≌△PMB，所以∠PMA=∠PMB。两角互为邻补角且相等，故均为90°，PM⊥AB。画图要点先画AB中点M，再连PM、PA、PB。易错点证明的是PM垂直AB，不是P垂直AB；点不能“垂直”直线。题目23.等腰三角形高的性质思路提示两个直角三角形△ABD与△ACD可用HL证明全等。解答在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD为公共直角边。由HL可得Rt△ABD≌Rt△ACD，所以BD=DC，∠BAD=∠DAC，即AD平分∠A。画图要点AD从顶点A垂到BC，垂足D在BC上；标出两个直角。易错点不能把高线性质用于任意三角形；这里关键是AB=AC。题目24.点到直线的距离最短思路提示连接PB，△PAB是直角三角形，PB是斜边。解答因为PA⊥l且B在l上，所以∠PAB=90°。在Rt△PAB中，PB为斜边，斜边大于任一直角边，因此PB>PA，即PA<PB。画图要点画直线l，在外取P，从P向l作垂线PA，再在l上取B并连接PB。易错点若B与A重合则PB=PA；题中“另一点”排除了这种情况。题目25.三点等距确定圆心思路提示由OA=OB可判定O在AB的垂直平分线上；由OA=OC同理。解答因为OA=OB，所以O在AB的垂直平分线上；因为OA=OC，所以O在AC的垂直平分线上。因此O是AB、AC两条垂直平分线的交点。画图要点画△ABC后连接OA、OB、OC，再分别作AB、AC的垂直平分线。易错点不要说O一定在三角形内部；钝角三角形时可能在外部。题目26.两条平行线间距离思路提示平行线间的垂线段长度相等，可通过构造矩形证明。解答因为m∥n，AC⊥n，BD⊥n，所以AC∥BD，且AC、BD都垂直于n。又A、B在m上，C、D在n上，四边形ACDB为矩形，因此AC=BD。画图要点画两条平行直线，上方为m，下方为n；从A、B向n作垂线。易错点垂线段要同向画出，否则四边形顺序和矩形判断容易混乱。题目27.垂线与角度计算思路提示看△ABD，它是直角三角形。解答因为AD⊥BC，且D在BC上，所以∠ADB=90°。在△ABD中，∠BAD=180°-90°-35°=55°。画图要点画△ABC时D落在BC上；AD与BC处标直角。易错点不要在整个△ABC中直接用∠C；本题只需看△ABD。题目28.垂线中的等腰判定思路提示两个直角三角形△ABD与△ACD共用AD，且BD=DC。解答因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。又BD=DC，AD为公共边。由SAS可得Rt△ABD≌Rt△ACD，所以AB=AC。画图要点D是BC上的中点，同时AD垂直BC，图上要标中点和直角。易错点“BD=DC”只是中线条件，必须结合垂直才能得到等腰。题目29.两点到同一直线的距离思路提示同侧等距可构造矩形或平行线。解答因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD。又AC=BD，且C、D在同一直线l上，四边形ACDB有一组对边平行且相等，因此ACDB为平行四边形。于是AB∥CD。画图要点画直线l，A、B在同侧；垂足C、D在l上，连接AB、CD。易错点A、B若在异侧，结论不一定成立；同侧条件要使用。题目30.等底等高面积思路提示两个三角形以BD、DC为底，共用高AD。解答因为BD=DC，且AD⊥BC，所以△ABD以BD为底的高为AD，△ACD以DC为底的高也为AD。两三角形等底等高，面积相等。画图要点画BC为底，D在BC上；AD垂直BC，两个小三角形共享高AD。易错点不要用边角全等硬证；面积题等底等高更直接。四、平行线辅助线解析：补平行、连对角线、制造同位角与内错角题目31.平行四边形对边相等思路提示连接AC后，用平行线产生两组角相等，再证三角形全等。解答连接AC。因为AB∥CD，所以∠BAC=∠DCA；因为AD∥BC，所以∠BCA=∠DAC。又AC为公共边，故△ABC≌△CDA（ASA），所以AB=CD，AD=BC。画图要点画四边形时保持两组对边平行，连AC成为两个三角形。易错点平行对应的角不要找错：AB∥CD配合截线AC。题目32.过中点作平行求长度思路提示经过一边中点并平行于另一边，得到中位线。解答D是AB中点，且DE∥AC，所以E是BC的中点，DE是△ABC的中位线。故DE=1/2AC=6cm。画图要点D在AB中点处，从D作线段DE与AC平行，交BC于E。易错点DE平行的是AC，不是BC，因此DE等于AC的一半。题目33.三角形内角和辅助线思路提示利用平行线的内错角，把∠B、∠C搬到A点附近。解答过A作l∥BC。AB与两平行线相交，∠B等于l与AB形成的内错角；AC与两平行线相交，∠C等于l与AC形成的内错角。三角形的三个角在A点同侧拼成平角，所以∠A+∠B+∠C=180°。画图要点在A点画一条与BC平行的直线，注意把∠B、∠C对应搬到A点两侧。易错点角搬移后要说明由“内错角相等”得到，不要只画图不写理由。题目34.中位线证明平行思路提示连结两边中点形成中位线。解答D、E分别是AB、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线。由中位线性质，DE∥BC，且DE=1/2BC。画图要点D、E要分别在AB、AC上，连成的小线段应与BC同向。易错点不要把“中线”写成“中位线”；中位线连接两个中点。题目35.等腰梯形底角思路提示过D作BC的平行线，把梯形转化为平行四边形与等腰三角形。解答因为DE∥BC且AB∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形，故DE=BC。又AD=BC，所以AD=DE，△ADE为等腰三角形，∠DAE=∠AED。由于DE∥BC，∠AED=∠ABC。因此∠A=∠B。画图要点画AB∥CD的梯形，过D作线与BC平行并交AB于E。易错点E点应落在AB上；若画在外部，角的对应关系要重新说明。题目36.用平行线证三角形全等思路提示利用AB∥CD、AD∥BC产生两对内错角。解答因为AB∥CD，所以∠ABD=∠CDB；因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD。又BD为公共边，故△ABD≌△CDB（ASA）。画图要点画平行四边形ABCD，连接BD，两个三角形在对角线两侧。易错点公共边BD要写进证明，否则条件不完整。题目37.平行辅助线求角思路提示CD∥AB，AC是截线，所以∠ACD与∠CAB是内错角或同位角。解答因为CD∥AB，AC为截线，所以∠ACD=∠CAB=48°。画图要点先画△ABC，再过C画与AB平行的射线CD；D在C右侧只是确定方向。易错点不要把∠ACD写成∠B；对应的是与AB相关的∠A。题目38.平行线与角平分综合思路提示BD平分角先得∠ABD，再用平行线找内错角。解答BD平分∠ABC，所以∠ABD=40°。又DE∥BA，BD为截线，因此∠BDE=∠DBA=40°。画图要点D在三角形内或边上要按题意画清；DE与BA保持平行。易错点角的顶点要看清：∠BDE在D处，不是∠DEB。题目39.平行线判定中点思路提示经过一边中点作第三边平行线，可判定另一边被平分。解答因为D是AB的中点，且DE∥BC，所以DE是△ABC的中位线。故E是AC的中点，AE=EC。画图要点D在AB中点，DE平行BC，交AC于E。易错点此题不是证明DE=BC，而是证明E为中点。题目40.平行四边形面积拆分思路提示对角线把平行四边形分成两个全等三角形。解答连接AC。由AB∥CD、BC∥AD及AC公共边，可证△ABC≌△CDA，因此两个三角形面积相等。也可说它们分别以AB、CD为底，底相等且高相等。画图要点画平行四边形后连AC，注意两个三角形共用AC。易错点面积相等不一定要先算面积；全等或等底等高都可。五、全等辅助线解析：连接、延长、取等长，锁定对应关系题目41.等腰三角形中的对称线段思路提示先由AB=AC得到∠B=∠C，再证△ABD≌△ACE。解答因为AB=AC，所以∠B=∠C。又BD=CE，AB=AC，故△ABD≌△ACE（SAS）。因此AD=AE。画图要点在BC上按顺序画B-D-E-C或B-E-D-C时要使BD、CE标等；连接AD、AE。易错点如果D、E位置顺序不同，仍需看清BD、CE对应，不要把DE误当已知。题目42.SAS基础证明思路提示两个边及其夹角对应相等，直接用SAS。解答在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，且∠A=∠D，这两条边的夹角对应相等。因此△ABC≌△DEF（SAS），所以BC=EF。画图要点两个三角形可分开画，标清A对应D、B对应E、C对应F。易错点夹角必须是两条已知边的夹角；若角不夹在两边之间，不能用SAS。题目43.公共边构造全等思路提示观察△ABC与△DCB，它们有公共边BC。解答在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC为公共边。由SAS可得△ABC≌△DCB，所以AC=DB。画图要点画四边形时让BC作为两个三角形的公共边；连接AC、DB表示待证边。易错点题中公共边是BC，不是AC或BD。题目44.等量分段证明线段相等思路提示把整段相等减去相等部分。解答因为AB=AC，且AD=AE，所以AB-AD=AC-AE，即BD=CE。画图要点在AB、AC上分别取D、E，标出AB=AC和AD=AE。易错点本题不必复杂证全等，线段差相等更简洁。题目45.角平分线由SSS证明思路提示连接AC，构造△ABC和△ADC。解答连接AC。在△ABC和△ADC中，AB=AD，CB=CD，AC为公共边。由SS