广东深圳市某校2025-2026学年高二下学期期末学业质量检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东深圳市某校2025-2026学年高二下学期期末学业质量检测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知集合，，则（

）A. B. C. D.2.已知向量，，若，则（

）A. B. C. D.3.的展开式中的系数为（

）A. B. C. D.4.函数的图象大致为（

）A. B.

C. D.5.记等比数列的前项和为，若，，则（

）A. B. C. D.6.某学校开设人工智能、机器人、大数据三门选修课，四名学生每人随机选修一门．若每门课程至少有1人选修，则选修机器人的人数多于选修大数据的人数的概率为（）A. B. C. D.7.已知函数在区间上单调递增，，，则（

）A. B. C. D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为（

）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.掷一枚质地均匀的骰子次，掷出的点数分别记为，，，．若这四个数中最大的数为，则下列结论可能成立的是（

）A.，，，的平均数为，极差为

B.，，，的平均数为，方差为

C.，，，的中位数为，极差为

D.，，，的中位数为，方差为10.已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（

）A.的最小值为 B.四边形的面积可能为

C.直线的斜率存在 D.直线过定点11.设函数，则（

）A.当时，

B.直线是曲线的切线

C.点是曲线的对称中心

D.存在，，使得当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数，则

．13.记等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，

．14.劳动实践课上制作圆柱体模型，已知该圆柱的体积为，若用锡纸完整包裹其表面，则所需锡纸面积的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)袋子中有个大小质地完全相同的小球，其中个黑球，个白球，从中不放回地依次随机摸出个球．(1)分别求第一次、第二次取到白球的概率；(2)用表示摸出的个球中白球的个数，求的分布列和期望．16.(本小题15分)已知，，分别为的内角，，的对边，且．(1)求；(2)若，的面积为，求的周长．17.(本小题15分)如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，，，分别为，的中点，且．(1)证明：平面；(2)若，且，求平面与平面夹角的余弦值．18.(本小题17分)设函数．(1)证明：；(2)设函数，其中．(i)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；(ii)设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论．19.(本小题17分)已知椭圆过点，且离心率为．(1)求的标准方程；(2)设的左、右焦点分别为，，为直线上的动点，斜率为的直线与交于，两点，斜率为的直线与交于，两点.(i)证明：为定值；(ii)若，求的坐标．

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】

13.【答案】5

14.【答案】

15.【答案】解：（1）设事件“第一次取到白球”，则“第一次取到黑球”，事件“第二次取到白球”.依题意，，，，，因此，所以第一次取到白球的概率为、第二次取到白球的概率为.（2）的可能取值为1,2,3，则，，，的分布列为：X123P.

16.【答案】解：（1）由已知得，，由正弦定理，得，由于，化简得，由于，则，于是，由于，则，于是，则，故．（2）由（1）及条件知，，得，由余弦定理，得，即，即，故的周长为．

17.【答案】解：(1)证明：∵四边形为矩形，且为的中点

取中点，连接，，因则,且,又因是的中点，且，，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又∵平面，平面∴平面.（2）在矩形中，，又∵面平面，平面平面，平面∴平面∵，

，，平面

∴平面∵∴平面又∵平面

∴方法一：以为原点建立空间直角坐标系如图所示，∵，∴∴，，，，∴，设平面的法向量为故可取依题意，可取为平面的一个法向量，∴设平面与平面夹角为，则∴平面与平面夹角的余弦值为.方法二：∵且，平面，平面，∴平面，又由(1)得,因平面，平面，则平面，又，平面，∴平面平面，∴平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角，∵平面，平面，∴，又∵平面平面，，∴平面与平面夹角为，在中，，∴平面与平面夹角的余弦值为.

18.【答案】解：(1)设函数，定义域为，

，

当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，

则，∴得证.(2)(i)，，其中，则，

令，，则，在恒成立，则在上单调递减，

由，得，，根据零点存在定理，在存在唯一解，记为，即，且，

当时，，，单调递增；当时，，，则单调递减，是唯一极值点，且为极大值点，

由（1）得，即，且有，则在上存在一个零点，记为，根据单调性可知，在区间不存在其他零点，

综上，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点.(ii)，证明如下：由题意可得，且，，则，，即，，即，

由（1）得时，，且，即，两边取对数，得，

移项得，得证．

19.【答案】解：（1）由题意，可得，解得，故椭圆的标准方程为.(2)(i)由题可知直线，的斜率存在，设点，，，，，