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2026年数学奥林匹克竞赛核心考点试题及答案1.设正实数a,b,c满足a+b+c=3，证明：∑≥解答：首先由均值不等式，对任意正实数x，有+1≥2x，故2+2≥4b接下来用柯西不等式（Titu引理）：∑只需证明∑+2∑a≤9。由排序不等式，∑a≤∑，故只需证3∑≤9即2.锐角△ABC中，∠BAC=60°，点D、E分别在边AB、AC上，满足BD=C解答：设BC=a，AB=c，AC=b，由正弦定理，=2R，故R=O接下来求D、E对应的复数：BD=BC=a，故|dv|=a，又D在AB上，故d=vF是DE中点，故f=要证OF⊥DE，只需证复数为纯虚数，即f―(e−d)e−由正弦定理，===2R，故a=R，b=au又(1−)w(1−)v=(w−3.求所有正整数n，使得n!解答：首先对小正整数n逐一验证：n=1时，1!+2026=2027n=2时，2!+2026=2028n=3时，3!+2026=2032，=n=4时，4!+2026=24+2026n=5时，5!+2026=120+2026n=6时，6!+2026=720+2026当n≥6时，n!包含因子4，故n!≡0综上，不存在正整数n使得n!4.一次竞赛共有2026名选手参赛，每两名选手之间都要进行一场比赛，每场比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局。证明：无论比赛结果如何，都可以选出3名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A，或者所有选手的得分可以排成一个严格递增的等差数列。解答：该竞赛的胜负关系对应一个n=情况1：该竞赛图是传递竞赛图。传递竞赛图的定义是对任意三个顶点u、v、w，若u胜v，v胜w，则u胜w，此时可以将所有顶点按胜负关系排序为胜，胜，…，胜，此时的得分为2026−i，得分序列为2025,2024,…,0情况2：该竞赛图不是传递竞赛图。

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