第11讲等边三角形的性质与判定定理(原卷版+解析)

第11讲等边三角形的性质与判定定理1．掌握等边三角形的判定方法；2．掌握等边三角形的性质；3、掌握等边三角形与等腰三角形的区别与联系；知识点：等边三角形的性质与判定等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。总结：图形等腰三角形等边三角形性

质两条边都相等三条边都相等两个角都相等三个角都相等，且都是60º底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合

每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合对称轴（1条）对称轴（3条）等腰三角形和等边三角形对比②等腰三角形和等边三角形的判定图形等腰三角形等边三角形判定从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形考点一：等边三角形的判定定理1例1．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．有一个角为的三角形是等边三角形； B．三边相等的三角形是等边三角形C．三个角相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形【变式训练】1．（2023秋·广东河源·八年级校考期末）适合条件的三角形是（

）A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形2．（2022秋·青海西宁·八年级校考期末）在中，，若使为正三角形，请你再添一个条件：___________．3．（2022春·七年级单元测试）已知，如图，，，，求证：为等边三角形．

考点二：等边三角形的判定定理2例2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知是的三边，且满足，则此三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．以上都不对【变式训练】1．（2022秋·山东泰安·八年级校考期中）a、b、c是的三边，且，那么的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形2．（2022春·广东梅州·八年级统考期末）已知a，b，c是的三边的长，且满足，则的形状为______三角形．3．（2023春·广西贵港·七年级统考期中）若分别为三边的长．(1)若满足，试判断的形状，并说明理由；(2)若满足，试判断的形状，并说明理由．考点三：等边三角形的判定定理3例3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③【变式训练】1．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（

）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④2．（2020秋·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期中）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有______________（填序号）．3．（2023·广西·模拟预测）如图，在中，．(1)请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)连接，若，证明为等边三角形．考点四：等边三角形的性质例4．（2023·湖南永州·校考三模）如图，，为等边三角形，，则等于（

）

A．. B． C． D．【变式训练】1．（2023·河北·统考中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（

）

A． B． C． D．2．（2023春·全国·七年级期末）如图，为等边三角形，点D为边上一点，先将三角板角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板角的两边分别与边、交于点E、点F，当时，如图（2）所示．求证：．3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．(1)求证：；(2)求．考点五：等边三角形的判定和性质综合例5．（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（

）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）已知是等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为D，延长至点Q，使，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边的边长为4，那么线段的长为（）A．1 B．2 C． D．2．（2023秋·陕西延安·八年级统考期末）如图，，，，，若，，且长为奇数，则的长为____________．3．（2022春·七年级单元测试）已知：如图，点D在等边三角形的边上，延长至点E使，连接交A与点F．

(1)求证：；(2)过点D作于G，若等边三角形的边长为6，求的长．1．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（

）A．5 B． C． D．2．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，在中，，AD平分，，，，则AC的长为（）A．9 B．8 C．6 D．73．（2020·四川宜宾·统考中考真题）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（

）

A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．不等边三角形4．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，将两个相同的含角的直角三角形摆放在一起，借助这个图形，探究的直角边与斜边之间的数量关系，给出下列两种解法：嘉嘉：解：∵两个含角的直角三角尺相同，∴，，∴是等腰三角形，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴琪琪：解：∵通过测量可得，∴，∴.下列说法正确的是（

）

A．嘉嘉的解法对，琪琪的解法不对 B．嘉嘉的解法不对，琪琪的解法对 C．嘉嘉、琪琪的解法都对 D．嘉嘉、琪琪的解法都不对5．（2023·吉林长春·一模）如图，已知线段，分别以点A、B为圆心，长为半径作圆弧，两弧相交于点C、D，连接，交线段于点E，以点E为圆心，长为半径作圆弧，交线段于点F，连接、，则的度数为（

）A． B． C． D．6．（2023·河南驻马店·统考一模）如图，点为线段上一点，以和为边在线段同侧作等边和等边，连接与交于点，连接与相交于点、与相交于点，连接，（1）绕点顺时针旋转与重合

（2）绕点逆时针旋转与重合

（3）

（4）

（5）平分．以上结论错误的个数为(

)个．A．3 B．2 C．1 D．07．（2023·江西·统考中考真题）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm．

8．（2020·湖北宜昌·中考真题）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则________米．9．（2020·浙江台州·统考中考真题）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____．10．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到，使，求证：．11．（2023·北京·校联考一模）同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．已知在中，，，求证：．法一：如图1，在上取一点D，使得，连接．法二：如图2，延长到D，使得，连接．你选择方法．证明：12．（2023·黑龙江·统考三模）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接．(1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________；(2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．1．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）下列命题是假命题的是(

)A．对顶角相等B．三角形内角和为C．有一个角是的三角形是等边三角形D．等腰三角形的两个底角相等．2．（2022秋·八年级课时练习）下列条件中，不能判断是等边三角形的是（

）．A．， B．，C． D．3．（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b、c是三条边的长，且满足条件，则的形状是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，过边长为的等边三角形的边上的一点作于点，为的延长线上一点．当时，连接交边于点，则的长为（

）A． B． C． D．不能确定5．（2022秋·海南海口·九年级海南华侨中学校考期末）如图，在中，，D是边BC上的中点，若，，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．126．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，，M，N分别是射线上的动点，平分，，则的周长的最小值为（）A．9 B． C．6 D．277．（2022秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于则下列结论：①；②；③为等边三角形；④其中正确的是（）A．②④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④8．（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校考开学考试）如图，已知，平分，，若，，则的长是(

)A．4.5 B．5 C．5.5 D．69．（2023春·广东河源·八年级校考期中）在中，，，，则的周长是___________．10．（2023秋·八年级单元测试）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图，衣架杆，若衣架收拢时，，则此时两点之间的距离为______．11．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）在中，，，则___________．12．（2023春·全国·八年级专题练习）将两个直角三角形如图放置，其中，，，，与交于点，则_____．13．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）如图，为等边三角形，为边上的高，为边上的一点，且．则______．14．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，是边的中点，，，，若，则线段长度的最大值是_____．15．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，AC＝BC，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．（1）求证：CD＝CE；（2）若点A为CD的中点，求∠C的度数．16．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，．(1)求证：．(2)若，猜想的形状并证明．17．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，作，截取，连接、．求证：(1)求证：；(2)试判断的形状，并说明理由．18．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足．(1)若，则的度数为______，的角度为______；(2)求证：是等腰三角形；(3)当是等边三角形时，求的度数．19．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）如图，中，，，点D在边上，连接并延长到E，且，连接，在上截取，连接．(1)求证：；(2)判断的形状，并说明理由．20．（2023春·上海闵行·七年级统考期末）已知在等边中，点是边上一点，点是延长线上一点，．

(1)如图1，如果点是的中点，说明；(2)如图2，如果点是上任意一点（不与点、重合），还成立吗？请说明理由．

第11讲等边三角形的性质与判定定理1．掌握等边三角形的判定方法；2．掌握等边三角形的性质；3、掌握等边三角形与等腰三角形的区别与联系；知识点：等边三角形的性质与判定等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。总结：图形等腰三角形等边三角形性

质两条边都相等三条边都相等两个角都相等三个角都相等，且都是60º底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合

每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合对称轴（1条）对称轴（3条）等腰三角形和等边三角形对比②等腰三角形和等边三角形的判定图形等腰三角形等边三角形判定从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形考点一：等边三角形的判定定理1例1．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．有一个角为的三角形是等边三角形； B．三边相等的三角形是等边三角形C．三个角相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形【答案】A【分析】根据等边三角形的判定方法进行判断即可．【详解】解：A、有一个角是的三角形，其他两个角度数不能确定，这样的三角形不一定是等边三角形，本选项符合题意；B、三边相等的三角形是等边三角形，正确，本选项不符合题意；C、三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，本选项不符合题意；D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，正确，本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法，三条边都相等的三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．【变式训练】1．（2023秋·广东河源·八年级校考期末）适合条件的三角形是（

）A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【答案】B【分析】根据三角形内角和定理求出各角的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵，，∴，∴此三角形是等边三角形．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知“三角形内角和是”是解答此题的关键．2．（2022秋·青海西宁·八年级校考期末）在中，，若使为正三角形，请你再添一个条件：___________．【答案】答案不唯一【分析】根据等边三角形的判定定理解答即可．【详解】解：添加的条件是：答案不唯一．故答案为：答案不唯一．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，熟知三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．3．（2022春·七年级单元测试）已知，如图，，，，求证：为等边三角形．

【答案】见解析【分析】根据平行线的性质和可得，得到，再由可得，即可证明．【详解】证明：，，，，，，，为等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法．考点二：等边三角形的判定定理2例2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知是的三边，且满足，则此三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．以上都不对【答案】B【分析】将原式整理为完全平方式，然后根据平方式的非负性即可得出答案．【详解】解：∵，∴，即，∴，，∴，∴此三角形的形状一定是等边三角形，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·山东泰安·八年级校考期中）a、b、c是的三边，且，那么的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】根据完全平方公式将已知等式进行因式分解，得到，即可得到答案．【详解】解：由题意得：即，∴，，，∴，∴是等边三角形，故选：D．【点睛】本题考查因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题、等边三角形的判定；利用因式分解解决问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．2．（2022春·广东梅州·八年级统考期末）已知a，b，c是的三边的长，且满足，则的形状为______三角形．【答案】等边【分析】利用完全平方公式把原式变形为，再利用平方的非负性，可得，即可求解．【详解】解∶∵，∴，即，∴，∴，∴△ABC为等边三角形．故答案为：等边【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，完全平方公式的应用，熟练掌握等边三角形的判定，完全平方公式是解题的关键．3．（2023春·广西贵港·七年级统考期中）若分别为三边的长．(1)若满足，试判断的形状，并说明理由；(2)若满足，试判断的形状，并说明理由．【答案】(1)等腰三角形，理由见解析(2)等边三角形，理由见解析【分析】（1）将所给式子等号左边因式分解，得到，即可判断；（2）根据题中要求配成完全平方式，利用非负性可推出，即可推出为等边三角形．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴或，∴，即是等腰三角形；（2），∴，∴，∴且，∴，即为等边三角形．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方式的应用，等腰三角形和等边三角形的定义，解题关键是熟练将式子变形．考点三：等边三角形的判定定理3例3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③【答案】D【分析】根据三角形内角和定理进行判断求解．【详解】解：①∵，,∴，则是直角三角形；②∵，,∴，则是直角三角形；③，即，则是直角三角形④，则是等边三角形，故选：D【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，等边三角形的判定，掌握三角形内角和定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（

）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根据等边三角形的判定条件逐一分析即可．【详解】解：①有两个角等于的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形；④三边都相等的三角形是等边三角形．故选D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，熟知等边三角形的判定定理是解题的关键．2．（2020秋·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期中）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有______________（填序号）．【答案】①②③④【分析】根据等边三角形的判定判断．【详解】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．所以都正确．故答案为：①②③④．【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．3．（2023·广西·模拟预测）如图，在中，．(1)请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)连接，若，证明为等边三角形．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）由题意可得，点在线段的垂直平分线与的交点，作出线段的垂直平分线即可；（2）利用直角三角形的性质可得，即可求证．【详解】（1）解：由题意可得：点在线段的垂直平分线与的交点，如下图：（2）证明：连接，∵，，∴∵，∴，∴，∴为等边三角形．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图－垂直平分线，等边三角形的判定，等边对等角等性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．考点四：等边三角形的性质例4．（2023·湖南永州·校考三模）如图，，为等边三角形，，则等于（

）

A．. B． C． D．【答案】A【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．【详解】解：为等边三角形，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．【变式训练】1．（2023·河北·统考中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，根据平行性质，得，进而求得．【详解】如图，∵∴∵∴∵∴∵∴

故选：C．

【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级期末）如图，为等边三角形，点D为边上一点，先将三角板角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板角的两边分别与边、交于点E、点F，当时，如图（2）所示．求证：．【答案】见解析【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质可推得，根据全等三角形的判定即可证明．【详解】证明：∵为等边三角形，∴，∵，，∴，在和中，，∴．【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定等，熟练掌握全等三角形的基本模型：一线三等角是解题的关键．3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．(1)求证：；(2)求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用证明，得；（2）结合（1）可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】（1）证明：、是等边三角形，∴，，，，∴，；（2）解：∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．考点五：等边三角形的判定和性质综合例5．（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（

）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】B【分析】作辅助线来表示各角之间的关系，首先求出与是等腰三角形，再证明为等边三角形即可．【详解】解：连接，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，．故选：B．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）已知是等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为D，延长至点Q，使，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边的边长为4，那么线段的长为（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】如图，过点P作，交于点F，利用已知条件可以得到是等边三角形，然后可以证明，接着利用等边三角形的性质即可解决问题．【详解】解：如图，过点P作，交于点F，则，∵是等边三角形，∴，∴，∴也是等边三角形，而，∴，又∵，∴，∴，∵于D，是等边三角形，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，同时也利用了全等三角形的性质于判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．（2023秋·陕西延安·八年级统考期末）如图，，，，，若，，且长为奇数，则的长为____________．【答案】3【分析】由已知条件得，进而得出，，再根据得到为等边三角形，进而得到，最后根据三角形的三边关系即可求出．【详解】解：在和中，，，，，，为等边三角形，，，，，即，,长为奇数，，故答案为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键．3．（2022春·七年级单元测试）已知：如图，点D在等边三角形的边上，延长至点E使，连接交A与点F．

(1)求证：；(2)过点D作于G，若等边三角形的边长为6，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）如图所示，过点作交于点，由等边三角形的性质得到，由平行线的性质得到，，则为等边三角形，证明，即可证明，则；（2）由全等三角形的性质得到，由三线合一得到，这可推出．【详解】（1）证明：如图所示，过点作交于点，是等边三角形，，，，为等边三角形，∴，∵，，，．

（2）解：由（1）得，为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质于判定条件．1．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】根据同圆半径相等可得为等腰三角形，又因为，可得为等边三角形，即可求得BE的长．【详解】连接OE，如图所示：∵，点为线段的中点，∴，∵以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，∴，∴,∴为等边三角形，即，故选：A．【点睛】本题考查了同圆半径相等，一个角为的等腰三角形，解题的关键是判断出为等边三角形．2．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，在中，，AD平分，，，，则AC的长为（）A．9 B．8 C．6 D．7【答案】B【分析】根据角平分线的性质可得到，然后由可知，从而得到，所以是等边三角形，由，即可得出答案．【详解】解：∵，AD平分，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键，属于基础综合题．3．（2020·四川宜宾·统考中考真题）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（

）

A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．不等边三角形【答案】C【分析】先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果；【详解】∵都是等边三角形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴是等边三角形．故答案选C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键．4．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，将两个相同的含角的直角三角形摆放在一起，借助这个图形，探究的直角边与斜边之间的数量关系，给出下列两种解法：嘉嘉：解：∵两个含角的直角三角尺相同，∴，，∴是等腰三角形，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴琪琪：解：∵通过测量可得，∴，∴.下列说法正确的是（

）

A．嘉嘉的解法对，琪琪的解法不对 B．嘉嘉的解法不对，琪琪的解法对 C．嘉嘉、琪琪的解法都对 D．嘉嘉、琪琪的解法都不对【答案】A【分析】嘉嘉的解法是经过了严谨的推理证明，琪琪的解法是通过测量线段的长度得到的结论，不代表一般性，由此即可进行判断.【详解】解：嘉嘉的解法是经过了严谨的推理证明，所以嘉嘉的解法对，琪琪的解法是通过测量线段的长度得到的结论，不代表一般性，如边长是无理数时，就不能得出准确的结论，只是一个近似的结果，所以琪琪的解法不对；故选：A.【点睛】本题考查了证明的严谨性、等边三角形的判定和性质等知识，正确理解题意、准确作出判断是关键.5．（2023·吉林长春·一模）如图，已知线段，分别以点A、B为圆心，长为半径作圆弧，两弧相交于点C、D，连接，交线段于点E，以点E为圆心，长为半径作圆弧，交线段于点F，连接、，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，由作法可知，垂直平分，，，进而推出是等边三角形，，再利用垂直平分线的性质，证明是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数．【详解】解：连接，由作法可知，垂直平分，，，是等边三角形，，垂直平分，，，是等腰直角三角形，，，故选D．【点睛】本题考查了作图——基本作图，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．6．（2023·河南驻马店·统考一模）如图，点为线段上一点，以和为边在线段同侧作等边和等边，连接与交于点，连接与相交于点、与相交于点，连接，（1）绕点顺时针旋转与重合

（2）绕点逆时针旋转与重合

（3）

（4）

（5）平分．以上结论错误的个数为(

)个．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】证明，可判断（1）；进而可证得，可判断（2）；根据全等的性质即可判断（3）；过点分别作，的垂线，垂足分别为，，由可得，即可判断（5）；结合（5）的结论说明，再在上截取，连接，可得为等边三角形，进而易得，可得，即可判断（4）．【详解】解：和均为等边三角形，，，，，，绕点顺时针旋转与重合，故（1）正确；，，，，，，绕点逆时针旋转与重合，故（2）正确；，，，故（3）正确；过点分别作，的垂线，垂足分别为，，，，平分，故（5）正确；，，，，又，，平分，，在上截取，连接，为等边三角形，，，，又，，，，故（4）正确；综上所述，错误的有0个，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．（2023·江西·统考中考真题）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm．

【答案】【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵直尺的两边平行，∴，又，∴是等边三角形，∵点，表示的刻度分别为，∴，∴∴线段的长为,故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．8．（2020·湖北宜昌·中考真题）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则________米．【答案】48【分析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．【详解】解：∵∴∠BAC=180°-60°-60°=60°∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°∴△ABC是等边三角形∴AC=BC=48米．故答案为48．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，证得△ABC是等边三角形是解答本题的关键．9．（2020·浙江台州·统考中考真题）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____．【答案】6【分析】先说明△DEF是等边三角形，再根据E，F是边BC上的三等分求出BC的长，最后求周长即可.【详解】解：∵等边三角形纸片ABC∴∠B=∠C=60°∵DE∥AB，DF∥AC∴∠DEF=∠DFE=60°∴△DEF是等边三角形∴DE=EF=DF∵E，F是边BC上的三等分点,BC=6∴EF=2∴DE=EF=DF=2∴△DEF=DE+EF+DF=6故答案为6．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键．10．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到，使，求证：．【答案】见解析【分析】根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到．【详解】证明：是等边三角形，是中线，．（等腰三角形三线合一），又，．，又，．等角对等边．【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．11．（2023·北京·校联考一模）同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．已知在中，，，求证：．法一：如图1，在上取一点D，使得，连接．法二：如图2，延长到D，使得，连接．你选择方法．证明：【答案】答案不唯一，见解析【分析】法一：在上取一点D，使得，连接，推出是等边三角形，再利用等角对等边证明，据此即可证明；法二：延长到D，使得，连接，推出垂直平分，证明是等边三角形，据此即可证明．【详解】法一：在上取一点D，使得，连接．，，是等边三角形，，，，，．法二：延长到D，使得，连接．∵，∴垂直平分．，，是等边三角形，即．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．12．（2023·黑龙江·统考三模）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接．(1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________；(2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．【答案】(1)(2)图②猜想：．图③猜想：，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由各角之间的关系确定，根据全等三角形的判定和性质即可证明；（2）根据图象对图②③作出猜想即可；过点D作，交于点G，根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可证明．【详解】（1）证明：∵点F与点A重合，∴与都是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（2）图②猜想：．图③猜想：．图③证明：过点D作，交于点G，如图．∵是等边三角形，∴．∵，∴，．∴为等边三角形．∴．∵为等边三角形，∴，．∵，即，∴．∴．∵，∴．【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．1．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）下列命题是假命题的是(

)A．对顶角相等B．三角形内角和为C．有一个角是的三角形是等边三角形D．等腰三角形的两个底角相等．【答案】C【分析】根据对顶角，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等腰三角形的性质逐项判断即可．【详解】解：A.对顶角相等，原命题是真命题，故不符合题意；B.三角形内角和为，原命题是真命题，故不符合题意；C.有一个角是的三角形是等边三角形，原命题是假命题，故符合题意；D.等腰三角形的两个底角相等，原命题是真命题，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查对顶角，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题的关键．2．（2022秋·八年级课时练习）下列条件中，不能判断是等边三角形的是（

）．A．， B．，C． D．【答案】D【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．【详解】解：A选项：∵AB=AC．∠B=60°．∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意；B选项：∵∠B=∠A，∴AC=BC，∵AB=AC，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意；C选项：∵∠A=∠B=60°，∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，故C选项不符合题意；D选项：∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=60°，不能判断△ABC是等边三角形，故D选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．3．（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b、c是三条边的长，且满足条件，则的形状是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到，从而得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形，故选A．【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，解题的关键在于灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．4．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，过边长为的等边三角形的边上的一点作于点，为的延长线上一点．当时，连接交边于点，则的长为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】过点做的平行线，根据条件已知条件可知三角形全等，再根据全等的性质即可得出线段的长度．【详解】解：过点做，∵，是等边三角形，∴，，，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，，∴∴在和中，∴∴（AAS），∴，∵，∴，∴，∵，∴；故选．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等相关知识点，能够综合运用性质进行推理是解题的关键．5．（2022秋·海南海口·九年级海南华侨中学校考期末）如图，在中，，D是边BC上的中点，若，，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】根据等边三角形的判定得出为等边三角形，即可求解．【详解】解：∵，D是边上的中点，，，∴，，∴为等边三角形，∴的周长为，故选：D．【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题关键．6．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，，M，N分别是射线上的动点，平分，，则的周长的最小值为（）A．9 B． C．6 D．27【答案】A【分析】作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接，与射线的交点即为M点、N点，连接，此时的周长最小，证明是等边三角形即可求解．【详解】解：作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接，与射线的交点即为M点、N点，连接，此时的周长最小，∵C点、P点关于射线对称，∴射线垂直平分，∴，∴，同理：，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴的周长，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定及性质，利用对称将的周长最小值转化为两点间线段最短是关键与难点．7．（2022秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于则下列结论：①；②；③为等边三角形；④其中正确的是（）A．②④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根据等边三角形的性质，点、、在同一条直线上，可知，由此可证①；由①正确可知，，可证，得结论②；，得结论③；由结论①③可证，，得结论④．【详解】解：①∵和均为等边三角形，，，，，在与中，，∴，，故①正确；②∵，，，在和中，，，，故②正确；③由结论②正确可知，，又∵，∴是等边三角形，故正确；④由结论①正确，可知，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，故正确；故选：．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的全等的判定和性质，理解图形中的数量关系，位置关系，等边三角形的性质，全等的判定和性质是解题的关键．8．（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校考开学考试）如图，已知，平分，，若，，则的长是(

)A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】B【分析】在的延长线上取点E，使，连接，则可证得为等边三角形，再结合条件可证明，可得，再利用线段的和差可求得，则可求得．【详解】解：在的延长线上取点E，使，连接，∵，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，构造等边三角形再证是解题的关键．9．（2023春·广东河源·八年级校考期中）在中，，，，则的周长是___________．【答案】12【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答．【详解】解：，，是等边三角形，，的周长．故答案为：12．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，判断出是等边三角形是解题的关键．10．（2023秋·八年级单元测试）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图，衣架杆，若衣架收拢时，，则此时两点之间的距离为______．【答案】20【分析】根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．【详解】解：∵，，∴是等边三角形，∴，故答案为：20．【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．11．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）在中，，，则___________．【答案】/10厘米【分析】根据已知，，直接判定为等边三角形，得，即得答案．【详解】解：，，是等边三角形，；故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握有一个内角为的等腰三角形是等边三角形是解答此题的关键．12．（2023春·全国·八年级专题练习）将两个直角三角形如图放置，其中，，，，与交于点，则_____．【答案】/120度【分析】先证明是等边三角形，再根据平角的定义求出的度数，再根据三角形内角和定理求出结果．【详解】解：，，是等边三角形，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，证明是等边三角形是解题的关键．13．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）如图，为等边三角形，为边上的高，为边上的一点，且．则______．【答案】/15度【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质，求解即可．【详解】解：为等边三角形，为边上的高，∴，，平分，∴，∵，∴，∴，故答案为：【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，等腰三角形和等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得的度数．14．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，是边的中点，，，，若，则线段长度的最大值是_____．【答案】14【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，得出是等边三角形，当、、、共线时的值最大，最大值为．【详解】解：作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，如图所示：∴，∴，，，同理可证：，，，是边的中点，，，，．．．是等边三角形．，，即，当、、、共线时的值最大，最大值为故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期