第11讲探索勾股定理(6种题型)(原卷版+解析)

第11讲探索勾股定理（6种题型）【知识梳理】一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.四、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.五、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.六、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；【考点剖析】一．勾股定理例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝2，＝3，求；（2）已知，＝32，求、．【变式2】如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．【变式3】已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．【变式4】已知直角三角形斜边长为2，周长为，求此三角形的面积．【变式5】长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【变式6】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC＝3，AD＝2，求BC的长．【变式7】（2022春•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC+BC=6+2，AB（1）求△ABC的面积；（2）求CD的长．【变式8】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．求：△ABC的周长．【变式9】如图，四个三角形纸片Rt△ABC，Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3完全重合，并按图示位置摆放．已知BC＝，AB＝1，求四边形CC1C2C3的面积．【变式10】（2022春•庆元县校级月考）在如图所示的方格图中，每个小方格的边长均为1，则△ABC的周长为多少？【变式11】（2022春•西湖区校级月考）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．（1）求证：AE＝DE；（2）如果AC＝3，，求AE的长．【变式12】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22=（）2+1=2，S1=；OA32=（）2+1=3，S2=；OA42=（）2+1=4，S3=…（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn=___________；（2）推算出OA10=______________．（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．二．勾股定理的证明例2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．【变式1】如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为0.7m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.8m，求梯子AB的长.【变式2】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【变式3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．三、利用勾股定理作长度为的线段例3、作长为、、的线段.

四、利用勾股定理解决实际问题例4.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【变式1】有两棵树，一课高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小年至少飞行多少米？五、勾股定理的逆定理 例5、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【变式1】已知满足．（1）求的值；（2）判断以为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由.【变式2】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组【变式3】已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．【变式4】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．【变式5】如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【变式6】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．【变式7】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【变式8】如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式，则△ABC的形状是．六、勾股定理逆定理的实际应用例6、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【过关检测】一、单选题1．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．6 B．8 C．10 D．122．（2023·浙江·八年级假期作业）在中，，，的对边分别是，，，若，则（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较长两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形A的面积是（

）A．5 B．12 C．13 D．254．（2022秋·浙江温州·八年级乐清市虹桥镇第一中学校联考期中）如图，中，，分别以为一边在外面作三个正方形，记三个正方形的面积依次为，，．已知，则为（

）A．18 B．27 C．36 D．455．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（

）

A．小时 B．2小时 C．小时 D．4小时6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在数轴上点B所表示的数为，点所表示的数为1，垂直于该数轴，且，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（

）

A． B． C． D．7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，明德中学数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，据此可求得，之间的距离为（

）

A． B． C． D．8．（2020秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点A、B、C均在格点上，于点D，则的长为（

）A． B． C． D．9．（2022春·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2022秋·浙江·八年级专题练习）将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为10，18，则正方形的面积是．

12．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离是．13．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是．14．（2023·浙江·八年级假期作业）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．15．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，则小正方形与大正方形的面积之比为．16．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则．

17．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则．18．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有（填“＞”或“＜”或“”）三、解答题19．（2023春·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）已知的三边长BC、AC、AB分别为a、b、c，且的算术平方根为5，立方根为3，与互为相反数．(1)求a、b、c的值；(2)直接写出的形状，并计算其周长；(3)求的面积．20．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？

21．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知等腰三角形的底边，D是腰长延长线上一点，连接，且．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的周长．22．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在四边形中，，E为上的一点，且，，，．(1)证明：是直角三角形；(2)求的长．23．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为．

(1)求此时梯子的顶端距地面的高度．(2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论．24．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示的一块地，已知，求阴影部分的面积．

25．（2020·浙江·八年级期末）已知，如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC．（1）求证:△ABP≌△PDC（2）若AB=3，CD=4，连接AC，求AC的长．26．（2022秋·浙江·八年级专题练习）阅读材料，回答下列问题：在直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则A、B两点之间的距离等于．例如：已知点，则这两点间的距离．特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或．(1)已知，试求A，B两点间的距离．(2)已知点A，B在平行于轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，试求A，B两点间的距离(3)已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由．27．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？28．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．

(1)当秒时，求的长；(2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？(3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．

第11讲探索勾股定理（6种题型）【知识梳理】一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.四、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.五、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.六、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；【考点剖析】一．勾股定理例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【答案与解析】解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，所以．所以＝13．（2）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，所以．所以＝10．【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝2，＝3，求；（2）已知，＝32，求、．【答案】解：（1）∵∠C＝90°，＝2，＝3，∴；（2）设，．∵∠C＝90°，＝32，∴．即．解得＝8．∴，．【变式2】如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．【答案与解析】解：延长AD、BC相交于点E∵∠B＝90°，∠A＝45°∴∠E＝45°，∴AB＝BE＝2∵∠ADC＝90°，∴∠DCE＝45°，∴CD＝DE＝1∴，．∴．【变式3】已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，∴AD===3，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴AB=AD=3，BD=AD=3，在Rt△ADC中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC===．【变式4】已知直角三角形斜边长为2，周长为，求此三角形的面积．【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为，则即将①两边平方，得③③－②，得，所以因此这个直角三角形的面积为．【总结升华】此题通过间接未知数，通过变形直接得出的值，而不需要分别求出的值．本题运用了方程思想解决问题．【变式5】长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【答案与解析】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．∴x=（cm）．答：DE的长为cm.【变式6】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC＝3，AD＝2，求BC的长．【解答】解：∵AD平分∠BAC，AB＝AC＝3，∴AD⊥BC，BC＝2BD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AD＝2，∴BD=A∴BC＝2BD＝25，故BC的长为25．【变式7】（2022春•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC+BC=6+2，AB（1）求△ABC的面积；（2）求CD的长．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC=6∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝8+43，∵AB＝22，∴AB2＝8，∴AC•BC＝23，∴△ABC的面积=12AC•BC（2）∵△ABC的面积=12AC•BC=3，CD∴12AB•CD=∴CD=2×【变式8】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．求：△ABC的周长．【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB=AD2+B∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD﹣DC＝20+13+16﹣5＝44，即：△ABC的周长是44．【变式9】如图，四个三角形纸片Rt△ABC，Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3完全重合，并按图示位置摆放．已知BC＝，AB＝1，求四边形CC1C2C3的面积．【解答】解：由题意，得Rt△ABC≌Rt△AB1C1≌Rt△AB2C2≌Rt△AB3C3，∴AC＝AC1＝AC2＝AC3，AB＝AB1＝1．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝，∴＝4＝4×＝18．【变式10】（2022春•庆元县校级月考）在如图所示的方格图中，每个小方格的边长均为1，则△ABC的周长为多少？【解答】解：由图可知：AB＝，BC＝，AC＝2，∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝5++2＝7+．【变式11】（2022春•西湖区校级月考）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．（1）求证：AE＝DE；（2）如果AC＝3，，求AE的长．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∴∠EAD＝∠ADE．∴AE＝DE；（2）解：过点D作DF⊥AB于F．∵∠C＝90°，AC＝3，，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+DC2＝AD2．∴．∵AD平分∠BAC，∴DF＝DC＝．又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．∴AF＝AC＝3，∴Rt△DEF中，由勾股定理得EF2+DF2＝DE2．设AE＝x，则DE＝x，EF＝3﹣x，∴，∴x＝2．∴AE＝2．【变式12】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22=（）2+1=2，S1=；OA32=（）2+1=3，S2=；OA42=（）2+1=4，S3=…（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn=___________；（2）推算出OA10=______________．（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．【答案】解：（1）+1=n+1Sn=（n是正整数）；故答案是：；（2）∵OA12=1，OA22=（）2+1=2，OA32=（）2+1=3，OA42=（）2+1=4，∴OA12=，OA2=，OA3=，…∴OA10=；故答案是：；（3）S12+S22+S32+…+S102=（）2+（）2+（）2+…+（）2=（1+2+3+…+10）=．即：S12+S22+S32+…+S102=．二．勾股定理的证明例2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．【答案与解析】解：因为MN⊥AB，所以，，所以．因为AM是中线，所以MC＝MB．又因为∠C＝90°，所以在Rt△AMC中，，所以．【变式1】如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为0.7m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.8m，求梯子AB的长.【答案与解析】解：设AO=m，依题意得：AC=0.4，BD=0.8，在Rt△AOB中，，在Rt△COD中，，∴，解得：＝2.4，∴．答：梯子AB的长为2.5．【变式2】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：，在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：则AB＝15．所以需要爬行的最短路程是15．【变式3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．【解答】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．三、利用勾股定理作长度为的线段例3、作长为、、的线段.

【答案与解析】作法：如图所示

（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的Rt.斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、.四、利用勾股定理解决实际问题例4.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【答案与解析】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【变式1】有两棵树，一课高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小年至少飞行多少米？【答案】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过点C作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，CE=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，在Rt△AEC中，()．故小鸟至少飞行10．五、勾股定理的逆定理 例5、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【答案与解析】解：（1）∵，，∴．∴由线段组成的三角形是直角三角形．（2）∵，，，∴．∴由线段组成的三角形不是直角三角形．（3）∵，∴，．∵，，∴．∴由线段组成的三角形是直角三角形．【变式1】已知满足．（1）求的值；（2）判断以为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由.【答案】解：（1）∵满足∴∴（2）∵．∴∴以为边能三角形，∵∴此三角形是直角三角形，∴.【变式2】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组【答案】C.解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；④72+242=252，∴能组成直角三角形．故选C．【变式3】已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．【答案与解析】解：连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．【变式4】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．【答案】解：EC⊥EB．过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD是矩形，在Rt△BCF中，可得CF＝．则AD＝CF＝，故DE＝AE＝AD＝．在Rt△ABE和Rt△DCE中，，．∴．∵BC＝3，∴．∴∠CEB＝90°，∴EB⊥EC．【变式5】如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【答案与解析】解：∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，在Rt△ABD中，．∴BD＝4，∴，可知∠ADB＝30°，在△BDC中，，，∴，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．【变式6】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．【答案】解：连接BD．∵CD⊥CP，且CD＝CP＝2，∴△CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．∵∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD．∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)，∴DB＝PA＝3．在Rt△CPD中，．又∵PB＝1，则．∵，∴，∴△DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，∴∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．【变式7】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】解：（1）猜想：AP=CQ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又AB=BC，BQ=BP，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3，PB=4，PC=5，连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4．于是在△PQC中∵∴△PQC是直角三角形．【变式8】如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式，则△ABC的形状是．【答案】直角三角形．解：∵，∴，解得，∵242+182=302，∴△ABC是直角三角形．故答案为直角三角形．六、勾股定理逆定理的实际应用例6、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：根据题意可画出上图，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30，在△PQR中，，∴．∴△PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．又∵“远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，∴∠RPN＝45°．由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，构造直角三角形ABC∵两棵树的高度差为AC=（米），间距为AB=米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC（米）．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．2．（2023·浙江·八年级假期作业）在中，，，的对边分别是，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】解：，，的对边分别是，，，，为斜边，．故选：C．【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．3．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较长两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形A的面积是（

）A．5 B．12 C．13 D．25【答案】D【分析】根据勾股定理和正方形的面积求解即可．【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积，∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144，∴另一条直角边的平方为，∴最⼩正⽅形A的⾯积是25，故选：D．【点睛】此题考查了勾股定理，关键是借助勾股定理将正方形的面积联系起来.4．（2022秋·浙江温州·八年级乐清市虹桥镇第一中学校联考期中）如图，中，，分别以为一边在外面作三个正方形，记三个正方形的面积依次为，，．已知，则为（

）A．18 B．27 C．36 D．45【答案】C【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵中，，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的三边作正方形，则两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积．5．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（

）

A．小时 B．2小时 C．小时 D．4小时【答案】C【分析】利用角度关系得到直角，再利用勾股定理求出，再使用路程公式求出时间即可．【详解】，连接，

中，巡航船前去救助，沿直线方向用时最少，故选C．【点睛】本题考查解直角三角形，利用题中的数据找到直角三角形，并采用勾股定理求出路程是解题的关键．6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在数轴上点B所表示的数为，点所表示的数为1，垂直于该数轴，且，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求出点到原点的距离，即可确定的值．【详解】解：由勾股定理知，，，到原点的距离为，又在原点左侧，的值为，故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理和数轴的定义，关键是要利用勾股定理求出的长度．7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，明德中学数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，据此可求得，之间的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算可求解．【详解】解：在中，，，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长是解题的关键．8．（2020秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点A、B、C均在格点上，于点D，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长．【详解】解：∵，，∴，解得：．故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确利用等面积法求出的长是解题关键．9．（2022春·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4，即可得到OA3·OAn=，再根据OA3·OAn是整数及1≤n≤30，由此可求出n的值的个数．【详解】由题意得；；；∵1≤n≤30，∴OA3·OAn的值是整数，∴·OAn的值可以是，，是整数的有3个．故答案为：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键．10．（2022秋·浙江·八年级专题练习）将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【详解】解：如图1所示：当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h＝24−8＝16（cm）；如图2所示：当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝15，BD＝8，∴，∴此时h＝24−17＝7（cm），综上所述，h的取值范围是7cm≤h≤16cm，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意，在不同位置得出h的值最大值与最小值是解题关键．二、填空题11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为10，18，则正方形的面积是．

【答案】28【分析】根据正方形的面积与边长的关系，可知，由此即可求解．【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知，∴故答案为：28．【点睛】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解题的关键．12．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离是．【答案】5【分析】根据勾股定理进行解答．【详解】的坐标是，到原点的距离，故答案为：5．【点睛】本题考查了两点间的距离是两点的坐标差的平方和，熟用勾股定理是解题的关键．13．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是．【答案】【分析】根据勾股定理可直接求解．【详解】由题意知，，，在中，由勾股定理得，，即地面钢缆到电线杆底部的距离是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．14．（2023·浙江·八年级假期作业）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【答案】m2+1【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，∴弦长为m2+1，故答案为：m2+1．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，则小正方形与大正方形的面积之比为．【答案】/1:5【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，∴小正方形的边长为1，根据勾股定理得：大正方形的边长＝，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．16．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则．

【答案】【分析】由折叠的性质得出，设，则．在中运用勾股定理列方程，解方程即可求出的长．【详解】解：∵，∴，由折叠的性质得：，设，则．在中，由勾股定理得：，解得：．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．17．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则．【答案】6【分析】根据勾股定理进行解答即可．【详解】解：∵，∴，∴或（舍去），故答案为：6．【点睛】本题主要考查了勾股定理与图形面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理，数形结合．18．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有（填“＞”或“＜”或“”）【答案】【分析】证，推出，则，再证，代入求出即可．【详解】解：如图，∵正方形a，c的边长分别为a和c，∴，，由正方形的性质得：，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴正方形b的面积为，即，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键．三、解答题19．（2023春·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）已知的三边长BC、AC、AB分别为a、b、c，且的算术平方根为5，立方根为3，与互为相反数．(1)求a、b、c的值；(2)直接写出的形状，并计算其周长；(3)求的面积．【答案】(1)a＝14，b＝15，c＝13．(2)是锐角三角形，理由见解析．(3)84．【分析】（1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求得，，．（2）分别计算出三条边的平方，利用较短两边的平方和与最长边的平方作比较，判断形状，再根据周长计算公式计算即可．（3）过点A作，垂足为D，设，则，利用直角三角形中的勾股定理建立方程即可．【详解】（1）解：由题意得：，，，解得：，，，，，．（2）解：是锐角三角形．理由：，，，是锐角三角形；的周长，是锐角三角形，的周长为42．（3）解：过点A作，垂足为D，设，则，在中，，在中，，，解得：，，或（舍去），，故的面积为84．【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理，算术平方根、相反数、立方根的定义，解题的关键是熟练应用勾股定理计算线段长度．20．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？

【答案】10km【分析】根据土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，在和中，设出的长，可将和的长表示出来，列出等式进行求解即可．【详解】解：使得，两村到站的距离相等，．于，于，，，，，设，则．，，，解得：，．答：站应建在离站处．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，利用，得出是解决问题的关键．21．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知等腰三角形的底边，D是腰长延长线上一点，连接，且．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的周长．【答案】(1)直角三角形，理由见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理逆定理进行判断即可；（2）利用勾股定理求出的长，即可得出结论．【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵，，∴，∴，∴是直角三角形；（2）由（1）知，∵三角形是等腰三角形，为底边，∴，设，则：，在中：，即：，解得：，∴，∴的周长．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．22．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在四边形中，，E为上的一点，且，，，．(1)证明：是直角三角形；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理即可求得，据此即可证明是直角三角形；（2）在中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴是直角三角形；（2）解：在中，，，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．23．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为．

(1)求此时梯子的顶端距地面的高度．(2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论．【答案】(1)(2)梯子底端外移不是，理由见解析【分析】（1）直接利用勾股定理求出的长，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案．【详解】（1）解：，，