2.2 求解一元二次方程（课时1）教案

2/22.2求解一元二次方程(课时1)一、核心素养目标1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程；2.理解配方法的基本思路；3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.二、教学重点及难点重点：掌握直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.难点：理解配方时配上一次项系数一半的平方这一变形原理.三、教学过程【知识回顾】填空：1.如果x2=a，则x叫作a的.2.如果x2=a(a≥0)，则x.3.如果x2=16，则x=.4.完全平方公式：a2+2ab+b2=_______；a2–2ab+b2=_______.设计意图：回顾平方根定义与开平方运算、完全平方公式，为直接开平方法和配方变形铺垫必备基础.【新知导入】在之前的梯子滑动问题中，梯子底端滑动的距离x满足方程x2+12x-15=0.我们已经求出了x的近似值：1.1<x<1.2教师提出：你能设法求出它的精确值吗？设计意图：用之前只估算出近似解的旧问题设疑，激发求知欲，引出寻找精确解法的需求，自然导入配方法学习.【探究新知】尝试解下面这些特殊的一元二次方程.(1)x2=4；(2)x2=0；(3)x2+1=0.选取三个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤.解：(1)根据平方根的意义，得x1=2，x2=-2.(2)根据平方根的意义，得x1=x2=0.(3)移项，得x2=-1.∵负数没有平方根，∴原方程无解.通过解具体方程，归纳直接开平方法的相关知识，学生做笔记.一般的，对于可化为x2=n的方程：n的取值范围方程根的情况n>0两个不相等实数根x1=，x2=n=0两个相等实数根x1=x2=0n<0无实根利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法.设计意图：借助简单方程实操演练，依托平方根意义引出直接开平方法，分类归纳n不同取值下根的三种情况，夯实基础.教师提出：你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？(1)x2=5；(2)2x2+3=5；(3)(x+6)2+72=102；(4)x2+2x+1=5.选取四个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤.解：(1)∵()2=5，∴根据平方根的意义，得(2)2x2+3=5，移项，得2x2=2，x2=1，x1=1，x2=-1.(3)移项，得(x+6)2=51.两边开平方，得x+6=，即x+6=或x+6=.所以x1=，x2=(4)x2+2x+1=5，配方得(x+1)2=5，开方得，或于是，原方程的两个根为通过解具体的一元二次方程，你知道解一个一元二次方程的实质吗？学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点.实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.设计意图：层层递进设置不同形式方程，拓展直接开平方法适用题型，引出降次转化思想，为后续配方法搭建认知桥梁.问题：你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成x2=n的形式吗？教师提醒：x2+12x-15=0，它的左边既不是单独的平方式，也不能直接化成平方式.教师引导学生进行计算，规范解题步骤.x2+12x-15=0移项，得x2+12x=15两边都加62，得x2+12x+62=15+62即(x+6)2=51两边开平方，得.教师提醒：是负数，不符合原问题的要求.通过以上探究，归纳解一元二次方程的基本思路，学生做笔记.解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式.它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数设计意图：让学生感知直接开平方法无法求解该方程，形成认知冲突后，教师一步步示范配方变形过程，推导出(x+m)2=n(n≥0)的通用形式，最后带领学生总结转化解题思路，渗透配方转化思想.填上适当的数，使下列等式成立：x2+12x+_____=(x+6)2x2-4x+_____=(x-___)2x2+8x+_____=(x+___)2教师提出：观察上面等式的的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢？学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点.学生做笔记.二次项系数为1的完全平方式中，常数项是一次项系数一半的平方.设计意图：借助填空练习直观感知凑完全平方式的填数规律，再通过小组合作观察对比、自主探究常数项与一次项系数的数量关系，教师梳理总结核心结论，让学生自主理解配方关键要点，为后续解方程配方打下基础，落实自主探究的学习方式.例题练习：解方程：x2+8x-9=0.解:可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9.两边都加上一次项系数8的一半的平方，得x2+8x+42=9+42，即(x+4)2=25.两边开平方，得x+4=±5，即x+4=5，或x+4=-5.所以x1=1，x2=-9.通过以上学习、探究，归纳总结配方法的相关知识，学生做笔记.通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.配方法解方程的基本思路：把一元二次方程化为(x+m)2=n的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．设计意图：以典型例题完整示范配方法解方程的完整流程，运用前面总结的配方规律实操演算，清晰展示移项、配方、开平方、求解每一步操作，随后顺势给出配方法定义与降次转化的核心思路，巩固新知并构建完整的解题方法体系.四、随堂练习通过课件展示练习题，教师