2.1 第1课时 一元二次方程（导学案）

2/2第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程第1课时一元二次方程【学习目标】1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.学习重点：理解一元二次方程的概念.学习难点：理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.【复习导入】1.什么叫方程？我们学过哪些方程？什么叫一元一次方程？想一想：什么是一元二次方程呢？【合作探究】探究点：一元二次方程的相关概念问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？思考：问题中有哪些等量关系？解：如果设所求的宽为xm，那么地面中央长方形地毯图案的长为m，宽为m，根据题意，可得方程：问题2：观察下面等式：102+112+122=132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：，，，.根据题意，可得方程：问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙m.如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m.根据题意，可得方程：议一议方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？(8-2x)(5-2x)=18①x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2②(x+6)2+72=102③【知识要点】一元二次方程的概念：一元二次方程的一般形式：想一想为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0？b，c可以为0吗？【典例精析】例1下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（）B.3x²-5xy+y²=0C(x-1)(x-2)=0D4x²-1=(2x+3)²练一练1.判断下列方程是否为一元二次方程？x2+x=36；(2)x3+x2=36；(3)x+3y=36；(5)x+1=0；(7)ax2+bx+c=0；【典例精析】例2a为何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？一元一次方程一元二次方程一般式相同点不同点【典例精析】例3将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.当堂反馈1.下列方程中，属于一元二次方程的是()A.x－2y＝2024 B.x2＋1＝2C.x2－2y＋1＝0 D.x2－2x＋1＝02.将一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式(a＞0)后，一次项系数为()A.4 B.－4 C.－1 D.13.两个连续奇数的平方和为130，若设较小的数为x，则可列方程为.4.[高频易错]若方程(m－1)x｜m｜＋1＋2mx－3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为.5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式(a＞0)，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.(1)3x2－1＝2x；(2)x(x－2)＝4x2－3x.6.根据下列问题，列出一元二次方程，并化为一般形式.(1)在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm；(2)如图，某中学有一块矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为1m的两条互相垂直的道路(阴影部分)，余下的四块矩形小场地建成草坪.若矩形场地的长与宽之比为2∶1，并且四块草坪的面积之和为144m2，设这块矩形场地的宽为xm.参考答案【合作探究】探究点：一元二次方程的相关概念问题1：解：如果设所求的宽为xm，那么地面中央长方形地毯图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程：(8-2x)(5-2x)=18.①问题2：解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：x+1，x+2，x+3，x+4.根据题意，可得方程：x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.②问题3：解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙6m.如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙x+6m.根据题意，可得方程：(x+6)2+72=102.③议一议特点：1.只含有一个未知数；2.未知数的最高次数是2；3.整式方程．知识要点一元二次方程的概念：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0).其中，ax2称为二次项，a称为二次项系数；bx称为一次项，b称为一次项系数；c称为常数项.想一想当a=0时，bx＋c=0，不符合定义；当a≠0，b=0时，ax2＋c=0，符合定义；当a≠0，c=0时，ax2＋bx=0，符合定义；当a≠0，b=c=0时，ax2=0，符合定义．例题精析例1C判断（1）对（2）错（3）错（4）错（5）错（6）对（7）错（8）例题精析例2解：(1)将方程整理，得(a-2)x2-x=0，所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.(2)由|a|+1=2，且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是关于x的一元二次方程.思考：ax+b=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)都是整式方程，且只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2典例精析例3解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2，系数是3；一次项是-8x，系数是-8；常数项是-10.当堂反馈1.D2.B3.x2＋(x＋2)2＝130.4.－1.5.解：(1)整理，得3x2－2