25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时 单循环赛问题）导学案（解析版）

.3实际问题与一元二次方程（第3课时单循环赛问题）（导学案）（1）理解单循环赛制的比赛规则，自主推导并掌握单循环总场数公式；能识别球赛、握手、互通电话等同模型问题，熟练建立一元二次方程求解；能根据实际意义检验根的合理性，舍去非正整数、不合理的根，规范解题步骤.（2）经历“情境感知→手动枚举→规律推导→模型归纳→变式应用”的探究过程，掌握组合计数类问题的建模方法，提升从生活情境中提炼数学规律、抽象数量模型的能力.（3）感受数学与体育、生活的紧密联系，体会数学的工具性价值；在自主探究与合作交流中，增强探究意识与学习自信心，养成严谨规范的解题习惯.重点：理解单循环赛制规则，推导并掌握单循环比赛总场数公式；利用单循环通用模型建立一元二次方程，解决球赛、握手等同类实际问题.难点：理解单循环公式的推导逻辑，明白公式中“x-1”和“”的实际意义；区分单循环与双循环问题，规避两类模型公式混用错误；结合队伍数、人数为正整数的条件，精准取舍方程的实数根.第一环节自主学习温故知新：创设情景，引入新课情境：学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场，求一共有多少个班级参赛？师生活动：1.教师通俗解读单循环规则：任意两队只赛一场，不重复、不主客场双赛；2.抛出疑问：若有3支队伍、4支队伍，分别需要比赛多少场？引导学生手动枚举计数；3.学生枚举：3队比赛3场，4队比赛6场，发现无法逐一枚举多队伍场次，引出公式推导的必要性。【学法指导】新知自研：自研课本第23页的内容【学法指导】自研课本P23页内容（一）自主探究，探究模型活动1：参加比赛有几支队伍？设有x支队伍参赛，遵循单循环赛制.追问1.每一支队伍需要和除自身外的多少支队伍比赛？（x-1支）追问2.所有队伍累计的总比赛次数（含重复）是多少？（x(x-1)场）追问3.单循环每两队只赛一场，存在重复计数，需要如何修正？（除以2去重）师生归纳总结：总场数=总配对次数÷2，得出单循环通用公式：总场数=x(x-1)规范解题：结合导入情境列方程解：设共有x个班级参赛，根据题意得：x(x-1)=21整理得：x-x-42=0解得：，根据班级数量为正整数，舍去x=-6答：一共有7个班级参赛.（二）模型归类，同类迁移活动2：归纳同模型题型学生交流讨论：所有两两发生一次互动、无重复的问题均适用单循环公式，如：1.体育单循环球赛、棋类比赛；2.多人两两握手、两两拥抱；3.多人之间互通一次电话；等等.教师提醒：题目出现“只一次、两两一场、不重复”为单循环；“主客场、互赠、双向互动”为双循环.及时巩固：某次座谈会结束后，在场所有人两两握手一次，统计总握手次数为45次，求参会总人数？学生独立识别单循环模型，套用公式列方程求解，规范验根作答，教师巡视纠错.典型例题【自研自探】自研课本P23页内容典型例题例1·九年级江门市新会区会城创新初级中学校考期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设有人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次，设出未知数列方程解答即可．【详解】解：设有人参加聚会，根据题意列方程得，，解得(不合题意，舍去)；答：有人参加聚会．例2．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛．(1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？(2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，（1）设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意列出方程，即可解答；（2）设至少需要天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答；解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意可得，解得（舍去），故比赛组织者应计划邀请8个队参赛；（2）解：根据题意可得邀请个队伍参赛，则每个队伍比赛场，设至少需要天完成比赛，可得，解得，故至少需要9天完成比赛．第二环节合作探究1.讨论单循环赛问题模型.2.讨论单循环和双循环问题模型的区别与联系.拓展提升：1．如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动．

(1)请你在图1中，画出2秒时的线段；(2)在动点P，Q运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由．【详解】（1）解：∵点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，点P运动的路程为：（2个单位），点Q运动的路程为：（个单位），∵的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，∴2秒时线段如图1所示：

（2）解：在动点P，Q运动的过程中，能成为等腰三角形．t秒时，点P运动的路程为：t个单位，点Q运动的路程为个单位，如图2所示：过点Q作于H，

则个单位，个单位，个单位，个单位，依题意得：四边形为矩形，∴，个单位，个单位，又∵，∴四边形为矩形，∴个单位，个单位，∴个单位，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，又由，分三种情况讨论如下：①当时，，整理得：，解得：，②当时，，整理得：，解得：，③当时，，整理得：，∵判别式，∴方程没有实数根，∴不存在．综上所述：当秒或秒时，是等腰三角形．课堂练习：课本P23随堂练习1．（2025.青岛校考）某文具店销售一种文具盒，每个成本价为元，经市场调研发现：售价为元时，可销售个，售价每上涨1元，销量将减少个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利元，设这种文具盒的售价上涨元，根据题意可列方程为（）A． B．C． D．【详解】根据题意知，每件商品的利润为元，销售量为件，则可列方程为，故选：A．2．（2025·荆州统考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（）A． B．C． D．【详解】每支球队都需要与其他球队赛场，但两个队之间只有1场比赛，可列方程：，故选：D3．我市为了增强学生的体质，组织了一次排球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场比赛，则参加比赛的球队共有（

）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个【详解】解：设参加比赛的球队共有x个，，解得：（舍去），∴参加比赛的球队共有8个，故选：C．4．（2025·深圳统考）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．(1)求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？【详解】（1）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为；（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．1.知识技能：（1）核心模型：掌握单循环赛制规则，熟记单循环通用计数公式；（2）模型迁移：能快速识别球赛、握手、互通电话等所有两两单次互动的同类问题，精准建立一元二次方程；（3）解题规范：熟练运用六步解题法，明确计数类问题解必须为正整数，能准确舍去负数、小数等不合理根.2.思想方法:（1）特殊到一般的归纳思想：通过少量队伍枚举特例，推导得出通用计数公式，实现从具象计算到抽象建模的升级；（2）数学建模思想：将体育赛事、生活社交的计数问题，抽象为固定的一元二次方程模型，用代数方法解决生活问题；（3）对比辨析思想：通过单、双循环模型对比，精准区分同类变式题型，提升审题辨析能力；（4）严谨验证思想：结合实际场景的取值限制筛选方程有效解，培养严谨的数学思维.3.易错提醒：