25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时 代数数字、图形面积问题）导学案

.3实际问题与一元二次方程（第1课时代数数字、图形面积问题）（导学案）（1）掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；完整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根.（2）经历“数字/图形情境→梳理等量关系→建立方程模型→运算求解→验证实际意义”的探究过程，提升文字信息转化、几何图形量化、代数建模的能力.（3）感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服应用题畏难情绪，提升数学解题的严谨性与自信心.重点：掌握连续整数、两位数数字问题的设元方法与等量关系构建；利用矩形、正方形面积公式建立一元二次方程，规范解题步骤.难点：准确用代数式表示多位数、连续整数类未知量；复杂图形（留白、裁剪问题）中提炼“整体面积、局部面积”的隐性等量关系；结合整数、边长为正数的实际条件，精准取舍方程的两个根.第一环节自主学习温故知新：创设情景，引入新课前面我们学习了一元一次方程、二元一次方程(组)解决实际问题，同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，本节课继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题.【学法指导】新知自研：自研课本第20-21页的内容【学法指导】自研课本P20-21页内容（一）代数数字关系问题活动1：已知两个连续正整数的乘积为132，求这两个连续正整数.活动2：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?（二）几何图形面积问题活动3：一个正方形的边长增加2cm，面积增加24cm²，求原正方形的边长.活动4：用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一?追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域?思考：对于上述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如:(1)可设一边长为xm，那么其邻边长为m;(2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m.能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗?比较这些设法，说说它们各自的特点.学生讨论，交流.（三）归纳列一元二次方程解决实际的通用步骤活动5：师生共同归纳以上四个问题通用步骤：典型例题【自研自探】自研课本P20-21页内容例1：两个连续偶数的积为168，求这两个连续偶数.例2.在一块长宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图（1）所示的是小明的设计方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为或．如图（2）所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同．(1)你认为小明的结果对吗？为什么？(2)你能帮小颖求出图（2）中的吗？（取，结果精确到0.1）(3)你还有其他设计方案吗？第二环节合作探究1.讨论怎样表示两个连续正整数、三个连续正整数？两个连续偶（奇）数、三个连续偶（奇）数？2.讨论怎样计算几何图形面积？3.讨论列一元二次方程解决实际的通用步骤.拓展提升：1.如图，某校准备一面利用墙，其余各面用篱笆围成一个矩形花辅．已知旧墙可用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的边长为x．(1)若围成的花圃面积为时，求的长；(2)如图，若计划将花圃面积围成，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由．课堂练习：课本P21随堂练习1．(2025.来安校考)如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（

）A．40 B．48 C．52 D．562．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（）A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40 C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝403．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（）A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝64．（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．5．（2025.周口统考）如图，利用一面墙（长度不限），用长20米长的篱笆围成一个矩形场地，并在边上留出一个1米宽的门（不用篱笆），怎样围成一个面积为45平方米的场地？

1.知识技能：（1）数字问题：掌握连续、连续、的代数式表示方法，能根据“整数、正数”条件取舍方程根.（2）面积问题：熟练掌握变化、留白裁剪问题的等量关系，依托建立一元二次方程.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程解应用题，解题.2.思想方法：（1）模型思想：将数字关系、几何面积的实际问题，抽象转化为模型.（2）数形结合思想：面积问题通过，直观、关系，化计算.（3）转化思想：的互通转化.（4）严谨验证思想：必须结合实际情境的有效解.3.易错提醒：（1）数字问题：设，混淆连续整数、连续偶数的；忽略“”要求，不舍去根；两位数代替，计算错误.（2）面积问题