25.2.2 公式法 导学案（解析版）

.2.2公式法（导学案）（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程，熟记求根公式及根的判别式公式.掌握根的判别式与一元二次方程实数根的三种对应关系，能准确判断方程根的情况.熟练运用公式法规范解一元二次方程，掌握解题标准步骤，规避常见运算错误.（2）经历“配方法解一般式方程→推导求根公式→归纳解题步骤→应用解题”的完整过程，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想.通过分类讨论判别式的取值情况，培养分类探究、归纳总结的学习能力，提升代数推理和运算能力.（3）在公式推导的探究过程中，感受数学公式的严谨性、简洁性，体会数学的逻辑美感.养成规范解题、细致运算、严谨思考的良好学习习惯，增强学习数学的自信心.重点：一元二次方程求根公式的理解与记忆；根的判别式的应用，公式法解一元二次方程的规范步骤.难点：一般形式的求根公式推导过程（字母配方、分母不为0、根式有意义的条件分析）；准确判断系数a、b、c的正负，规避代入公式、计算判别式时的符号错误.第一环节自主学习温故知新：师生互动：用配方法解方程.两名学生板演，其余学生独立完成.提出问题：配方法解题步骤繁琐，对于任意一个一元二次方程，能否推导一个通用公式，直接代入求解？【学法指导】新知自研：自研课本第9-12页的内容【学法指导】自研课本P9-12页内容(一)自主探究，推导公式活动1:对一元二次方程一般式进行配方推导.学生讨论:1.移项：.2.二次项系数化为1：.3.配方：两边加一次项系数一半的平方.4.整理完全平方式5.分析取值条件：因为a≠0，所以等式右边的符号由决定当时，,方程有两个不相等的实数根,；当时，,方程有两个相等的实数根；当时，等式右边为负，无实数根.师生归纳求根公式：当时，求根公式：.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.（二）归纳公式法解题步骤活动2：归纳公式法解方程五步步骤：一化：将方程化为的一般形式；二定：准确确定a、b、c的数值（包含正负符号）；三求：计算判别式的值；四判：根据的正负判断方程根的情况；五解：时代入求根公式计算根，直接写无实数根.及时巩固：用公式法解方程.解：a=1，b=-3，c=2.，方程有两个不等实数根∴（三）根的判别式活动3:不解一元二次方程判断方程的根在一元二次方程中，把叫做一元二次方程的根的判别式.当时，,方程有两个不相等的实数根；当时，,方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根.及时练习：（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的意义判断根的情况．【解答】解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×0＝0，∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0，∴方程有无实数根，不符合题意；D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；故选：D．【自研自探】自研课本P9-12页内容典型例题例１.解方程：；【分析】利用公式法即可求解.熟练掌握公式法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键．【详解】解：，，，，，解得：，．例2.（2025•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜54 B．m≥54 C【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可得出5﹣4m≥0，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（m+1）＝5﹣4m≥0，解得：m≤5∴实数m的取值范围是m≤5故选：D．例3.已知关于的一元二次方程．(1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例．【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．（1）由二次项系数和常数项的符号不同，可得，再由即可得出结论；（2）由一元二次方程的根的判别式，举出一个反例即可得到答案．【详解】（1）证明：二次项系数和常数项的符号不同，，，，该方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：不是，反例（答案不唯一），理由如下：方程有两个不相等的实数根，，满足即可，反例：，，即，这个方程有两个不相等的实数根，该方程二次项系数和常数项的符号相同．第二环节合作探究1.讨论怎样推导一元二次方程求根公式2.讨论公式法解题步骤3.讨论根的判别式及其应用拓展提升：1.定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程．(1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系；(2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值．【详解】（1）解：∵有两个相等的实数根，∴，∵是“凤凰”方程．∴，∴，∴，即，∴，∴，即；（2）解：方程整理得：，∵此方程是“凤凰”方程，∴，∴，∵，∴，∴，，∵两个实数根都是整数，∴或，∴或或或，∴整数m的值为0或2或4或6．课本课堂练习（P12）1、2、3、4、5、6.1.（2025•北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0且a≠0．∴22﹣4a＝0且a≠0．∴a＝1．故选：C．2．（2025•内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，∴a-1≠0Δ=解得：a≤2且a≠1，∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1．故选：C．3．（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．4．（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是．【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣1＝0，∴Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0．∴该方程有两个不相等的实数根．故答案为：方程有两个不相等的实数根．5．（2025•山东）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即Δ＝42+4m＞0，解得m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．6.（2025·漯河校考）解下列方程：．【详解】解：，，，，，，，．1.知识与技能：（1）两个核心公式：根的判别式、求根公式当时,方程有两个不相等的实数根,；（2）判别式三种结论：两不等实根，两相等实根，无实数根.（3）公式法解题五步核心步骤：化一般式→定系数→求判别式→判根的情况→代入求解.2.思想方法：（1）特殊到一般：从数字系数方程配方，推广到字母系数一般方程，推导通用公式；（2）分类讨论思想：根据判别式的不同取值，分类讨论方程根的三种情况；（3）转化思想：将繁琐的配方法转化为程