小学数学三年级上册：不含括号的乘除与加减两级混合运算规则探究

小学数学三年级上册：不含括号的乘除与加减两级混合运算规则探究

  一、教学整体分析

  （一）教材深度解析

    本课内容在苏教版小学数学教材体系中，位于三年级上册“两、三位数乘一位数”及“两、三位数除以一位数”单元之后，是学生系统学习混合运算的起始与关键节点。在此之前，学生已熟练掌握了表内乘除法、整十、整百数乘一位数的口算，以及两、三位数乘或除以一位数的笔算，并具备了连加、连减、加减混合以及连乘、连除同级运算的基础。本课的核心价值在于，引导学生首次正式接触并理解“先乘除、后加减”这一基本运算顺序规则，且是在不含括号的特定情境下。这一规则是构建所有复杂运算逻辑的基石，其掌握程度直接关系到后续学习含有括号的混合运算、四则运算定律乃至代数表达式运算的成败。教材通常通过创设贴近学生生活的购物、分组等实际问题情境，引出算式，让学生在对比计算不同顺序导致不同结果的认知冲突中，自主发现、归纳并最终牢固掌握这一规则。本课不仅训练学生的计算技能，更着重于培养其数学建模能力（将实际问题转化为算式）、规则意识和逻辑推理能力，是算术思维向更抽象、更严谨的代数思维过渡的重要桥梁。

  （二）学情精准诊断

    三年级学生年龄约在8-9岁，其思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对于单一运算步骤已较为熟悉，但对于运算顺序这一“规则性”知识的敏感度和自觉应用意识尚在萌芽阶段。基于前期教学观察，学生在学习本课时可能呈现以下特点：其一，已有经验干扰：受从左往右依次计算的同级运算顺序的思维定势影响，部分学生在初次接触乘除与加减混合的算式时，会不假思索地选择从左往右计算，从而导致错误。其二，规则理解表象化：学生可能通过机械记忆“先算乘除法，后算加减法”的口诀来解决问题，但对于“为什么”要遵循这样的顺序缺乏本质理解，一旦情境或算式结构稍有变化，就容易产生混淆。其三，计算过程完整性不足：在分步计算时，学生容易遗漏尚未计算的运算符号和数字，导致抄错或步骤缺失。其四，学习兴趣与情境依赖：生动、熟悉、富有挑战性的问题情境能有效激发他们的探究欲望，而单纯的算式练习易使他们感到枯燥。因此，教学设计必须着力于创设认知冲突，引导深度思辨，将外在的运算规则内化为学生自身的逻辑认知结构，并辅以充分的变式练习和过程书写规范训练。

  （三）教学目标设定

    基于以上分析，确立以下三维教学目标：

    1.知识与技能目标：理解并掌握不含括号的乘、除法与加、减法混合运算的运算顺序，能正确进行两步计算，并规范书写递等式计算过程。

    2.过程与方法目标：经历从实际问题中抽象出数学问题、用不同方法解决问题的过程，通过观察、比较、分析和归纳，主动发现并概括运算顺序规则，体会规则规定的合理性和必要性，发展初步的概括能力和推理能力。

    3.情感、态度与价值观目标：在探索运算顺序的活动中获得成功的体验，培养认真计算、书写工整、自觉检验的学习习惯，增强规则意识和应用数学知识解决实际问题的信心。

  （四）教学重难点剖析

    教学重点：理解并掌握“先算乘除法，后算加减法”的运算顺序。

    教学难点：理解“为什么先算乘除法，后算加减法”的合理性；摆脱从左向右计算定势的影响；形成清晰、规范的计算步骤意识。

  二、教学准备与资源

    1.教师准备：多媒体课件（包含主题情境动画、动态算式生成与步骤演示、互动练习等）；实物投影仪；用于板书的卡片或磁贴（数字、运算符号、等号线等）；设计分层次的课堂练习纸。

    2.学生准备：数学课本、练习本、文具。

  三、教学实施过程详案

  （一）情境激趣，孕伏冲突（预计用时：8分钟）

    1.创设现实问题，引发数学思考

    师：同学们，学校的“阳光小超市”开业了！我们一起去看看有什么商品吧。（课件出示情境图：钢笔每支5元，笔记本每本3元。小明想买3支钢笔和2本笔记本。）请问：小明一共需要付多少钱？谁能列出算式来解决这个问题？

    生1：可以先算买钢笔的钱，5×3=15（元），再算买笔记本的钱，3×2=6（元），最后加起来，15+6=21（元）。所以是5×3+3×2。

    生2：也可以先算买笔记本的钱，3×2=6（元），再算买钢笔的钱，5×3=15（元），最后加起来，6+15=21（元）。算式是3×2+5×3。

    师：两位同学都说得非常清楚！大家发现了吗？这两种思路虽然顺序不同，但都涉及了“乘法”和“加法”。像这样把两个乘法和一个加法合并在一起写成的算式，比如“5×3+3×2”，我们称它为混合运算。

    2.暴露思维定势，制造认知冲突

    师：老师这里还有一个更简单的购物问题。（课件出示：一盒巧克力有8块，小红吃了2块，后来又买来3盒。现在一共有多少块巧克力？）

    师：请同学们独立思考，把算式写在练习本上。（巡视，有意识地选取两种典型列式：①8-2+8×3；②8×3+8-2）

    师：我们来看看小华同学列的算式：8-2+8×3。（板书）按照我们以前做加减混合或连乘连除的习惯，都是从左往右算。如果先算8-2=6，再算6+8=14，最后算14×3=42。结果是42块。

    师：再看看小丽同学用分步计算的方法：先算买来的3盒有多少块，8×3=24（块）；再算原来剩下的，8-2=6（块）；最后合起来，24+6=30（块）。结果是30块。

    师：咦？同一个问题，怎么算出了两个不同的结果？到底哪个对呢？请大家结合生活实际想一想，是42块合理，还是30块合理？

    生讨论后明确：30块更合理。因为先算买来的3盒（24块）是已知条件直接告诉的，与剩下的6块相加，符合题意。而先从左算起，把“8-2”理解成“一盒里剩下的6块”加上“另一盒的8块”再乘以3，意义上是混乱的。

    师：看来，在混合运算中，“从左往右算”这个老办法有时会“失灵”。当加、减、乘、除这些运算符号全碰在一起时，我们必须学习一个新的、统一的规则来决定谁先算、谁后算。这就是今天我们要探究的奥秘。

  （二）自主探究，建构规则（预计用时：22分钟）

    1.探究活动一：对比分析，初步感知

    师：让我们回到刚才的算式“8-2+8×3”。为什么分步算（先算8×3）能得到正确的结果？我们把分步计算的过程合并成一个算式，并试着用一个新的格式来记录计算过程。

    师介绍递等式（脱式计算）格式：等号要写在算式左下方，且上下对齐；先算的部分要照抄下来。

    板书示范：

    8-2+8×3

    =8-2+24（先算乘法8×3=24）

    =6+24（再算减法8-2=6）

    =30（最后算加法6+24=30）

    师：请同学们按照这个格式，自己写一写另一个算式“8×3+8-2”的计算过程。（学生练习，教师巡视指导格式）

    师：观察这两个正确的计算过程，你们发现有什么共同的特点？

    引导学生发现：都是先算了乘法（8×3）。

    2.探究活动二：拓展例证，归纳规律

    师：这会不会是巧合呢？我们再来研究几个例子。（课件出示分组问题）

    （1）航模小组有男生12人，女生6人，如果每3人组成一个制作小组，一共可以组成多少个小组？

    列式：（12+6）÷3？不，题目没有括号。应引导学生先算总人数，再分组。正确列式为：12+6÷3？这会产生歧义。实际上，必须用“总人数÷每组人数”，总人数需先算出。这恰恰说明了需要一个新的规则来避免歧义。但直接给出（12+6）÷3超出了本课范围。因此，调整为例：美术班有24人，书法班比美术班少6人，把两个班平均分成3个组参观，每组多少人？可列式：[24+(24-6)]÷3，同样含括号。为了聚焦“不含括号的乘除与加减”，应选择更纯粹的算式。

    调整为例题算式：①36+12÷4；②5×7-20；③40-6×5；④81÷9+15。

    师：请同学们以小组为单位，任选两个算式，结合实际问题情境（可自己编简单故事），讨论并完成以下任务：第一，判断应先算什么，再算什么；第二，用递等式格式写出计算过程；第三，思考并交流：这些算式中运算的顺序有什么规律？

    学生小组合作探究，教师深入小组倾听并引导。

    小组汇报：

    生A：我们研究了“36+12÷4”。我们编的情境是：小明有36颗糖，又买了4包糖，每包12颗（这里12÷4情境不贴合，应是每包3颗）。调整：小明有36颗糖，又把12颗糖平均分给4个朋友，每人得几颗？然后加上自己的？这依然复杂。更佳情境：一箱苹果有36个，又买来12个，平均放到4个盘子里，每盘放几个？算式是（36+12）÷4。再次说明，为了规避括号，直接分析运算顺序本身。因此，聚焦于算式的数学结构。

    师引导：我们可以暂时抛开复杂情境，只看这些算式的“样子”。比如“36+12÷4”，里面有“+”和“÷”。你们认为先算哪个部分结果才合理？为什么？

    生B：应该先算12÷4。因为如果先算36+12=48，再算48÷4=12，意义就变了，好像是总和去平均分。但原来的算式中，“÷4”只紧跟着“12”。

    师：说得非常好！“÷4”是作用于“12”的，这种“隶属关系”在算式里很重要。在“5×7-20”中呢？

    生C：先算5×7=35，再减20。因为5×7表示一个整体，从整体里去掉20。

    师（总结提升）：同学们通过观察和思考发现，在这些既有乘、除法，又有加、减法的算式里，我们都不约而同地选择了先算乘法和除法。这就像在一个家庭里，乘法和除法是“长辈”，加法和减法是“晚辈”，约定俗成要让“长辈”先发言（先计算）。在数学王国里，我们规定：在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。大家齐读一遍这个重要规则。

    3.探究活动三：追溯本源，理解算理

    师：数学家们为什么要这样规定呢？仅仅是为了方便吗？我们从一个更根本的角度来想想。

    （课件动态演示）：5+5+5+5+3。我们可以把它写成5×4+3。

    师：求几个相同加数的和，用乘法表示更简便。这里的“5×4”本身就是一个“整体”，表示4个5的和。所以，在计算“5×4+3”时，自然要先求出这个“整体”是多少，再加上额外的3。如果先算4+3=7，再算5×7=35，就完全改变了问题的本意，把3也当成了相同加数的一部分。

    同理，对于“20-3×5”，可以理解为：有20个苹果，每次拿走3个，拿了5次（即拿走3×5=15个），求剩下几个。必须先算拿走的总数（3×5），才能从20里减去。

    师：现在大家明白了吗？“先乘除、后加减”的规定，是为了保证运算结果能准确反映实际问题中的数量关系，是符合我们认知逻辑的，而不仅仅是一条冰冷的指令。乘除法是更高一级的运算，它们代表了“份”、“倍”这样的整体概念，因此需要优先计算。

  （三）分层巩固，内化技能（预计用时：15分钟）

    1.基础应用层：规范格式，巩固顺序

    （1）课件出示：15-6×2；48÷8+17；4×9+23；50-18÷3。

    要求：独立完成，指名板演。重点评议运算顺序和递等式书写格式（等号对齐、未计算部分照抄）。

    （2）纠错小医生。课件出示典型错误：

    ①3+4×5②24÷6-2③10-2×4

    =7×5=24÷4=8×4

    =35=6=32

    请学生诊断“病因”（运算顺序错误），并正确“医治”。

    2.综合理解层：情境匹配，深化意义

    （1）根据情境选择正确算式。

    情境：每支钢笔6元，每本日记本4元。买3支钢笔和1本日记本共需多少元？

    A.6+4×3B.6×3+4C.(6+4)×3

    （2）根据算式编数学小故事。

    如：28-4×6；45÷9+10。

    此活动旨在深化学生对运算顺序与实际问题结构对应关系的理解。

    3.思维拓展层：初步变式，孕伏发展

    （1）在○里填上“>”、“<”或“=”。

    16÷8+4○16+8÷4；5×7-5○5×(7-5)。

    （2）在数字间填入“+”或“-”，使等式成立。（此题有一定灵活性，但需控制难度）

    如：6○4○2=8（答案：6+4-2=8）

    如：12○3○4=0（答案：12÷3-4=0，此处涉及除法，但思想一致）

    调整为更匹配的：9○3○3=6（答案：9-3×1=6？不，还是用加减）。为了紧扣主题，可设计：在合适的位置添上“+”、“-”、“×”、“÷”，使等式成立。如：444=4。此题开放性强，作为可选拓展。

  （四）回顾反思，总结提升（预计用时：5分钟）

    师：同学们，今天的数学探索之旅即将结束，我们一起来梳理一下收获。

    1.知识梳理：通过今天的学习，你发现了混合运算的什么重要规则？（师生共同复述：在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。）

    2.过程方法回顾：我们是怎样发现这个规则的？（从实际问题出发，遇到矛盾冲突，通过举例、比较、分析，最后归纳出普遍规律。）

    3.情感价值内化：你觉得这个规则重要吗？为什么？（它让我们的计算有据可依，结果正确，能解决更多复杂问题。）在计算时，你想提醒自己和同学们注意什么？（一看：看清符号和数字；二想：牢记运算顺序；三算：认真仔细计算；四查：检查顺序和结果。）

    4.课堂评价：采用“星级评价表”让学生自评。例如：★我能理解“先乘除后加减”的规则；★我能正确计算不含括号的两步混合运算；★我能用递等式规范书写过程；★我能发现生活中的混合运算问题。

  （五）作业设计（分层、实践、开放）

    【基础巩固园地】（必做）

    1.课本对应练习题：完成教材中关于不含括号乘加、乘减、除加、除减两步混合运算的计算题。要求用递等式规范书写。

    2.改错题：找出练习本或课本练习中自己做错的1-2道题，分析错误原因并订正。

    【能力提升空间】（选做）

    1.生活调查员：寻找家庭生活中（如购物小票、水电费计算、旅行规划）包含“先乘除后加减”运算的实际例子1-2个，记录下来并与家人分享其计算道理。

    2.思维小挑战：用1,2,3,4这四个数字和“+”、“-”、“×”、“÷”运算符号（每个数字用一次），编一道结果是5的两步混合运算式。你能想出几种？

  四、教学特色与创新思考

    1.深刻理解与机械记忆的结合：本设计没有停留在让学生背诵口诀的层面，而是通过制造强烈的认知冲突（42与30之争），