第12讲分组分解法(原卷版+解析)

第12讲分组分解法如何将多项式因式分解？分析：很显然，多项式中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于,而：．这样就有：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．分解因式：．分解因式：．分解因式：．分解因式：．分解因式：．分解因式：．．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（

）A．15,17 B．16,17 C．15,16 D．13,14（2022秋·上海杨浦·七年级统考期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解（

）A． B．C． D．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（）A．4 B．5 C．6 D．8（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A．是0B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶数分解因式：_________________（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：_________．因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝_____．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）如图，边长分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则=__________．（2022秋·上海·七年级校考期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，，，那么_____．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）______多项式的因式（填“是”或“不是”）当时，代数式__________（2022秋·上海·七年级校考期中）已知，，则代数式的值是________．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）已知，，则的值为___________．（2022秋·上海·七年级校考期中）分解因式：__________．因式分解：______________；________；__________；________因式分解：(1)．(2)．(3)(4)．解方程(1)解关于x、y的方程：．(2)求方程的整数解．（2022秋·上海·七年级校考期中）阅读下列材料，并解决问题．材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数．例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有．又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除．问题：(1)多项式除以多项式，所得的商为．(2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为．(3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为．因式分解：m2-n2-2m+1=___．已知，那么___________．矩形的周长是，两边x，y使，则矩形面积为_________正数满足，那么______．分解因式：已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值．第12讲分组分解法如何将多项式因式分解？分析：很显然，多项式中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于,而：．这样就有：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．分解因式：．【答案】．【解析】原式 ．【总结】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．分解因式：．【答案】．【解析】原式 ．【总结】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．分解因式：．【答案】．【解析】原式 ．【总结】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．分解因式：．【答案】．【解析】原式 ．【总结】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．分解因式：．【答案】．【解析】原式．【总结】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，当不能直接分解时，要利用乘法公式展开后再进行分组．分解因式：．【答案】．【解析】原式．【总结】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意先拆再重新分组．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3【答案】B【详解】解：∵多项式能因式分解为解得：．故选B．已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（

）A．15,17 B．16,17 C．15,16 D．13,14【答案】A【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除.【详解】=(216+1)(216-1)=(216+1)(28+1)(28-1)=(216+1)(28+1)(24+1)(24-1)=(216+1)(28+1)(24+1)(22+1)(22-1)=(216+1)(28+1)×17×5×3=(216+1)(28+1)×17×15∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除.故选A.【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解答本题的关键.（2022秋·上海杨浦·七年级统考期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】用因式分解的定义:把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解.按照定义去检验就可以解题．【详解】解：A选项等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B选项从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C选项从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D选项等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查因式分解，熟记因式分解的形式是解决本题的关键．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【详解】根据把16分解成两个因数的积，2m等于这两个因数的和，分别分析得出即可．解：∵4×4=16，（﹣4）×（﹣4）=16，2×8=16，（﹣2）×（﹣8）=16，1×16=16，（﹣1）×（﹣16）=16，∴4+4=2m，﹣4+﹣4=2m，2+8=2m，﹣2﹣8=2m，1+16=2m，﹣1﹣16=2m，分别解得：m=4，﹣4，5，﹣5，8.5，﹣8.5；∴整数m的值有4个，故选A．（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A．是0B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶数【答案】C【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=[1﹣1]（n2﹣1）=0，当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=×（1+1）（n+1）（n﹣1）=，设n=2k﹣1（k为整数），则==k（k﹣1），∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数．故选C．分解因式：_________________【答案】【分析】利用分组分解法和提取公因式法进行分解因式即可得．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：_________．【答案】【分析】前两项一组，提取公因式x，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式整理即可．【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝_____．【答案】【分析】先分组，再提取公因式，最后再提取公因式．【详解】解：ax﹣by+ay﹣bx＝（ax﹣bx）+（ay﹣by）＝x（a﹣b）+y（a﹣b）＝（a﹣b）（x+y）故答案为：（a﹣b）（x+y）【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解是解题关键．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）如图，边长分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则=__________．【答案】225【分析】根据长方形的周长及面积可得出，，将其代入中即可求出结论．【详解】解：长方形的周长为15，面积为10，，，．故答案为：225．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及长方形的周长及面积，根据长方形的周长及面积找出，是解题的关键．（2022秋·上海·七年级校考期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，，，那么_____．【答案】33489【分析】利用平方差公式得到，再根据a、b、c是三个连续正整数得到，于是可计算出，然后可得c，从而得到b的值．【详解】解：，∵a、b、c是三个连续正整数，∴，∴，∴，，∴，∴．故答案为：33489．【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）______多项式的因式（填“是”或“不是”）【答案】是【分析】假设是多项式的因式，则只需将多项式进行分组，可写成，此时两两一组分解因式即可得到结果．【详解】，，，，∴是多项式的因式．故答案为：是【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握分组分解法是解题的关键．当时，代数式__________【答案】【分析】原式先提取x，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解．【详解】解：∵，，∴．故答案为：0．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键．（2022秋·上海·七年级校考期中）已知，，则代数式的值是________．【答案】-3【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.【详解】∵，，∴a-c=-1，∴====-3，故答案为：-3.【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）已知，，则的值为___________．【答案】【分析】先根据得到，再将分解因式，整体代入即可求解．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了积的乘方，利用因式分解变形求代数式的值等知识，熟练进行因式分解，理解整体思想是解题关键．（2022秋·上海·七年级校考期中）分解因式：__________．【答案】/（x-y+2）（x+y-2）【分析】先分组成，再利用完全平方公式化为，最后利用平方差公式解答．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键．因式分解：______________；________；__________；________【答案】/；；．【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分组分解法求解即可．【详解】解：；；；；故答案为：；；；．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．因式分解：(1)．(2)．(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解；（2）利用平方差公式分解因式；（3）前3项分成一组利用完全平方公式分解，然后再与第四项利用平方差公式分解因式；（4）把1+x看作一个整体，利用提公因式法分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．解方程(1)解关于x、y的方程：．(2)求方程的整数解．【答案】(1)(2)方程的整数解为：或或或【分析】（1）首先通过因式分解，得到或，然后分别解出，即可得出结果；（2）首先把原方程化为，然后再进行整理，得出，再根据、为整数，可知必须为的因数，然后再根据的因数有，分别算出当取时，的对应值，即可得出方程的整数解．【详解】（1）解：，移项，得：，分解因式，得：，∴可得：或，解得：．（2）解：∵，移项，得：，即，，整理，可得：，∵、为整数，∴根据，可知必须为的因数，又∵的因数有，∴当，即时，则；当，即时，则；当，即时，则；当，即时，则，∴方程的整数解为：或或或．【点睛】本题考查了解二元一次方程，解本题的关键在熟练掌握因式分解法解二元一次方程和正确理解题意．（2022秋·上海·七年级校考期中）阅读下列材料，并解决问题．材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数．例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有．又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除．问题：(1)多项式除以多项式，所得的商为．(2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为．(3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把已知多项式分解因式即可求解；（2）首先把已知多项式减去余式再分解因式即可求解；（3）设，其中A为一次多项式，然后把和时，代入等式可以得到关于a、b的方程组，解方程组求出a，b，最后分解因式即可求解．【详解】（1）解：∵，∴多项式除以多项式，所得的商为．故答案为：；（2）解：∵，∴，∴多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为．故答案为：；（3）解：∵多项式分别能被和整除，∴设，其中A为一次多项式，当时，，当时，，联立解得：，解得，∴，∴多项式除以的商为．故答案为：．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确读懂题意是解题的关键．因式分解：m2-n2-2m+1=___．【答案】（m-1+n）（m-1-n）【分析】先分组，得到m2-2m+1-n2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可．【详解】原式=m2-2m+1-n2=（m-1）2-n2=（m-1+n）（m-1-n）．故答案为（m-1+n）（m-1-n）．【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键．已知，那么___________．【答案】【分析】先将，整理成平方和的形式，再根据非负数的性质可求出x，y的值，进而可求出的值．【详解】解：∵，∴，由非负数的性质得：，则．故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方式，非负数的性质，解题的关键是掌握完全平方式的结构特征．矩形的周长是，两边x，y使，则矩形面积为_________【答案】49【分析】先利用矩形的周长公式求出，再由得出，进而得出，解二元一次方程组求出x，y，即可求出矩形的面积．【详解】解：∵矩形的周长是，两边为x，y，