第12讲一元二次方程章节复习(原卷版+解析)

第12讲一元二次方程章节复习1．一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．3．一元二次方程的解法解法1：直接开平方法：适合类型：，当时，原方程无实数解．解法2：因式分解法：将方程右边化为；将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程；令每一个因式分别为，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．解法3：配方法：先把二次项系数化为：方程两边同除以二次项的系数；移项：把常数项移到方程右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；当时，用直接开平方法解变形后的方程．解法4：公式法：（1）把方程化为一般形式，进而确定的值．(注意符号)（2）求出的值．(先判别方程是否有根)（3）在的前提下，把的值代入求根公式，求出方程的根．4、一元二次方程的根的判别式是．当时，方程有两个不相等的实数根，；当时，方程有两个相等实数根；当时，方程没有实数根．5、韦达定理：如果是一元二次方程的两个根，由求根公式法得：，；则．这是一元二次方程根与系数的关系6、二次三项式的因式分解：（1）形如（都不为）的多项式称为二次三项式；（2）当，先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式；当，方程没有实数根，在实数范围内不能分解因式．7、一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．列一元一次方程解应用题的步骤：eq\o\ac(○,1)审题；eq\o\ac(○,2)设未知数；eq\o\ac(○,3)找等量关系；eq\o\ac(○,4)列方程；eq\o\ac(○,5)解方程；eq\o\ac(○,6)写答句．一、单选题1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，2．某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为（

）A． B．C． D．3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A．且 B． C． D．4．已知关于的一元二次方程有实数根，若为非负整数，则等于（）A． B． C．或 D．5．用配方法解方程时，原方程应变形为（

）A． B． C． D．6．关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（

）A．4 B．2或 C．4或 D．7．已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数n，使得，则称函数和是“和谐函数”．则下列函数和不是“和谐函数”的是（

）A．和 B．和C．和 D．和8．对于一元二次方程，正确的结论是（

）①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是一元二次方程的根，则．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．已知，，下列结论正确的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．当时，为正数 D．当时，为负数10．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒二、填空题11．已知m是方程的一个根，则__________．12．已知一元二次方程有一个根为0，则________．13．一元二次方程﹣4x＋m＝0配方后得＝n，则m＋n的值为________．14．若，则______．15．关于的一元二次方程的实数根，，且满足（为整数），则的值等于______．16．小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少了35，则这个数为_________．17．商店今年1月份的销售额是4万元，3月份的销售额是9万元，从1月份到3月份，则该店销售额平均每月的增长率为________．18．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________

19．如果最简二次根式与是同类二次根式，则的值是_____．20．已知a，b是方程的两个根，则的值_____．三、解答题21．某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每涨元，月销售量就减少，针对这种水产品情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克元时，则销售量为______；月销售利润为_____元．(2)若设销售单价为每千克元，则销售量为______；月销售利润为_____元（用含的代数式表示）．(3)若商品想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，则销售单价应为多少．22．已知关于的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．23．解方程：(1)(2)(3)(4)．24．已知，是方程的两实数根，求：(1)，(2)的值．25．如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．(1)若的面积是面积的，求的值？(2)的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．第12讲一元二次方程章节复习1．一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．3．一元二次方程的解法解法1：直接开平方法：适合类型：，当时，原方程无实数解．解法2：因式分解法：将方程右边化为；将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程；令每一个因式分别为，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．解法3：配方法：先把二次项系数化为：方程两边同除以二次项的系数；移项：把常数项移到方程右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；当时，用直接开平方法解变形后的方程．解法4：公式法：（1）把方程化为一般形式，进而确定的值．(注意符号)（2）求出的值．(先判别方程是否有根)（3）在的前提下，把的值代入求根公式，求出方程的根．4、一元二次方程的根的判别式是．当时，方程有两个不相等的实数根，；当时，方程有两个相等实数根；当时，方程没有实数根．5、韦达定理：如果是一元二次方程的两个根，由求根公式法得：，；则．这是一元二次方程根与系数的关系6、二次三项式的因式分解：（1）形如（都不为）的多项式称为二次三项式；（2）当，先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式；当，方程没有实数根，在实数范围内不能分解因式．7、一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．列一元一次方程解应用题的步骤：eq\o\ac(○,1)审题；eq\o\ac(○,2)设未知数；eq\o\ac(○,3)找等量关系；eq\o\ac(○,4)列方程；eq\o\ac(○,5)解方程；eq\o\ac(○,6)写答句．一、单选题1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，【答案】D【分析】一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．2．某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，然后根据一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1200列方程即可．【详解】解：∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为，∴三月份的营业额为，∴可列方程为．即．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A．且 B． C． D．【答案】A【分析】由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，，，的取值范围是：且．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．4．已知关于的一元二次方程有实数根，若为非负整数，则等于（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根据一元二次方程求根公式得出，求出，根据为非负整数，得出或，再根据二次项系数非零即可求得k．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：，∵为非负整数，且∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．5．用配方法解方程时，原方程应变形为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵，∴，则，即．故选：D．【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．6．关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（

）A．4 B．2或 C．4或 D．【答案】C【分析】将方程的根代入求解即可得到答案；【详解】解：∵的一个根是1，∴，解得：，故选C．【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是将根代入列式求解．7．已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数n，使得，则称函数和是“和谐函数”．则下列函数和不是“和谐函数”的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】根据“和谐函数”的定义，对选项逐个判断即可．【详解】解：A、令，则，整理得：，解得：，∴函数和是“和谐函数”，故A不符合题意；B、令，则，整理得：，此方程无解，∴函数和不是“和谐函数”，故B符合题意；C、令，则，整理得：，解得：，∴函数和是“和谐函数”，故C不符合题意；D、令，则，整理得：，解得：，∴函数和是“和谐函数”，故D不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是理解“和谐函数”的概念，掌握一元二次方程的求解方法．8．对于一元二次方程，正确的结论是（

）①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是一元二次方程的根，则．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无实数根，以及求根公式和等式的性质逐个验证即可．【详解】解：①若，则是原方程的解，即方程至少有一个根，由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，故①正确；②方程有两个不相等的实根，，，又方程的判别式为，，方程有两个不相等的实数根，故②正确；③若是一元二次方程的根，则根据求根公式得：或，或，，故③正确；综上，①②③正确．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及求根公式，掌握根的判别式并灵活应用是解题关键．9．已知，，下列结论正确的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．当时，为正数 D．当时，为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可．【详解】解：∵，，∴；∴当时，有最小值；当时，即：，∴，∴，∴，即是非正数；故选项错误，选项正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．10．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：当运动时间为t秒时，，，根据题意得：，即，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去，∴．∴运动时间为1秒．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题11．已知m是方程的一个根，则__________．【答案】【分析】将代入方程中求得，代入原式计算即可．【详解】解：由题意得：把代入方程中，则，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值、一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解答的关键．12．已知一元二次方程有一个根为0，则________．【答案】3【分析】根据一元二次方程的根就是一元二次方程的解，把代入方程代入进行求解即可．【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0，∴把代入方程得：，解得：或，∵，即，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．13．一元二次方程﹣4x＋m＝0配方后得＝n，则m＋n的值为________．【答案】4【分析】把﹣4x＋m＝0配方得到，比较得到4-m=n，整理计算即可得到答案．【详解】因为﹣4x＋m＝0配方得到，且＝n，所以4-m=n，解得m+n=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．14．若，则______．【答案】【分析】设．则原方程转化为关于的一元二次方程，即；然后解关于的方程即可．【详解】解：设．则，即，解得，或不合题意，舍去)；故．故答案是：．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的的取值范围：．15．关于的一元二次方程的实数根，，且满足（为整数），则的值等于______．【答案】或者【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，代入已知条件中，再结合方程的判别式即可求得k的取值范围，问题随之得解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根是和，∴，，∵，∴，解得：，又∵，∴，即，∵为整数，∴或者，符合题意，故答案为：或者0．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程的根与系数的关系为：，．16．小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少了35，则这个数为_________．【答案】7或-5/或【分析】设这个数为x，根据这个数的平方-2×这个数=35，列出方程，解方程即可．【详解】解：设这个数为x，根据题意得：，解得：或．故答案为：7或-5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程，是解题的关键．17．商店今年1月份的销售额是4万元，3月份的销售额是9万元，从1月份到3月份，则该店销售额平均每月的增长率为________．【答案】【分析】设该店销售额平均每月的增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设该店销售额平均每月的增长率为，根据题意得，解得：（舍去）故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．18．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________

【答案】【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，

设小路宽为x米，根据题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．19．如果最简二次根式与是同类二次根式，则的值是_____．【答案】2【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．【详解】解：由题意，得：，解得：，故答案为：2．【点睛】本题主要考查同类二次根式及一元二次方程的解法，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键．20．已知a，b是方程的两个根，则的值_____．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴，，∴a＜0，b＜0，∴∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．三、解答题21．某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每涨元，月销售量就减少，针对这种水产品情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克元时，则销售量为______；月销售利润为_____元．(2)若设销售单价为每千克元，则销售量为______；月销售利润为_____元（用含的代数式表示）．(3)若商品想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，则销售单价应为多少．【答案】(1)450，6750(2)，(3)80元【分析】（1）根据题意计算即可；（2）利润=销售量×单位利润．单位利润为元，销售量为，据此即可求解；（3）销售成本不超过100001元，即进货不超过，根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论．【详解】（1）解：，(元)，故答案为：450，6750；（2）解：销售量为：；月销售利润为：(元)，故答案为：，；（3）解：商品想在月销售成本不超过元的情况下，即销售量不超过，设此时售价为x元，则，解得，，当时，销售量为：，符合题意，当时，销售量为：，不符合题意，故销售单价应为80元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．关键是设售价，分别表示每件利润和销售量，根据求利润的公式列出关系式．22．已知关于的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．【答案】(1)(2)1【分析】（