第12讲直角三角形与直角三角形全等的判定(原卷版+解析)

第12讲直角三角形与直角三角形全等的判定1．掌握直角三角形的特征与性质；2．掌握含30°角的直角三角形的性质；3、掌握直角三角形的斜边中线定理；4、掌握直角三角形的判定方法；知识点、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.知识点．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．知识点．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．考点一：直角三角形的两个锐角互余例1．（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·江苏连云港·校考二模）如图，在中，．将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，，，，则_________．

3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在中，．

(1)若，求的度数．(2)画的平分线交于点D，过点D作于点E．若，求的长．（画图工具不限）考点二：含30°角的直角三角形例2．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，如果，则的长为（）

A． B．3 C．5 D．6【变式训练】1．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，D为上一点，，则的长为（

）

A．8 B．7 C．6 D．52．（2023春·广东佛山·八年级佛山市第十四中学校考期中）已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则______________．

3．（2023春·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，在中，，．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出该三角形边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求的面积．考点三：斜边的中线等于斜边的一半例3．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（

）A． B． C． D．【变式训练】1、（2021·广东广州·广州市第八十九中学校考三模）如图，已知点P是平分线上的一点，，，M是的中点，．若点C是上一个动点，则的最小值为（）．A．6 B．5 C．4 D．32．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长是______．

3．（2023春·八年级单元测试）如图，在和中，，E是的中点．(1)求证：；(2)若，求．考点四：利用“HL”判定两个直角三角形全等例4．（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，平分，于C，于D，下列结论错误的是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，，有下列结论：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正确的结论是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有①2．（2023秋·八年级课时练习）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为____________.

3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．

(1)求证：；(2)求证：．1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（

）

A． B． C． D．3．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（

）A．8 B．6 C．5 D．44．（2023·河北·统考中考真题）在和中，．已知，则（

）A． B． C．或 D．或5．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．

6．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是_____________．7．（2020·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，度，则__________度．8．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．9．（2022·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)求草坪造型的面积．10．（2022·湖南长沙·统考中考真题）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．

(1)求该斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）11．（2022·广东·统考中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．1．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（

）

A．10 B．3 C．5 D．42．（2023·浙江金华·统考二模）如图，于A，，若，则等于（）

A． B． C． D．3．（2022春·九年级单元测试）在中，，，，则（

）A． B． C． D．4．（2023·广东汕尾·统考一模）如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（

）

A． B． C． D．6．（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（

）

A．9 B．10 C．12 D．147．（2023春·广东梅州·八年级统考期中）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则（

）

A．3 B．5 C．4 D．68．（2023春·广东清远·八年级校联考期中）如图，点E在等边的边BC上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（

）

A．7 B．8 C．9 D．9．（2023春·广东汕头·八年级校联考期中）如图，在中，是的中线，，则的长为___________；10．（2023·全国·八年级假期作业）已知直角三角形的一个锐角的度数为，则其另一个锐角的度数为___度．11．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在中，，平分，交于点，且．若，则___________．12．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，点为直线上一个定点，点为直线上一个动点，直线外有一点，，，当最短时，的长为_______________．

13．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，是等边三角形的角平分线，，垂足为E，边的垂直平分线交于点P，交于点F．若，则的长为___________．

14．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，，，将纸片沿DE折叠，使点B落到点A处，若，则DE=______．

15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在和中，于A，于D，，与相交于点O．求证：．16．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．(1)求证：；(2)判断和的位置关系并证明．17．（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数．

18．（2023春·广东河源·八年级校联考期中）将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为．

(1)如果，，试求的周长；(2)如果，求的度数．19．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在中，，于点D．

(1)若，求的度数；(2)若点E在边上，交AD的延长线于点F．求证：．20．（2023·河南南阳·统考三模）如图，中，，，点F是边上的中点，点D、E分别在线段、边上运动，且保持．连接、、．

(1)求证：是等腰三角形．(2)判断的度数，并说明理由．

第12讲直角三角形与直角三角形全等的判定1．掌握直角三角形的特征与性质；2．掌握含30°角的直角三角形的性质；3、掌握直角三角形的斜边中线定理；4、掌握直角三角形的判定方法；知识点、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.知识点．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．知识点．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．考点一：直角三角形的两个锐角互余例1．（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：依题意，，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式训练】1．（2023·江苏连云港·校考二模）如图，在中，．将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据旋转的性质得到，，，再根据补角的定义及外角的性质即可解答．【详解】解：由旋转的性质可得：，，，∵在中，，∴，∵，∴∴，∴；故选．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，补角的定义，外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，，，，则_________．

【答案】/30度【分析】利用同角的余角相等进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查垂直的定义，互余关系．熟练掌握同角的余角相等，是解题的关键．3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在中，．

(1)若，求的度数．(2)画的平分线交于点D，过点D作于点E．若，求的长．（画图工具不限）【答案】(1)(2)作图见解析；【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出的度数即可；（2）根据题意作图，过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，根据得出，求出即可．【详解】（1）解：∵中，，，∴；（2）解：如图，为所求作的角平分线，为所求作的垂线；

过点D作于点F，∵平分，，，∴，∵，又∵，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，作出辅助线，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．考点二：含30°角的直角三角形例2．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，如果，则的长为（）

A． B．3 C．5 D．6【答案】D【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出，再由直角三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在中，，的垂直平分线交于，，，，在中，，，．故选：D．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．【变式训练】1．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，D为上一点，，则的长为（

）

A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】已知，根据等腰三角形的性质可得的度数，再求出的度数，然后根据角直角三角形的性质求得的长，再根据等角对等边可得到的长，即可求得的长．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及角直角三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质和在直角三角形中角直角边等于斜边的一半，是解决问题的关键．2．（2023春·广东佛山·八年级佛山市第十四中学校考期中）已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则______________．

【答案】4【分析】过点作，垂足为，则，在中，利用三角形内角和定理可求出，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，此题得解．【详解】解：过点作，垂足为，如图所示．是的平分线，，．在中，，，，即．在中，，，．故答案为：4．

【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长是解题的关键．3．（2023春·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，在中，，．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出该三角形边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)100【分析】（1）过点作的垂线即可；（2）先根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质计算出，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后根据三角形的面积公式．【详解】（1）解：如图，为所作；

（2），，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形三边的关系．考点三：斜边的中线等于斜边的一半例3．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可．【详解】解：，，为的中点，，，，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出是解此题的关键．【变式训练】1、（2021·广东广州·广州市第八十九中学校考三模）如图，已知点P是平分线上的一点，，，M是的中点，．若点C是上一个动点，则的最小值为（）．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根据垂线段最短可得：当时，的值最小，先利用角平分线的定义可得，再利用角平分线的性质可得，然后在中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得，即可解答．【详解】解：如图：∵垂线段最短，∴当时，的值最小，∵平分，，∴，∵，，∴，在中，M是的中点，，∴，∴，∴，∴的最小值为，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，度角所对的直角边等于斜边的一半，角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键是找出最小时，点C的位置．2．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长是______．

【答案】6【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形的性质可得可得答案．【详解】解：，平分交于点，，点为的中点，，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解决问题的关键．3．（2023春·八年级单元测试）如图，在和中，，E是的中点．(1)求证：；(2)若，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出，，进而结论得证；（2）根据直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理和等边对等角可求，的值，然后根据计算求解即可．【详解】（1）证明：∵在和中，，E是的中点，∴，，∴；（2）解：∵在和中，E是的中点，，，，∴，，∴，，∵，∴为．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．考点四：利用“HL”判定两个直角三角形全等例4．（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，平分，于C，于D，下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角平分线的定义即可得选项A正确；根据角平分线的性质即可得选项D正确；根据定理证出，根据全等三角形的性质即可得选项B正确；由此即可得．【详解】解：∵平分，，，∴，，，则选项A和D均正确；在和中，，∴，∴，，无法得出，则选项B正确；选项C错误；故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．【变式训练】1．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，，有下列结论：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正确的结论是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有①【答案】B【分析】先证明得到，，，即可判断①②③；根据现有条件无法证明④．【详解】解：∵，，，∴，∴，，，∴平分，平分，故①正确，②正确；∵，，∴是线段的垂直平分线，∴平分，故③正确；根据现有条件无法证明，即无法证明平分，故④错误；故选B．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等几何知识，熟知全等三角形的性质与判定定理，线段的垂直平分线的判定定理是解题的关键．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为____________.

【答案】【分析】先证明，然后得到求解即可．【详解】解：∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．

(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解；（2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证．【详解】（1）证明：，，，，在和中，．（2）连接，由证明可得，，在和中，．，，．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形两锐角互余是解题关键．2．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：由图可知，在中，，点D为边的中点，,故选：B．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质．3．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．【详解】∵，平分，∴，∴，∵为的中点，∴，故选C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．4．（2023·河北·统考中考真题）在和中，．已知，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：过A作于点D，过作于点，∵，∴，当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，∴，∴；当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，∴，∴，即；综上，的值为或．故选：C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．5．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．

【答案】//．【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．【详解】解：由题意可知，矩，欘宣矩，，故答案为：．【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．6．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是_____________．【答案】/18度【分析】先根据作图方法得到CF是线段AD的垂线，则∠AFC=90°，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠BAC的度数，即可得到答案．【详解】解：由作图方法可知CF是线段AD的垂直，∴∠AFC=90°，∵∠B=54°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=72°，∴∠ACF=90°-∠BAC=18°，故答案为：18°．【点睛】本题主要考查了线段垂线的尺规作图，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．7．（2020·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，度，则__________度．【答案】70【分析】在Rt△ABC中，根据CD是斜边AB上的中线，得CD＝AD，可求出∠ACD＝20°即可解决问题．【详解】解：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD＝20°，∴∠BCD＝∠ACB−∠ACD＝90°−20°＝70°，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键．8．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．【答案】2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．【详解】解：∵，∴∠A+∠ABC=，∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=，∴，∵，∴AD=BD=2CD=2，故答案为：2．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．9．（2022·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)求草坪造型的面积．【答案】(1)见解析(2)草坪造型的面积为【分析】（1）根据“SSS”直接证明三角形全等即可；（2）过点A作AE⊥BC于点E，利用含30°的直角三角形的性质求出的长度，继而求出的面积，再由全等三角形面积相等得出，即可求出草坪造型的面积．【详解】（1）在和中，，；（2）过点A作AE⊥BC于点E，，，，，，，，草坪造型的面积，所以，草坪造型的面积为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．10．（2022·湖南长沙·统考中考真题）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．

(1)求该斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）【答案】(1)10m(2)20m【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．（2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】（1），（2）C，A，D三点共线，【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．11．（2022·广东·统考中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．【答案】见解析【分析】根据题意，用AAS证明．【详解】证明：∵，∴为的角平分线，又∵点P在上，，，∴又∵（公共边），∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．1．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（

）

A．10 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．【详解】解：∵，，点D为斜边上的中点，∴；故选C．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．2．（2023·浙江金华·统考二模）如图，于A，，若，则等于（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由垂直的定义得出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵，，∴，∵于A，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是平行线的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．3．（2022春·九年级单元测试）在中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．【详解】解：，，，，，故选：．【点睛】本题考查了在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，此题的关键是熟练掌握“角所对的直角边等于斜边的一半”来求边的长度和角的度数．4．（2023·广东汕尾·统考一模）如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如下图所示，∵，∴（两直线平行，内错角相等），∵，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质以及直角三角形的性质．本题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．5．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用垂线段最短分析可知：的最小值为3；根据含30度角的直角三角形的性质得出；接下来可知的最大值为6，由此即可得到答案．【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3．中，，，，，的最大值为6，长不可能是，故选：A．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出．6．（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（

）

A．9 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】由作图知，可得，然后根据含直角三角形的性质求出和即可得出答案．【详解】解：由作图知，，∵在中，，，，∴，，∴，∴，∴,故选：C．【点睛】本题考查了尺规作垂线，含直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．7．（2023春·广东梅州·八年级统考期中）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则（

）

A．3 B．5 C．4 D．6【答案】C【分析】过点P作于点D，再根据含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质以及线段的和差求解即可.【详解】解：过点P作于点D，

∵，∴∵，∴，∵，∴，∴．故选C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．8．（2023春·广东清远·八年级校联考期中）如图，点E在等边的边BC上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（

）

A．7 B．8 C．9 D．【答案】D【分析】作E点关于的对称点，连接，当三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，可求，即可求解．【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，

∴，∴，当三点共线，时，此时的值最小，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．9．（2023春·广东汕头·八年级校联考期中）如图，在中，是的中线，，则的长为___________；【答案】6【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解题．【详解】是的中线故答案为：6．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上定理是解题的关键．10．（2023·全国·八年级假期作业）已知直角三角形的一个锐角的度数为，则其另一个锐角的度数为___度．【答案】【分析】根据直角三角形两个锐角互余求解即可．【详解】解：直角三角形的一个锐角的度数为，另一个锐角的度数是，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解答本题的关键．11．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在中，，平分，交于点，且．若，则___________．【答案】【分析】根据等边对等角，含角的直角三角形的性质可得，由此即可求解．【详解】解：∵是直角三角形，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，掌握含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．12．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，点为直线上一个定点，点为直线上一个动点，直线外有一点，，，当最短时，的长为_______________．

【答案】1【分析】根据垂线段最短可得∶当时，最短，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．【详解】解∶当上时，最短，在中，，，故答案为1．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．13．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，是等边三角形的角平分线，，垂足为E，边的垂直平分线交于点P，交于点F．若，则的长为___________．

【答案】3【分析】根据等边三角形的性质可以得到，，连接，则，根据30°角的直角三角形的性质解题即可．【详解】解：连接，

∵是等边三角形，∴，∵平分，∴，，又垂直平分，∴，∴，∴∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查等边三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．14．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，，，将纸片沿DE折叠，使点B落到点A处，若，则DE=______．

【答案】1【分析】利用等腰三角形的性质得到，则，再由折