新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2025-2026学年第二学期期末监测高一数学试题一、单选题1．下列命题正确的是（

）A．单位向量都相等 B．若，，则C．零向量没有方向 D．若，则2．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（

）A．2 B． C． D．4．在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（

）A． B．或 C． D．或5．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（

）A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生”6．现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（

）A． B． C． D．7．如图，在中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N．设，，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．38．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数满足，则（

）A．的实部是 B．的虚部是C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限10．某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动.如图是某班甲、乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（

）A．甲同学阅读时间更加稳定B．乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间C．乙同学阅读时间的极差为20D．甲同学阅读时间的75%分位数为2511．在探究正方体表面展开图的活动中，该正方体的表面展开图如图所示，则在该正方体中（

）A．与异面B．平面C．平面D．平面与平面的夹角为三、填空题12．已知向量，且向量与向量的夹角为，则_______．13．设随机事件满足，则__________．14．某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为___________．四、解答题15．已知向量，．(1)若，求；(2)若，，求与夹角的余弦值．16．在三角形中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.17．期末考试结束后，某校从高一1000名学生中随机抽取50名学生，统计他们数学成绩，成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分数分布直方图的一部分.(1)求第七组的频率；(2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分；(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值大于10分的概率.18．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的大小．19．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(2)该应聘者用方案二考试通过的概率．参考答案1．D解析：A选项：单位向量的模长都为，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误；B选项：若，则且时，与不一定平行，B错误；C选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C错误；D选项：若，则两向量模长相等且方向相同，因此，D正确．2．B解析：，则共轭复数为，对应的点，在第二象限.故选：B.3．B解析：由共线向量定理可知存在实数，使得，即，又与是不共线向量，所以解得.故选：B．4．D解：在中，，由正弦定理得，所以，所以或，故选：D5．A解析：对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是；对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是；对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是；对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是.故选：A6．C解析：记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为.7．B解析：在中，由点O是线段BC上靠近点B的三等分点，得，则，即，而，，则，由共线，得，所以.8．C解析：由已知得球与圆台都是旋转体，则取过轴的任意一个截面来分析均可.如图，于，则，，由切线长相等可知，，，所以，故圆台侧面积，再算球的半径，在中由勾股定理求解即可.设球的半径为，则，在中，，即，所以球的表面积，故该圆台的侧面积与球的表面积之比为．9．AD解析：；对于A，由实部定义知：的实部为，A正确；对于B，，的虚部是，B错误；对于C，，C错误；对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确.故选：AD.10．BD解析：甲同学阅读时间从小到大排列为，乙同学阅读时间从小到大排列为，则甲同学的平均阅读时间为，乙同学的平均阅读时间为，故乙同学的平均阅读时间等于甲同学的平均阅读时间，B正确；甲同学的阅读时间的方差为乙同学的阅读时间的方差为，因为，所以乙同学阅读时间更加稳定，故A错误；乙同学阅读时间的极差为，故C错误；因为，所以甲同学阅读时间的75%分位数为第个数，故D正确.11．ABD解析：将展开图还原为正方体，如下图所示，由图可知，与是异面直线，A选项正确.根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，所以B选项正确.由于与所成的角为，所以与平面不垂直，C选项错误.平面即平面，根据正方体的性质可知，平面与平面的夹角为，D选项正确.12．6解析：向量，且与的夹角为，则，.故答案为：613．解析：由题意得．故答案为：14．解析：设圆锥的母线长为，圆锥的高为，因为圆锥侧面展开图的圆心角为，所以，所以，圆锥的高，设圆柱的高为，则，解得，所以该几何体的体积为．故答案为：.15．(1)(2)．解析：（1）因为，所以，解得，则，故．（2）因为，所以，解得，则，所以，即与夹角的余弦值为．16．(1)(2)解析：（1）因为，由余弦定理可得，整理可得，则，且，所以.（2）因为，，且，即，则又因为的面积为，即，则，可得，即，所以周长.17．(1)(2)（分）(3)解析：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：；（2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为：（分）；（3）由频率分布直方图知，样本成绩属于第六组的有（人），设为，样本成绩属于第八组的有（人），设为，，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，有，，，，，，，，，共10种，其中他们的分差得绝对值大于10分包含的基本事件有，，，，，共6种，所以他们的分差的绝对值大于10分的概率.18．(1)证明：连接，交于点，连接，因为四边形是正方形，所以为中点，又为中点，所以，因为平面，平面，所以平面．(2)证明：因为四边形是正方形，所以，又平面，平面，所以，，因为平面，所以平面，又平面，所以，在中，因为为中点，则，因为平面，所以平面．(3)解析：（1）略．（2）略．（3）因为平面，平面，所以，又四边形是正方形，