2.4.2++圆的一般方程（导学案）原卷版

.4.2圆的一般方程导学案（1）理解圆的一般方程及其特点（2）掌握圆的一般方程和标准方程的互化（3）会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题（4）会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题问题引入问题：直线的一般方程对应的是二元一次方程：Ax+By+C=0，那么圆的一般方程会对应一个什么样的方程呢？课前练习：写出以C(1，-2)为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？思考：将以上圆的标准方程展开后可得到什么式子？展开要求：去括号、合并同类项、移项等号右侧为0.结论：圆的一般方程就是一个关于x,y方程思考：那么是不是所有的二元二次方程都是圆呢？探究：是否所有的二元二次方程表示的都是圆呢？观察以下三个二元二次方程：(1)x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0；(2)x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0；(3)x2＋y2＋2x＋2y＝0.要求：先将它们分别按圆的标准方程的形式进行配方，分析它们分别表示什么图形？探究：有些二元二次方程不表示任何图形，有些表示点，有些表示圆，对于以下二元二次方程，如果它要表示圆，系数D、E、F需要满足什么条件呢？思考：分析方程②，思考：方程①表示的一定是圆吗？若要表示圆，需要满足什么条件呢？总结归纳，并得出圆的一般方程：当时，二元二次方程：此时，我们称方程:为圆的一般方程.思考：当、时，方程①分别表示什么图形？思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？牛刀小试练1：将圆的方程(x−2)2+练2：将圆一般方程x2+练3：下列方程一定表示圆的是（

）．A．x2+yC．x2+y练4：方程x2+y2−2x+2y=aA．2,+∞ B．2,+∞ C．−2,+∞练5：圆x2+y2−4mx+2y+3mA．(−∞,−1) B．(−∞,0)C．例4求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．思考：与P83页例2的方法比较，你有什么体会？结合两次使用待定系数法，总结待定系数法求圆的方程的步骤：①：根据题意，设圆的标准方程或一般方程；②：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③：解方程组得到a，b，r或D，E，F的值；④：代入圆的标准方程或一般方程，即可得解；跟踪练习：的三个顶点分别是，，，求的外接圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径．例5已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．知识小贴士：点的运动轨迹是指点的坐标满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）．这种求动点轨迹方程的方法称之为师生：共同总结分析，用相关点法求动点轨迹方程的有哪些步骤：①：设所求动点坐标为，另一动点为；②：根据已知条件找到与、与的等式关系；③：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程；④：将所得新的方程进行整理成标准化方程；题型一：根据圆的一般方程，求圆心坐标和半径例题1、求下列圆的圆心坐标和半径.

方法总结：方法一：先将一般方程按照圆的标准方程的形式好，然后写出圆心坐标和半径即可；方法二：记住圆心坐标公式和半径公式，代入计算而得.题型二：根据圆的一般方程求参数（值）范围例题2，若方程表示圆，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．.方法总结：利用圆的条件，建立不等式，解不等式即可得解题型三：直接法求动点的轨迹方程：有明显等式关系例题3，已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，求动点P的轨迹方程.预设：设，因为，所以，又因为直线与直线的斜率之积为，所以，整理得.思考：为何要x≠±2？方法总结：直接法求动点的轨迹方程的步骤：①：设所求动点坐标为(x,y)；②：将已知条件中的等式关系符号化：即用含x与y式子表示等式；③：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程；④：剔除不满足题意的点，比如斜率不存在，不能构成三角形等；题型四：相关点法求动点的轨迹方程：双动点轨迹问题例题：已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．方法总结：用相关点法求动点轨迹方程特征：问题，已知一个动点的轨迹方程，求另一个动点的轨迹方程，比如该题点A与点M均为动点，点M随着点A的运动而运动解题步骤：①：设所求动点坐标为，另一动点为；②：根据已知条件找到与、与的等式关系；③：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程；④：将所得新的方程进行整理成标准化方程；1．（24-25高二上·云南玉溪·期末）（多选）已知圆的一般方程为x2+yA．该圆圆心坐标为32,−1 C．该圆半径为5 D．该圆半径为52．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆C:x2+y2−2y−3=0关于直线A．0,1 B．1,0 C．1,2 D．−1,23．（24-25高二下·上海·期末）设实数a>0，圆C:x2+y2−4x+ay=04．（24-25高二上·重庆·期中）圆心为(1, −1)且过原点的圆的一般方程是（A．x2+yC．x2+y5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C:x2+y2+mx+1=0的面积为A．±2 B．±22 C．±42 6．（22-23高二上·北京石景山·期末）在△ABC中，A0,3，B−3,0和C3,0．则7．（24-25高二上·湖北·期末）已知圆x2+y2−2ax−4ay+5A．(3,+∞) B．32,3 C．8．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知点A1,0，B4,0，若点P满足PA=129．（22-23高二上·天津滨海新·期末）已知O为坐标原点，点P在圆C:x2+y2−8x−10y+2